Sistemi koordinativ polar

Në matematikë, sistemi koordinativ polar është një sistemin koordinativ dy-dimensional në të cilin çdo pikë në plan jepet nga një distancë nga një pikë e caktuar dhe një kënd nga një drejtim i caktuar.

Pika fikse (në analogji me origjinën e një sistemi kartezian) quhet poli, dhe rrezja nga ky pol me drejtim të caktuar quhet boshti polar. Distanca nga poli quhet koordinata rrezore ose rrezja, kurse këndi quhet koordinata këndore, këndi polar, apo azimuti.

 Historia 

Konceptet e këndit dhe rrezes përdoreshin nga popujt e lashtë gjatë mijëvjeçarit të parë para lindjes së Krishtit. Astronomi grek Hipparchus (190-120 pes) krijoi një tabelë me funksione  kordash që jepte gjatësinë e cdo korde për cdo kënd, ka referenca se ai përdori koordinatat polare për të llogaritur pozicionet e yjeve..Në veprën Mbi spiralet, Arkimedi përshkruan spiralen e Arkimedit, një funksion, rrezja e të cilit varet nga këndi. Matematikani grek, megjithatë nuk e zgjeroi koncpetin në një sistem kordinativ të plotë.

Në shekullin e 9-të, matematikani persian, Habash al-Hasib el-Marwazi,  përdori metodat e trigonometrisë sferike dhe projektimin gjeohapësinor  në mënyrë që të konvertonte koordinatat polare në një sistem koordinativ të ndryshëm të përqëndruar në një pikë të veçantë mbi sferë, në këtë rast tek Kibla, në drejtim të Mekes.  Gjeografi Persian , Abu Rayhān Bīrūnī (973-1048), zhvilloi ide të cilat janë parë si parapritëse të sistemit koordinativ polar. Rreth 1025, ai ishte i pari që përshkroi një  projeksion azimutal të baraslarguar polar të sferës qiellore.David A. King (1996), "Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping", in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128–184 [153], Routledge, London and New York

 Konvencionet e zakonshme 

Koordinata rrezore tregohet me simbolin , kurse koordinata këndore me  ose t.

Këndet në notacionin polar janë të shprehura në përgjithësi në  gradë ose radian  (2  π radian është e barabartë me 360°).  Gradat janë përdorur tradicionalisht në navigacion, gjeodezi, dhe në shumë disiplina të aplikuara, ndërsa radiani është më i përdorur në matematikë dhe në fizikë matematikore.

Në shumë kontekste, një koordinatë pozitive këndore do të thotë që këndi θ matet në drejtim të kundërt të akrepave të sahatit.

Në literaturën matematikore, boshti polar vizatohet në mënyrë horizontale dhe i treguar në të djathtë.

 Uniciteti i koordinatave polare 
Shtimi i një numri që paraqet një rrotullim të plotë (360°) tek koordinatat këndore nuk e ndryshon drejtimin përkatës. Gjithashtu, një koordinatë rrezore negative mund të interpretohet më mirë si një distancë përkatëse pozitive e matur në drejtim të kundërt.  Prandaj, të njëjtën pikë mund ta shprehim me një numër të pafund koordinatash polare  ose , ku n është një numër i plotë. Për më tepër, vetë poli koordinativ jepet nga (0, θ) për çdo kënd θ.

Kur një përfaqësim unik është i nevojshme për çdo pikë, zakonisht r kufizohet tek  numrat jo-negativ () dhe θ në  intervalin [0, 360°) ose  (−180°, 180°] (në radianë,  [0, 2π) ose (−π, π]).  Gjithashtu duhet zgjedhur një azimut unik për polin, psh. θ = 0.

 Konvertimi midis koordinatave polare dhe atyre Karteziane 
Të dyja koordinatat polare r dhe θ mund të konvertohen në  koordinata Karteziane  dhe  duke përdorur funksionet trigonometrike sinus dhe kosinus :

të dyja koordinatat Karteziane  dhe  mund të konvertohen në koordinata polare  me anë të ekuacioneve
 (si tek teorema e Pitagorës),  dhe

Të gjitha këto formula marrin parasysh se poli është origjina Karteziane (0,0), boshti polar është boshti i abshisave , dhe se drejtimin e boshtit i boshtit të ordinatave  ka azimut +π/2 rad = +90° (në vend se -π/ 2).  Funksioni arcsin është inversi i funksionit  sinus , i cili jep kënde në intervalin [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°].

