Hapësira e Hilbertit

Në matematikë koncepti i  hapësirës së Hilbertit, përgjithëson nocionin e hapësirës Euklidiane. Ky nocion zgjeron metodat e algjebrës vektoriale nga plani dy dimensional dhe hapësira tredimensionale në hapësirat me numër të pafundëm të dimensioneve.

Në mënyrë më formale, hapësira e Hilbertit është një hapësirë e produktit të brendshëm në një hapësirë vektoriale abstrakte në të cilën distancat dhe këndet mund të maten. Pra kjo është një "hapësirë komplete", që nënkupton se nëqoftëse një varg vektorësh është i tipit Koshi, atëherë ai konvergjon d.m.th. ka limit brenda asaj hapësire.

Hapësirat e Hilbertit shfaqen shpesh në mënyrë te natyrshme në matematikë, fizikë, dhe në inxhinieri. Zakonisht kjo është si hapësira funksionale me dimensione të pafundme. Këto cilësohen si mjete të pazëvendësueshme në teorinë e ekuacioneve diferenciale pjesore, mekanikes kuantike, dhe proçesimit të sinjaleve. Njohja e një strukture të përbashkët algjebrike midis këtyre fushave të ndryshme dha një kuptim me të gjerë të konceptuar. Suksesi i metodave të hapësirës së Hilbertit çoi ne periudhën e arte të analizës funksionale.

Intuita gjeometrike luan një rol shumë te rëndësishëm në shumë aspekte të teorisë se hapësirave të Hilbertit. Një element i hapësirës së Hilbertit mund të veçohet në mënyrë unike nga koordinatat në lidhje me një  vektor bazë, në ngjashshmëri me koordinatat karteziane në një plan. Kur kjo bazë është  e numërueshme, kjo do të thotë se hapësira e Hilbertit mund të shprehet me terma të vargjeve të pafundme e që janë hapësira të Lebegut. Operatorët linearë në një hapësirë të Hilbertit janë gjithashtu objekte konkrete. Në raste të favorshme, ato janë thjesht transformime që zgjerojnë hapësirën me faktorë të ndryshëm.

 Hyrje  dhe historia 

Hapësira Euklidiane e zakonshme shërben si një model për nocionin e hapësirës se Hilbertit. Në hapësirën Euklidiane, të dhëne në R3, distanca në mes pikave dhe këndi në mes vektorëve mund të shprehen nëpërmjet produktit të brendshëm,  një veprim mbi një çift vektorësh vlerat e të cilëve janë numra reale.  Probleme nga gjeometria analitike, si përcaktimi nëqoftesë dy drejtëza janë pingule ose gjetja e një pike në një plan të dhëne e cila është me afër origjinës, mund te shprehen dhe të zgjidhen duke përdorur prodhimin e brendshëm vektorial.Shikoni një tekst të analizës me shumë variabla, si .  Një tipar tjetër i rëndësishëm i R3 është që ajo posedon strukturë të mjaftueshme për të ruajtur metodat e analizës, për shkak të ekzistencës së limiteve.  Hapësirat e Hilbertit janë përgjithshme te R3 të cilat përmbajnë një operator analog me prodhimin vektorial në hapësirën Euklidiane (kjo zakonisht quhet prodhimi i brendshëm) te cilat janë “komplete" në sensin që limitet që duhen për zbatimin e analizës ekzistojnë.

Para zhvillimit të hapësirave të Hilbertit, përgjithësime të tjera të R3 ishin te njohura nga matematikanët dhe fizikanet.  Në veçanti, ideja e hapësirave abstrakte lineare kishte marrë hov nga fundi i shekullit XIX : kjo është një hapësire elementet e së cilës mund të mblidhen dhe të shumëzohen me skalare (si numrat real ose komplekse) pa i identifikuar këto elemente me vektorë "gjeometrike", si vektorët e pozicionit dhe momentit në sisteme fizike.  Objekte të tjera të studiuara nga matematikanët në fillim të shekullit XX, në veçanti hapësirat e vargjeve (duke përfshire seritë) dhe hapësirat e funksioneve, të cilat mund të kuptohen si hapësira lineare.  Funksionet, për shembull, mund të mblidhen ose të shumëzohen me skalarë, veprime këto që i binden ligjeve algjebrike të mbledhjes dhe shumëzimit të vektorëve hapësinorë.

