Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit

Në analizën e variacionit, ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, ose ekuacioni i Lagranzhit është një ekuacion diferencial pjesor zgjidhjet e të cilit janë funksionet për të cilat funksionali është një pikë stacionare. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran Leonard Ojler dhe matematikani Franko-Italian Jozef Luiz Lagranzhi më 1750s.

Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermat në analizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.

Në mekanikën e Lagranzhit, për shkak te parimit të Hamiltonit të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjidhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për veprimin e sistemit. Në mekanikën klasike, kjo është ekuivalente me Ligjet e Njutonit, por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem koordinatash të përgjithshme, dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "Teorinë e fushës" më poshtë).

 Historia 
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në vitin 1750 nga Ojleri dhe Lagranzhi në studimin e tyre per problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e kurbes përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerë në një pikë te fiksuar per një kohë të caktuar, pavaresisht nga pika fillestare.

Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe ia dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.

 Pohimi 
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion q i një argumenti real t i cili është një pikë stacionare e funksionalit

ku :
 q është funksioni që duhet gjetur :
 :
i tille qe q është i diferencueshëm, q(a) = xa, dhe q(b) = xb;
 q′ është derivati i q:

TX ështe tufa e tangjenteve të X (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në X) ;
 L është një funksion real derivatet pjesore të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :

Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një ekuacion diferencial i zakonshem

ku Lx dhe Lv tregojnë derivatet pjesore te L ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.

Nëqoftëse përmasat e hapësirës X janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :

 Prova 
Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ajo mbështetet tek Lema themelore e analizës së variacionit.

Duam që të gjejmë një funksion  i cili kënaq konditat kufitare f(a) = c, f(b) = d, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit



Marrim si hipotezë që F ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.

Neqoftese f merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i f që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje J (nqs f është një minimizues) ose ta zvogëloje J (nqs f është një maksimizues). 

Le të jetë gε(x) = f(x) + εη(x) e tille që një perturbim i f, ku η(x) është një funksion i diferencueshem që kënaq η(a) = η(b) = 0. Atëherë përcaktojmë 



Tani duam që të llogaritim derivatin e përgjithshëm te J në lidhje me ε



Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që



Kështu që 



Kur ε = 0 ne kemi gε = f dhe meqenëse f është një vlere ekstreme del që J'(0) = 0, pra.



Hapi tjetër i rëndësishme është integrimi me pjesë mbi termin e dyte, i cili jep



Duke zbatuar kondiatat kufitare tek η, ne marrim



Duke zbatuar Lemen themelore të analizës së variacionit tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit



 Provë alternative 
Po te kemi një funksional

tek  me kondita kufitare  edhe , ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale  segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.

Tani pjesëtojmë intervalin  në  segmente të njëjta me pika kufitare  dhe le të jetë . Në vend ten je funksoni të lëmuar  marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse , ku  dhe . Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i  variablave të dhëna nga 

Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret  që i korrespondojnë e pikave ku

Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim



Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me  marrim

dhe duke marrë limitin kur  te anës së djathtë të shprehjes marrim

Termi  tregon derivatin variacional të funksionalit , si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler-Lagranzhit
|-
|
Derivimi i ekuacionit një dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ai mbështetet tek lema themelore e analizës së variacionit.

Duam të gjejmë një funksion  i cili kënaq konditat kufitare , , si dhe minimizon koston (vlerën) e funskionalit 



Hedhim hipotezën se  ka derivate pjesore të para të vazhdueshme. Një hipotezë më e dobët mund të përdort por atëhere prova bëhet më e vështire.

Nqs  extremizon koston e funksionalit sipas konditave kufitare, atëhere cdo perturbim i  që ruan vlerat kufitare duhet ose të rritë vlerën e  (nqs  është një minimizues) ose të zvogëlojë  (nqs  është një maksimizues). 

Le  të jetë një perturbim i , ku  është një funksion i diferencueshëm që kënaq barazimin . Atëhere përcaktojmë 



Tani llogaritim derivatin e plotë të J në lidhje me ε ose variacionin e parë të J.



Nga derivati i plotë dell se 





Pra



Kur ε = 0 we have gε = f dhe meqënëse f është një vlerë ekstremumi del që , i.e.



Hapi tjetër është përdorimi i integrimit me pjesë tek termi i dytë i cili jep



Duke përdorur konditat kufitare në η, marrim



Duke zbatuar lemën themelore të analizës së variacionit marrim ekuacionin e Ojler–Lagranzhit


|}

 Shembuj 
Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [a, b], i tillë që f (a) = c dhe f (b) = d, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të f është :

Ku integrandi i funksionit është }} i vlerësuar tek .

Derivatet pjesore të L janë :

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim 

Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.

 Mekanika klasike 

 Metoda 
Për trë gjetur ekuacionet e lrëvizjes prër njrë sistem duhet trë ndjekim krëto hapa:
 Nga energjia kinetike , dhe energjia potencialey , llogaritni funksionin Lagranzhian .
 Llogarit .
 Llogarit  dhe nga ajo , . Eshtë e rëndësishme që  të trajtohet si një variabël komplete dhe jo si një derivat.
 Barazoni .  Ky është ekuacioni i Ojler–Lagranzhit.
 Zgjidhni ekuacionin diferencial e marrë në hapin e mëlartëm. Pas kësaj,  trajtohet "normalisht".  Vini re se mënyra e mëlartme mund të japi një ekuacion ose një sistem ekuacionesh.

 Thërrmijat në një fushë konservative 
Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga  principi i Hamiltonit.  Veprimi për këtë system është

Ku x(t) është pozicioni i thërrmijës në kohën t.  Pika mbi variablat njihen si simbolika e Njutonit për derivatin kohor : pra ẋ(t) është shpejtësia e thërrmijës, v(t).  Në ekuacionin më lart  L është Funksioni i Lagranzhit (energjia kinetike minus energjinë potenciale) :

ku :
 m është  masa e thërrmijës  (e cila është konstante në fizikën klasike) ;
 vi është komponneti i i-te i vektorit v ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
 U është potenciali i forcës konservative.
Në këtë rast, Lagrazhiani nuk ndyshon me argumentin e tij të parë t.  (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit.  Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)

Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mësipërm, marrim :

Ku forca F = −∇U (negativja e gradientit të potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe p është impulsi (vrulli).

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,

Të cilat mund të zgjidhen në një interval [t0, t1], po të kemi vlerat kufitare xi(t0) dhe xi(t1).
Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën

Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),

Nga e cila marrim ligjin e dytë të Njutonit.

 Teoria e fushës 
Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,

ku 
 është fusha, dhe
 është një operator diferencial:

Vini re : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.

Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme  Lagranzhiane.
 Ekuacioni i Dirakut
 Ekuacioni i Prokës
 Tensori elektromagnetik
 Ekuacioni  Korteweg–de Vries
 Elektrodinamika kuantike

 Për funksionet me shumë ndryshore 
Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me n ndryshore.  Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë


Merr një ekstremum vetëm nese f e plotëson ekuacionin diferencial pjesor



Kur n = 2 dhe L është funksionali i energjisë, kjo con tek një problem i tipit te sipërfaqes minimale.

 Shikoni gjithashtu 
Identiteti i Beltramit

 Shënime 

 Referime 



 Calculus of Variations tek Example Problems.com (Jep shembuj të problemeve nga analiza e variacionit të cilat përfshijnë ekuacionet e Ojler-Lagranzhit.)

Kategoria:Ekuacione diferenciale
Kategoria:Analizë matematike
Kategoria:Mekanika e Lagranzhit