Kriteri i Hurwitz-it

Hyrje
Kriteri i Hurwitz-it është metodë analitike për shqyrtimin e stabilitetit absolut të sistemit. Metoda bazohet në gjetjen e pozicionit të poleve në rrafshin kompleks pa zgjidhur për rrënjët e ekuacionit karakteristik. Në rastet kur është dhënë ekuacioni karakteristik i rendit më të lartë se tre atëherë është shume e vështirë që rrënjet e tij të gjinden me metoda algjebrike, për këtë arsye aplikohen kriteret algjebrike.A Grapci, Rregullimi Automatik i Sistemeve Lineare (1985), faqe 138
Metoda ngërthen në vetë llogaritjen e disa përcaktorëve që quhen përcaktorët e Hurwitz-it dhe nga rezultatet e së cilave arrijmë në konlluzione mbi stabilitetin e sistemit. Mirëpo të theksjomë se kriteri i Hurwitz-it nuk na jep kurrfarë informacioni mbi shkallën e stabilitetit të sistemit.

Përkufizimi formal
Të supozojmë se e kemi të njohur funksionin transmetues të sistemit të cilit dëshirojmë t'i analizojmë stabilitetin :

Konditë e nevojshme që për sistemin e përshkruar me ekuacionin e mësipërm të mund të aplikojmë kriterin e Hurwitz-it është që të gjithë koeficientët  të kenë parashenjë të njejtë. Ndërsa konditë e mjaftueshme që sistemi të jetë stabil është që të gjitha determinantat e Hurwitz-it të jenë pzoitive.
Për sistemin e përshkruar me ekuacionin e mësipërm, përcaktori i Hurwitz-it ka formën:

Shohim se përcaktori formohet në menyrë të atillë që reshti i parë fillon nga anëtari i dytë dhe vazhdon çdo i dyti. Kurse rreshti i dytë fillon nga anëtari i parë dhe poashtu vazhdon çdo i dyti. Rreshtat pasues janë rrethi i parë dhe i dytë vetëm të zhvendosura për një element të kolonës.

Nga përcaktorët e mësipërme rrjedhin nen-përcaktorët :

Nen-përcaktorët e rendit të tretë:

Tani t'i theksjomë disa raste dhe kushtet që duhet plotësuar që sistemi të jetë stabil.

Sistemi i rendit të parë
Ekuacioni karakteristik i sistemit të rendit të parë ka formën:

Në këtë rast shihet se  andaj kushti që sistemi të jetë stabil është që 

Sistemi i rendit të dytë
Ekuacioni karakteristik ka formën:

Përcaktorët përkatëse do jenë:

dhe

Nga kushtet që  dhe   do konlukojmë se sistemi do jetë stabil kur:

 dhe 

dhe në mëmyrë të ngjashme vazhdohet për sistemet e cilido rend.

Shembull
Të marrim në shqyrtim sistemin ekuacioni karakteristik i të cilit ështëA Grapci, Rregullimi Automatik i Sistemeve Lineare (1985), faqe 141:

Fillimisht shohim se të gjithë koeficientët kanë parashenjë të njejtë andaj plotësohet kondita e nevojshme.
Formohen determinantat përkatëse:

Pasi të llogariten determinantat do gjejmë se plotësohet edhe kondita e mjaftueshmë që deteminantat të jenë pozitive andaj sistemi i përshkruar me ekuacionin e mësipërm është stabil.

Shënime
Përkundër asaj që kriteri i Hurwitz-it mundëson shqyrtimin e stabilitetit të sistemin pa zgjidhur për rrënjët e ekuacionit karaktëristik, në rastet kur kemi të bëjmë me sisteme të rendeve të larta llogaritjet që duhet bërë janë shumë të mundimshme andaj ky kriter bëhet i papërshtatshëm. Si më i përshtatshëm është kriteri i Routh-it, i cili poashtu jep përgjigje vetëm për stabilitetin absolut të sistemit.

Mangësi të kriterit të Hurwitz-it janë:
 Nuk bën fjalë për metodat e kompensimit
 Për sisteme të rendeve të larta është i papërshtatshëm sepse nevojiten llogaritje të shumta
 Është i domosdoshëm ekuacioni diferencial që në praktikë shpesh është vështirë të nxirret
 Nuk tregon shkallën e stabilitetit të sistemit
 Nuk tregon ndikimin e parametrave në stabilitetin e sistemit

Shiko Gjithashtu
Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
Kriteri i Mihajllovit për stabilitet
Kriteri i Routh-it
Kriteri i Nyquist-it për stabilitet

Referimet

Kategoria:Inxhinieri
Kategoria:Inxhinieri elektrike
Kategoria:Teoria e rregullimit