Formula për  më sipër jep një kënd në intervalin [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°). Për të marrë θ në intervalin [0, 2π) direkt, mund të përdorim

Funskioni  është inversi i funksionit tangjent , i cili jep një kënd ne intervalin (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°).

Për te marre  ne intervalin (−π, π], mund te përdorim 

Shume gjuhe programimi kane një funksion i cili llogarit koordinatën këndore korrekte θ po te kemi x dhe y, pa bere analizene e mëlartme.  Për shembull, ky funksion thirret nga atan2(y,x) ne gjuhen e programimit C, dhe (atan y x) ne Lisp.  Ne te dyja rastet, rezultati është ne radian ne intervalin (−π, π].

 Ekuacioni polar i një kurbe 

Ekuacioni që përcakton një kurbë algjebrike i shprehur në koordinata polare është i njohur si një ekuacion polar . Në shumë raste, ky ekuacion thjesht mund të specifikohet duke përcaktuar r si një funksion funksion të . Kurbë rezultante përbëhet nga pika të formës   dhe mund të konsiderohet si grafiku i funksionit polar r.

Format e ndryshme të simetrisë  mund të merrent nga ekuacioni i një funksioni polare . Nëse  kurba do të jetë simetrike në lidhje me rrezen horizontale (0°/180°), nëse  ajo do të jetë simetrike në lidhje me rrezen vertikale (90°/270°), dhe nëse  ajo do të jetë simetrike α në drejtimi të kundërt të akrepave të sahati në lidhje me polin.

Për shkak të natyrës rrethore të sistemit koordinativ polar, shumë kurba mund të përshkruhen me një ekuacion tepër të thjeshtë polare, ndërsa forma e tyre Kartezian është shumë më e ndërlikuar. Në mes të kurbave më të njohura janë  trëndafili polare, spiralja e Arkimedit,  lemniskata,  limaçon, dhe kardioidi .

Për rrethin, vijën, dhe trëndafilin polare më poshtë, kuptohet se nuk ka kufizime në fushën dhe rangun e përcaktimit.

 Rrethi 
Ekuacioni i përgjithshëm për një rreth me qendër në  dhe rreze  është

Kjo mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme, në përputhje me rastet më specifike, të tilla si ekuacioni

për një rreth me qendër në pole dhe rreze a.

 Vija 
Vijat radiale (ato që kalojnë përmes polit) paraqiten nga ekuacioni 
,
ku  është këndi i ngritjes të vijës; pra,  ku m është pjerrësia e vijës në sistemin koordinativ Kartezian. Vijat jo-rrezore që kryqëzohen me vijën radiale  pingul tek pika  kanë ekuacionin

 Trëndafili polar 
Një trëndafili polar është një kurbë e famshme matematike që duket si një petal luleje, që mund të shprehet me anë të një ekaucioni të thjeshtë polar,

për çdo konstante  (përfshirë 0). Nëqoftëse  është një numër i plotë , këto ekuacione do të japin një trëndafil me -petale nëqoftëse  është tek, ose një trëndafil me 2 -petale nëqoftëse  është çift. Nëqoftëse  është numër thyesor por jo numër i plotë, do të marrim një formë që i ngjason trëndafilit por me petale që janë mbi njëri tjetrin. Vini re se këto ekuacione kurrë nuk përcaktojnë një trëndafil me 2, 6, 10, 14, etc. petale. Ndryshorja a paraqet gjatësinë e petaleve të trëndafilit.

 Spiralja e Arkimedit 
Spiralja e Arkimedit është një spirale e famshme që u zbulua nga Arkimedi, e cili mund të shprehet me anë të një ekuacioni të thjeshtë polar. Ajo është e përfaqësuar nga ekuacioni

Ndryshimi i parametër a e ndryshon drejtimin e spirales, ndërsa b kontrollon distanca në mes të krahëve, të cilat për një spirale të caktuar janë gjithmonë konstante. Spiralja e Arkimedit ka dy krahë, një për  dhe një për . Të dyja krahët janë të lidhura tek poli. Po të marrim imazhin pasqyrë të një krahu përgjatë vijës 90° / 270° marrim krahun tjetër. Kjo kurbë është e famshme për faktin se qe një nga kurbat e  para, pas seksioneve konike , e cila u përshkrua në një traktat matematikor, dhe si një shembull kryesor i një kurbe që është e përcaktuar më mirë nga një ekuacion polar (në krahasim me formën karteziane).

