Teorema e Ehrenfestit

Teorema e Ehrenfestit, e emëruar pas Paul Ehrenfest, jep lidhjen midis derivatit kohor të vlerës mesatare për një operator mekaniko-kuantik me komutatorin e atij operatori me Hamiltonianin e sistemit. Ajo është:

Ku A është një operator në MK dhe  është vlera mesatare. Teorema e Ehrenfestit është diçka që pritet në teorinë e Heisenbergut të mekanikës kuantike, ku ajo është thjesht vlera mesatare e ekuacionit të lëvizjes së Heisenbergut.

Teorema e Ehrenfestit është e lidhur ngushtë me teoremën e Liouville-it nga mekanika e Hamiltonit, e cila përfshin kllapat e Poisson-it (parentezat e Puasonit) në vend të komutatorit. Në fakt, është si rregull i përgjithshëm që një teoremë në mekanikën kuantike e cila përmban një komutator, mund të kthehet në një teoremë në mekanikën klasike duke e ndërruar komutatorin me kllapat e Poisson-it dhe duke e shumëzuar me .

 Derivimi 
Supozoni se kemi një sistem në një gjendje kuantike . Nëqoftëse duam të dimë derivatin kohor të çastit për vlerën mesatare të A, pra, nga përcaktimi:

ku po integrojmë mbi të gjithë hapësirën. Shpesh (por jo gjithmonë) operatori A është i pavarur nga koha, kështu që derivati i tij është zero dhe ne mund ta neglizhojmë termin e mesit. Po të aplikojmë ekuacionin e Schrödinger-it, gjejmë se:

dhe

Në notacionin Bra-ket:

Ku  është operatori Hamiltonian, dhe H është Hamiltoniani i cili paraqitet në hapësirën koordinative (si në rastin e derivimit më lart). Në fjalë të tjera, pasi aplikuam operatorin e adjuguar mbi të gjithë ekuacionin e Schrödinger-it, kjo ndryshoi radhën e zbatimit për H dhe .

Vini re që  sepse Hamiltoniani është hermitian. Duke e vendosur këtë në ekuacionin e mësipërm kemi:

 Shembull i përgjithshëm 
Për një shembull të përgjithshëm të një thërrmije masive që lëviz në një potencial, Hamiltoniani është thjesht:

ku x është thjesht pozicioni i thërrmijës. Supozoni se duam të dimë ndryshimin e çastit të momentit p. Duke përdorur teoremën e Ehrenfestit, kemi:

meqenëse p komuton me vetveten dhe meqenëse kur paraqitet në hapësirën koordinative, operatori i momentit  atëherë . Gjithashtu:

Pasi zbatojmë rregullin e prodhimit, marrim:

të cilin e njohim menjëherë si ligjin e dytë të Njutonit. Kjo është një shembull i parimit të korrespondencës, rezultati shfaqet si ligji i dytë i Njutonit në rastin kur ka shumë thërrmija saqë lëvizja totale e trupit jepet nga vlera mesatare e një thërrmije të vetme.

 Shënime 

Kategoria:Mekanikë kuantike
Kategoria:Fizikë