Në dekadën e parë të shekullit XX, zhvillime paralele sollën deri të paraqitja e hapësirave të Hilbertit.  E parë nga ky vëzhgim, gjate studimit të ekuacioneve integrale nga David Hilberti dhe Erhard Schmidt,. se dy funksione reale të vazhdueshme  f dhe  g në një interval [a,b] që janë të integrueshëm kanë një  produkt të brendshëm :

i cili ka shumë nga vetitë familjare të prodhimit vektorial Euklidian.  Në veçanti ideja e familjeve të funksioneve ortogonale ka një kuptim të caktuar.  Shmidt përdori ngjashmërinë midis produktit të brendshëm me produktin vektorial Euklidian për të provuar analogun e dekompozimit spektral për një operator të formës

ku K është një funksion i vazhdueshëm simetrik në lidhje me x dhe y.  Zgjerimi ajgenfunksonal që rrjedh nga kjo e shpreh funksionin K si një seri të formës

ku funksionet φn janë pingule në sensing që  for all .  Megjithatë, ekzistojnë zgjerime ajgenfunksionale të cilat nuk  konvergjojnë në kuptimin e zakonshëm te një funksion që është i integrueshëm në katror : Ajo që mungon këtu është vetia e kompletimit e cila siguron konvergjencën.

Zhvillimi i dyte që integrali i Lebesgut, një alternative e integralit të Rimanit e paraqitur nga Henri Lebesgue në 1904..  Detaje tjera mbi teorinë e integrimit mund të gjenden tek  dhe .  Integrali i Lebesgut beri të mundur integrimin e funksioneve që nuk janë të vazhdueshme.  Ne 1907, Frigyes Riesz dhe Ernst Sigismund Fischer provuan në mënyre të pavarur se hapësira  L2  e funksionit të integrueshëm në katror Lebesgian është një hapësire metrike komplete..  Rrjedhoje e kësaj që bashkëkoordinimi midis gjeometrisë dhe vetisë së kompletimit, rezultati i shekullit të 19te i Jozef Fourier, Friedrich Bessel dhe Marc-Antoine Parseval mbi seritë trigonometrike mund të pershatet qartë në hapësira me të përgjithshme, që rezultojnë në një aparat gjeometriko-analitik të njohur si teorema Riesz-Fischer .

Rezultate te tjera themelore u provuan ne fillim te shekullit XX.  Për shembull, teorema e reprezentimit e Riesz u arrit në mënyre të pavarur nga Maurice Fréchet dhe Frigyes Riesz në 1907.Në , rezultati që çdo funksional linear në L2[0,1] i atribuohet  dhe .  Rezultati i përgjithshëm, që hapësira duale e Hilbertit identifikohet me vete hapësirën e Hilbertit, mund të gjendet tek . John von Neumann vuri  termin hapësira abstrakte e Hilbertit në veprën e tij të famshme mbi operatoret Hermitian.. Von Neumann që një nga matematikanët e vetëm në ato kohe që vuri në dukje rëndësinë e rezultatit si rrjedhoje e punës së tij thelbësore në themelimet e e mekanikës kuantike,. gjate punës së tij me Eugene Wigner.  Emri "Hilbert space" u adaptua nga të tjerët, për shembull nga Hermann Weyl në librin e tij mbi mekanikën kuantike dhe teorinë e grupeve..

Rëndësia e konceptit të hapësirave të Hilbertit u nënvizua nga realizmi që ajo ofron një nga formulimet më të mira të mekanikës kuantike..  shkurt, gjendjet e një sistemi janë vektorë në një hapësire të caktuar Hilbertiane, të observueshmet janë operatore hermitiane në atë hapësire, simetritë e sistemit janë operatore unitare, dhe matjet janë projeksione ortogonale.  Lidhja midis simetrive mekaniko-kuantike dhe operatoreve unitare dhanë një impetus direkt për zhvillimin e teorisë së reprezentimit unitar të grupeve, të filluar më 1928 me punën e Hermann Weyl.  Nga ana tjetër, në fillim të viteve 1930 u be e çart se disa veti klasike të sistemeve dinamike mund të analizohen duke përdorur teknika të hapësirës së Hilbertit në kontekstin e teorisë ergodike.

