Numri kompleks

Numri kompleks është përgjithësim i numrit real me ndihmën e një numri special i cili shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas përkufizimit e plotëson kushtin

Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve.
 Përkufizimi 
Bashkësia e numrave kompleks shënohet me C, ndërsa numri kompleks në trajtën


ku  dhe  janë numra real dhe  njësia imagjinare e cila e plotëson vetinë :. Numri real  është pjesa reale dhe  është pjesa imagjinare. 

P.sh. për numrin kompleks 3 + 2i numri 3 është pjesa reale dhe 2 është pjesa imagjinare. Nëse , atëherë zakonisht shënojmë a = Re(z) dhe b = Im(z)

Bashkësia e numrave real R mund të kuptohet si nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleks C sepse ç'do numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën imagjinare e ka të barabartë me 0.

 Përkufizimi formal 
Është e papranueshme rigorozisht që thjesht të supozojmë se ekziston një lloj numri katrori i të cilit është i barabartë me -1. Përkufizimi i tillë është intuitiv ne më poshtë do të japim përkufizimin formal apo aksiomatik. Themi se bashkësia e numrave kompleks është bashkësi e dysheve të renditura të numrave real e cila në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin e këtyre dysheve të renditura i plotëson kushtet

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)·(c, d) = (a·c − b·d, b·c + a·d)

Pasi sipas përkufizimit të shumëzimit vlen se
(0, 1)·(0, 1) = (−1, 0), ne e gjejmë i në mënyrë konstruktive duke ia shoqëruar atij dyshen e renditur (0, 1). Numrit real  ia shoqërojmë dyshen (a, 0) dhe numrit real  ia shoqërojmë dyshen e renditur (0, b) prandaj në përgjithësi kemi 

(a, b) =(a, 0)+(0, b)= a + ib.

 Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks 
Sipas përkufizimit të numrit kompleks si dyshe e renditur konkludojmë se numri kompleks mund të shikohet si pikë në rrafsh koordinativ këndrejt të cilin e quajmë rrafsh kompleks. Koordinatat e numrit janë x = Re(z) dhe y = Im(z) 

 Vlera absolute ose moduli i numrit kompleks 

Vlerë absolute ose modul i numrit kompleks , është 

Vetitë kryesore janë:

 ku  , poqese 

 (Jobarazimi i trekëndëshit)

 Konjugacioni 

I konjuguar i numrit kompleks  është numri , shënojmë . Sipas figurës,  është simetrik me z ndaj boshtit 

Disa nga vetitë e konjugacionit:

















    ku z është i ndryshëm nga 0
 Forma polare e numrit kompleks 


Diagrami nga figura djathtas sugjeron veti të ndryshme. 
 Së pari distanca e pikës z nga origjina (i shënuar me r në figurën 2) njihet si vlerë absolute ose modul dhe shënohet me . Nga Teorema e Pitagorës,

Në përgjithësi largësia mes numrave kompleks jepet me , e cila e kthen bashkësinë e numrave kompleks në hapësirë metrike dhe këtu mund të fusim konceptin e limitit dhe të vazhdueshmërisë së funksioneve. Të gjitha vetitë standarde të hapësirës dydimensionale plotësohen për rrafshin kompleks duke përfshirë atë se moduli i numrit kompleks është jonegativ dhe plotësimin e jobarazimit të trkëndëshit ( for all z, w).

 Së dyti argumenti i numrit kompleks  është këndi φ i dhënë në figurën 2, shënohet si . Si edhe me modulin argumenti mund të gjindet nga :
 pra ).

Vlera e φ ndryshon për një shumfish të 2π dhe përsëri jep këndin e njejtë.

Së bashku këto spjegime japin një mënyrë të re për paraqitjen e numrit kompleks në formën polare, si kombinim i vlerës së modulit këndit që ai formon me boshtin x  from the polar pair (r,φ)). Këto fakte mund të shënohen në mënyra të ndryshme si p.sh

forma trigonometrike, dhe sipas Formulës së Eulerit

e cila quhet forma eksponenciale. 

 Operacionet në formën polare 
Operacionet si Shumëzimi, pjestimi fuqizimi dhe rrënjëzimi kur një numër kompleks është shënuar në formën polare janë mjaft të thjeshta:
 Shumëzimi

 Pjestimi

 Fuqizimi

Fuqizimi i numrit kompleks me një eksponent numër të plotë n bëhet sipas formulës:

 .........Formula e De Moivreit

 Rrënjëzimi

Rrënjëzimi i numrit kompleks në formën polare gjithashtu është mjaft i thjeshtë. 
Ç'do numër kompleks z i cili e plotëson barazimin zn = c (për n numër i plotë pozitiv) quhet rrënja e ntë e numrit kompleks c. Nëse c nuk është i barabartë me 0, atëherë ekzistojnë gjithsejt n rrënjë të nta të numrit c. Le të jetë c = re iφ dhe ; atëherë bashkësia e rrënjëve të nta të c është:

këtu  paraqet rrënjën e ntë numrit real r. Nëse c = 0, atëherë e vetmja rrënjë e ntë e c është vetë 0. Vërejmë se rrënjët ndryshojnë vetëm për një rrotullim për një kënd prej , rrënjët e nta të njëshit pra të gjitha rrënjët e c i takojnë një rreti me qendër në origjinën e sistemit koordinativ.

 Lidhje të jashtme 

 Euler's work on Complex Roots of Polynomials 
 John and Betty's Journey Through Complex Numbers
 MathWorld articles Complex number and Argand Diagram, and demonstration "Argand Diagram". 
 Dimensions: a math film. Kapitulli 5 jep një hyrje në aritmetikën komplekse dhe për projeksionin stereografik. Kapitulli 6 diskuton për transformimet e rrafshit kompleks.

Kategoria:Numra