Ekuacioni i shkallës së katërt

Funksioni i trajtës 



Ku a është e ndryshme nga 0 me fjalë tjera polinomi i shkallës së katërt nëse barazohet me 0 atëherë fitohet ekuacioni i shkallës së katërt

ku a ≠ 0.

 Histori 

Ekuacionet e shkallës së katërt për herë të parë janë shqyrtuar në Indi. Italiani Lodovico Ferrari për herë të parë i dha zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së katërt në vitin 1540, por pasi kjo zgjidhje kërkon që më parë të dihet zgjidhja e ekuacionit të shkallës së tretë të cilin e gjeti mentori i tij Gerolamo Cardano këto zgjidhje u botuan më vonë së bashku, në librin Ars Magna në vitin (1545).

Kjo është shkalla më e lartë (pra shkalla e katërt) e një polinomi me koeficient real i cili është i zgjidhshëm në radikale, pra me formula të cilat përdorin funksione elementare matematikore, këtë fakt e vërtetuan Abel-Ruffini në vitin 1824.

 Zgjidhja e ekuacionit 

Le të jetë dhënë ekuacioni

nëse

atëherë ,
kështtuqë zero është një rrënjë.
Për gjetjen e rrënjëve tjera, ne pjesëtojmë me 
dhe pastaj e zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë,

është e qartë se rrënjët e tij janë 1, −1 dhe −k 

nëse 
atëherë
,
pra  është rrënjë.
Ngjajshëm nëse

atëherë,

pra  është rrënjë.

Kur  është rrënjë ne pjesëtojmë  me 
dhe fitojmë 

ku  është polinom i shkallës së tretë, i cili mund të zgjidhet.
Ngjashëm nëse  është rrënjë,

ku  është polinom i shkallës së tretë.

Nëse 
atëherë −k është rrënjë atëherë e faktorizojmë ,

dhe nëse 
atëherë rrënjë janë  dhe  
Tani faktorizojmë
 atëherë fitojmë

Përr të gjetur rrënjët tjera të Q ne e zgjidhim barazimin kuadratik.

Ekuacioni bikuadratik

Nëse  atëherë

ky lloj ekuacioni zgjidhet shumë lehtë.

Le të jetë 
atëherë Q bëhet kuadratik sipas 

Le të jetë  dhe  rrënjët e q.
atëherë rrënjët e Q janë

Ekuacioni kuazisimetrik



Hapat e zgjidhjes: 

1) Pjestojmë me x 2.

2) fusim ndryshoren z = x + m/x.

Rasti i përgjithshëm

Në fillim e bëjmë reduktimin e rastit të përgjithshëm
Le të jetë

forma e përgjithshme i ndajmë të dy anët e tij me A,

Në fillim e eliminojmë termin x3. e ndryshojmë variablën nga x në u, ashtuqë
.
atëherë

zhvillojmë fuqitë e binomeve

dhe i grupojmë antarët pranë fuqive të njejta të u dhe fitojmë se

Tani i riemërojmë koeficientet e u. Le të jetë

dhe fitojmë ekuacionin

i cili quhet ekuacion i reduktuar i shkallës së katërt.

Nëse  atëherë kemi ekuacion bikuadratik i cili u shqyrtua më sipër.

Nëse  atëherë njëra nga rrënjët është  dhe rrënjët tjera gjindet kur ekuacionin e pjestojmë me , dhe e zgjidhim ekuacionin që fitohet pas këtij pjestimi i cili është i shkallës së tretë

nëse kthehemi te variablat e vjetra ne i gjejmë zgjidhjet sipas .

Kategoria:Algjebër
Kategoria:Ekuacione