Dekompozimi i Helmholcit

Në matematikë, në degën e analizës vektoriale, Teorema e Helmholcit, e njohur gjithashtu si teorema themelore e analizës vektoriale, pohon se një fushe vektoriale e lëmuar mjaftueshëm, qe zvogëlohet eksponencialisht mund te ndahet ne komponente të fushës vektoriale irrotacionale dhe solenoidale (pa divergjence).

Kjo implikon që çdo fushe vektoriale  mund të konsiderohet si e përberë nga një çift potencialesh : një potencial skalar  dhe një potenciali vektorial . 

Dekompozimi rezultues i Helmholcit i një fushe vektoriale, e cila është dy herë e diferencueshme dhe kaq e shpejte sa të veje në zero në infinit, e ndan fushën vektoriale në një shumë të një gradienti dhe të rrotacioni si më poshtë :

ku  tregon operatorin e potencialit Njutonian.

Nëqoftese , në themi së  është një fushe solenoidale pa divergjence dhe dekompozimi i Helmholcit i  bie në


Në këtë rast,  njihet si potenciali vektorial për .

Njësoj, nëqoftese  atëherë  thuhet se është pa rrotacion ose irrotacionale kështu që dekompozimi i Helmholcit i  shndërrohet në 


Në këtë rast,  njihet si potenciali skalar për .

Në përgjithësi gradienti negativ i potencialit skalar barazohet me komponentin irrotacional, dhe rrotacioni i potencialit vektorial barazohet me komponentin solenoidal :
.

 Aplikimi tek format diferenciale 

Dekompozimi i Hodge përgjithësohet në dekompozimin e Helmholcit nga fushat vektoriale në format diferenciale.

 Formulimi i dobët 

 Fushat gjatësore dhe transverse 

 Referime 

 Referime te përgjithshme 
 George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92-93
 George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95-101

 Referime për formulimin e dobët 
 C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
 R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
 V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

 Lidhje te jashtme 
 Helmholtz theorem on MathWorld

Kategoria:Analizë matematike
Kategoria:Teorema
Kategoria:Matematikë