Identiteti i Beltramit

Identiteti i Beltramit është një identitet në analizën e variacionit.  Ai pohon se një funksion u i cili është një ekstremal i integralit

kënaq ekuacionin diferencial

 Prova 
Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit na thotë se

Tani merrni në konsiderate diferencialin e përgjithshëm të funksionalit . Duke zëvendësuar ekuacionin e Ojler-Lagranzhit në të, ne marrim

Po të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit të Ojler-Lagranzhit me u'.  Dy termat e fundit mund te eliminohen, duke zbatuar ligjin e prodhimit për diferencimin tek  ne drejtim te kundërt.

Rezultati mund të rirregullohet si:

 Zbatime 
Në rastin kur funksionali f është i pavarur nga x, atëherë identiteti i Beltarmit mund të thjeshtohet në 

Ana e djathte e këtij ekuacioni është transformimi i Lazhandrit i f ne lidhje me u '.

Po te marrim parasysh pavarësinë e f nga x duke përdorur këtë ekuacion kurdo që është e mundur del që është më e lehte se aplikimi i ekuacionit te Ojler-Lagranzhit.

Kategori:Analizë matematike