 Zbatime 

Shumë nga aplikimet e hapësirës se Hilbertit shfrytëzojnë faktin se hapësirat e Hilbertit suportojnë përgjithësime të koncepteve të thjeshta gjeometrike si projektimin dhe ndryshimi i bazës në krahasim me analoget e fundem dimensionale.  Në veçanti, teoria spektrale e operatorit linear të funksioni i vazhdueshëm vete-adjointuar (?) në një hapësire Hilberti përgjithëson dekompozimin spektral të zakonshëm tek një  matricë, gjë kjo e cila luan një rol madhor në aplikimet e teorisë në fusha tjera të matematikës dhe fizikës.

 Teoria e Sturm–Liuvilit 

Në teorinë e ekuacioneve diferenciale të zakonshme, metodat spektrale në një hapësire të përshtatshme Hilberti përdoren për të studiuar sjelljen e vlerave të veta dhe "funksioneve të veta" të ekuacioneve diferenciale.  Për shembull, problemi i Sturm–Ljuvilit del në studimin e valëve harmonike në një kordë (tel i shtrënguar) ose në një daulle..  Problemi është një ekuacion diferencial i formës

Për një variabël të panjohur y në një interval  [a,b], që kënaq konditat kufitare homogjene Robin

Funksionet p, q, dhe w jepen më përpara, dhe problemi është të gjendet një funksion y dhe një konstante λ për të cilën ekuacioni ka një zgjidhje.  Problemi ka zgjidhje vetëm për disa vlera të caktuara të λ, të quajtura "vlera të veta" të sistemit, kjo është një rrjedhim i teoremës spektrale për operatoret kompakt të aplikuar tek operatori integral i përcaktuar nga funksioni i Grinit për sistemin.  Për me tepër, një rrjedhim tjetër i këtij rezultati të përgjithshëm është se "vlerat e veta" λ të një sistemi mund të vendosen në një varg rritës që tenton në infinit.Ajgenvlerat e kernelit të Fredholmit janë  1/λ, të cilat tentojnë në zero.

 Ekuacionet diferenciale pjesore 

 Teoria ergodike 

 Te tjera 

 Percaktime dhe shembuj

 Hapësirat Euklidiane 
 Hapësira e vargjeve të pafundme 
 Hapësirat e Lebesgut 
 Hapësirat e Sobolevit 
 Hapësirat e Hardit 
 Shumat direkte 
 Produktet tensoriale 

 Vetitë 
 Identiteti i Pitagorës 
 Jobarazimi i Bezelit 

 Vetia  e kompletimit 

 Identiteti i Paralelogramit dhe polarizimi 

 Topologjia 

 Përafrimi më i mire 

 Refleksiviteti 
 Vargjet  me  konvergjencë të  dobët 

 Bazat ortonormale 
 Dimensioni i Hilbertit 
 Hapësirat e ndashme 

Komplementi dhe projeksioni  ortogonal

 Operatoret ne hapësirat Hilbertiane 
 Operatoret e lidhur 
 Operatoret e palidhur 

 Shikoni gjithashtu 

 Analiza harmonike
 Operatoret Hermitiane
 Moduli Hilbert C*
 Manifoldi i Hilbertit
 Analiza matematike
 Algjebra e operatoreve
 Topologjitë në një bashkësi të operatoreve në një hapësire Hilberti

Shënime

 Referime 
 .


 .
 .

 .
 .
 .

 .
 .
 .


 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 ; originally published Monografje Matematyczne, vol. 7, Warszawa, 1937.
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .


Lidhje të jashtme
 Hilbert Space at Mathworld

Kategoria:Algjebër
Kategoria:Teoria e Operatorëve
Kategoria:Mekanikë kuantike