Transformimi i Lezhandrit (Legendres)

Në matematikë, shpesh kërkohet të shprehim një relacion funksional  me një funksion argumenti i të cilit është derivat i f , në vend të x . Nëqoftëse shënojmë  argumentin e këtij funksioni të ri, atëherë ky funksion mund të shkruhet si 
 ky veprim njihet si transformim i Lezhandrit i funksionit origjinal. I emëruar kështu për nder të matematikanit francez Adrien-Marie Legendre. Transformim i Lezhandrit  i një funksioni  përcaktohet si më poshtë :

Simboli  tregon që maksimumin e shprehjes në lidhje me variabëlin  kur p është konstante. Transformimi i Lezhandrit është inversi i vetvetes. Si transformimi i Furierit , transformimi i Lezhandrit merr një funksion  dhe prodhon një funksion të një variabël tjetër . 

Transformimi i Lëzhandrit është një aplikim i relacionit dual midis pikave dhe vijave. Lidhja funksionale e specifikuar nga f(x) mund të paraqitet gjithashtu si një bashkësi e pikave (x, y), ose si një bashkësi e tangjentëve të specifikuara nga pjerrësia e tyre dhe nga vlerat ku ato kryqëzohen me boshtin.

Transformimi i Lazhandrit mund të përgjithësohet në transformimin e Lazhandër-Fenshelit. Ai përdoret shumë në termodinamikë dhe në formalizmin e mekanikës së Hamiltonit. 

 Përcaktime 
Përcaktimi i transformimit të Lezhandrit mund të jepet në mënyre më eksplicite. Në mënyre që të maksimizojmë  në lidhje me , duhet ta vendosim derivatin e saj të barabarte me zero :

Pra, shprehja arrin maksimum kur 

Ky është një maksimum sepse derivati i dytë është negativ :



sepse  e morrem si funksion konveks. Tani në marrim inversin e (2) në mënyre që të marrim  si një funksion të  dhe ta zëvendësojmë këtë tek (1), e cila jep formën më të dobishme,

Ky përcaktim jep procedurën konvencionale për llogaritjen e transformimit të Lezhandrit  : gjeni , merrni inversin për  dhe zëvendësojeni tek shprehja . Ky përcaktim e bën të qartë interpretimin e mposhtem : transformimi i Lazhandrit prodhon një funksion të ri, në të cilin variabëli i pavarur  është i zëvendësuar nga , i cili është derivati i funksionit origjinal në lidhje me .

 Një përcaktim tjetër 
Ekziston një përcaktim i tretë i transformimit të Lazhandrit :  dhe  janë transformimet Lazhandriane të njëra tjetrës neqoftese derivatet e tyre të para janë funksionet e anasjellta të njëra tjetrës :

Kjo mund të shikohet qarte po të marrim derivatin e  :

Po të kombinojmë këtë ekuacion me konditën maksimizuese marrim çiftin e mposhtem të ekuacioneve reciproke :

Tani shikojmë se  dhe  janë inversët (të anasjelltat) e njëra tjetrës, siç u tha më parë. Ato janë unike deri të një konstante aditive e cila është e fiksuar nga kërkesa që

Although in some cases (e.g. thermodynamic potentials) a non-standard requirement is used :

Në këtë artikull ne do të marrim në konsiderate vetëm kufizimin. Transformimi i Lazhandrit është i anasjellti i vetvetes, dhe është i lidhur me teknikën e integrimi me pjesë.

 Aplikimi 

 Termodinamika 
Strategjia pas përdorimit të transformimit të Lazhandrit është të ndryshojmë, nga një funksion me një nga parametrat si variabël të pavarur, tek një funksion me varësi ne një variabël të re (derivati pjesor i funksionit origjinal në lidhje me variablën e pavarur). Funksioni i ri është diferenca e funksionit origjinal dhe prodhimit të variablave të reja dhe të vjetra. Për shembull, kur energjia e brendshme është një funksion eksplicit i variablave ekstensive, entropia, vëllimi (dhe përbërja kimike)

enthalpia, transformimi Lazhandrian (jo standard) i U ne lidhje me  −PV

bëhet një funksion i entropisë dhe madhësisë intensive, shtypjes, si një variabël natyrale, si dhe është e dobishme kur P (ekstensive) është konstante. Energjia e lire (e Helmholcit dhe e Gibsit), merren nëpërmjet transformimit Lazhandrian, duke zbritur TS (nga U dhe H respektivisht), duke zhvendosur kështu varësinë nga entropia S të variabla e konjuguar intensive variable temperatura T, e cila është e dobishme kur ajo është konstante.

 Mekanika e Lagranzhit dhe Hamiltonit 
Transformimi Lazhandrian përdore në mekanikën klasike për të derivuar formulimin Hamiltonian nga ai Lagranzhian, si dhe anasjelltas. Ndërsa funksioni Lagranzhian është një funksion eksplicit i koordinatave pozicionale qj dhe shpejtësisë së përgjithshme dqj /dt (si dhe kohës), funksioni Hamiltonian zëvendëson varësinë funksionale tek pozicioni dhe momenti, të përcaktuara si .
Kur  (në këtë rast funksioni Lagranzhian konsiderohet i rregullt) mund të shprehim  si funksione  dhe të përcaktojmë 

Secila rej dy formulimeve ka aplikimet e saja, si në themelet teorike të lendes, ashtu edhe në praktike, në varësi të lehtësisë për llogaritjen e një problemi të caktuar. Koordinatat mund të mos jenë rektilineare, kështu që ato mund të formojnë edhe kënde. Një zgjedhje optimale merr avantazh nga simetritë aktuale të sistemit fizik.

 Shembulli i një kapacitori variabël 

 Shembuj 

 Transformimi Lazhandrian në një dimension 

 Interpolimi gjeometrik 

 Transformimi Lazhandrian në dimensione më të mëdha se një 

 Veti të tjera 

 Vetitë e ndryshimit te madhësisë 

 Sjellja e funksionit ne zhvendosje 

 Sjellja e funksionit nën një invertim 

 Sjellja e funksionit nën një transformim linear 

 Konvulimi infimal 

 Shikoni gjithashtu 
 Dualiteti projektiv

 Referime 




Kategoria:Matematikë
Kategoria:Teorite duale
Kategoria:Koncepte fizike themelore