 Prerjet konike 

Një prerje konike me një vatër në njërin pol dhe tjetrën diku në një rreze që fillon nga 0° (në mënyrë që boshti madhor i konikut shtrihet përgjatë boshtit polar) jepet nga :



ku e është jashtëqëndërsia dhe  është semi-latus rectum (distanca pingule nga vatra tek boshti madhor i kurbës). Nëqoftëse , ky ekaucion përcakton një hiperbolë; nëqoftëse , ai përcakton një parabolë; dhe nëqoftëse , ai përcakton një elips. Rsti special i  rastit të lartëm rezulton në një rreth me rreze .

 Numrat kompleks 

Çdo numër kompleks mund të paraqitet si një pikë në planin kompleks, kështu që ajo mund të shprehet ose duke specifikuar koordinatat e pikës karteziane (kjo quhet forma Karteziane) ose koordinatat polare të pikës (kjo quhet forma polare). Numri kompleks  mund të paraqitet në formë karteziane si

ku i është njësia imagjinare, ose në mënyrë alternative mund të shkruhet në formë polare (përmes formulës së konvertimit e dhënë më lart) si

si dhe

ku e është  numri i Ojlerit, të cilat janë të njëvlershme siç tregohet nga formula e Ojlerit. (Vini re se kjo formulë, si të gjitha ato që përfshijnë eksponente këndesh, merr parasysh që këndi θ është shprehur në radian.) Në mënyrë që të konvertojmë midis formës polare dhe karteziane të një numri kompleks, formula e konvertimit më lart mund të përdoret.

Për veprimet e shumëzimit, pjesëtimit, dhe ngritjes në eksponent të numrave kompleksë, në përgjithësi është më e lehtë të punohet me numra kompleksë t shprehur në formë polare krahasuar me formë Karteziane. nga ligji i ngritjes në eksponent:

 Shumëzimi:

 Pjestimi:

 Ngritja në eksponent (Forumala e De Moivre):


 Analiza 
Teknikat e analizës mund të zbatohen mbi ekuacionet e shprehura në koordinata polare.

Koordinata polare θ është shprehur në radian përgjatë këtij seksioni, kjo paraqet konvencionin e zakonshëm në përdorimin e analizës.

 Analiza diferenciale 

Po të përdorim  dhe , ne mund të derivojmë një relacion midis derivateteve në koordinata polare dhe Karteziane.  Për një funksion të dhënë , , del se 

ose 

Nga kjo marrim formulën e mëposhtme:

Për të gjetur pjerrësinë Karteziane të një vije tangjente me kurbën polare  në çdo pikë të dhënë, kurba jepet si një sistem ekuacionesh parametrike.

Duke diferencuar të dyja ekuacionet në lidhje me θ marrim

Po të pjesëtojmë ekuacionin e dytë me të parin marrim pjerrësinë Karteziane të vijës tangjente me kurbën tek pika :

 Analiza integrale 

Le  të shënojmë me  rajonin e rrethuar nga një kurbë  dhe rrezet  dhe , ku . Sipërfaqja e  është


Ky rezultat mund të gjendet si më poshtë. Së pari, intervali  është i ndarë në n nën-intervale, ku n është një numër i plotë pozitiv arbitrar. Kështu , gjatësia e çdo nën-intervali, është e barabartë me  (kohëzgjatja e përgjithshme e intervalit), e ndarë sipas n, numri i nën-intervaleve . Për çdo nën-interval i= 1, 2, ...,n, le të jetë  pika e mesit e  nën-intervalit, tani le të ndërtojmë një sektor rrethor me qendër në pole, rreze r(θi),,kënd qendrore Δθ dhe gjatësi harku r(θi)Δθ.. Zona e secilit sektor të ndërtuar është e barabartë me

Kështu, zona e përgjithshme e të gjithë sektorëve është

Ndërsa numri i nën-intervaleve n rritet, përafrimi i zonës vazhdon të përmirësohet. Në kufirin kur , shuma bëhet shuma Rimaniane për integralin e mëlartëm.

Një pajisje mekanike që llogarit integrale sipërfaqësore është planimetri, i cili mat fushën e një plani: kjo replikon integrimin në koordinatat polare duke shtuar shfrytëzuar teoremën e Greenit, çka bën konvertimin e integrale kuadratike polare në integrale lineare.

 Përgjithësime 
Duke përdorur koordinatat Karteziane, një element infinitezimal i sipërfaqes mund të llogaritet si dA = dx dy. Rregulli i zëvendësimit për integrale të shumëfishta pohon se, kur përdorim koordinata të tjera,  përcaktori Jakobian i formulës së konvertimit të koordinatave duhet të merret në konsidertaë:



Pra, një element sipërfaqësor në koordinata polare mund të shkruhet si 

Tani , një funksion që është i dhënë në koordinata polare mund të integrohet si më poshtë:

Këtu , R është i njëjti rajon si më lartë, pra, rjoni i rrethuar nga kurba r(θ) dhe rrezet θ = a dhe θ = b.

Formula për sipërfaqen e R e përmendur më lart gjendet duke marrë f identikisht të barabartë me 1. Një zbatim interesant i këtij rezultati jep integralin Gausian

 Analiza vektoriale 

Analiza vektoriale mund të zbatohet gjithashtu mbi koordinatat polare. Për lëvizjen në një plan , le të jetë  vektori i pozicionit , ku r dhe θ kanë varësi kohore t.

Le të përcaktojmë vektorët njësi

në drejtimin e r dhe

në planin e lëvizjes pingul me drejtimin rrezor, ku  është vektori njësi pingul me planin e lëvizjes.

Pra

ku h është impulsi këndor specifik.

 Termat centrifugale dhe termat e Koriolisit 

Termi  zakonisht quhet termi centrifugal, ndërsa termi  referohet si termi i Koriolisit. Për shembull, shih Shankar. Edhe pse këto ekuacione mbajnë disa ngjashmëri në formë me forcën centrifugale dhe efektin e Koriolisit që gjenden në kënde reference në rrotullim, nuk ka një lidhje fizike midis këtyre fenomeneve.Në veçanti, shpejtesia kendore e paraqitur në kordinata polare është ajo e grimcës nën vëzhgim, , ndërsa në mekanikën klasike te Njutonit është shpejtesia kendore Ω shkalla e një kendi reference ne rrotullim. Për shembull, forca centrifugale dhe ajo e Koriolisit shfaqen vetëm në kënde reference joinerciale të referimit. Në të kundërt, këto terma  shfaqen kur nxitimi është shprehur në koordinatat polare janë rrjedhoja matematike të diferencimit, këto terma duken kudo ku janë përdorur koordinatat polare. Në veçanti, këto terma duken edhe kur koordinatat polare janë përdorur në kënde inerciale të referimit , ku nuk shfaqen forcat centrifugale dhe efekti i Koriolisit.

 Sistemet bashkë-rrotulluese 

 Lidhja midis koordinatave sferike dhe polare 
Koncepti i sistemit koordinativ polar zgjerohet në tre dimensione me dy sisteme të tjera koordiantive, sistemin koorinativ sferik dhe atë cilindrik.

 Aplikime 
Koordinatat polare janë dy-përmasore dhe në këtë mënyrë ato mund të përdoren vetëm ku pozicionet e pikave shtrihen në një plan të vetëm dy-dimensional. Ato janë më të përshtatshme në çdo kontekst ku fenomen i marrë në konsideratë është i lidhur me drejtimin dhe gjatësine nga një pikë qëndrore. Siç duket, shembujt më lart tregojnë se si ekuacionet polare elementare mjaftojnë për të përcaktuar kurba të tilla si spiralja e Arkimedit ekuacioni i të cilit në sistemin koordinativ Kartezian do të ishte shumë më i ndërlikuar. Për më tepër, shumë sisteme fizike, të tilla si ato që kanë të bëjnë me trupa që lëvizin rreth një pikë qendrore apo me fenomene që rrjedhin nga një pikë qendrore janë më të thjeshta dhe më të kuptueshëm për tu modeluar duke përdorur koordinatat polare. Motivimi fillestar për futjen e sistemit polar ishte studimi i lëvizje rrethore dhe asaj orbitale.

 Pozicioni dhe navigimi 
 Modelimi 

 Shikoni gjithashtu 
 Lista e transformimeve koordinative kanonike

 Referime 
Të Përgjithshme


Specifike

 Lidhje të jashtme 

 Coordinate Converter - converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
 Polar Coordinate System Dynamic Demo

Kategoria:Sisteme koordinative
Kategoria:Matematikë
Kategoria:Fizikë