Sfera e Blokut

Në mekanikën kuantike, sfera e Blokut është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik me dy nivele e emëruar sipas fizikantit Feliks Blok.  Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore  e 1 kubiti të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një sferë gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në mënyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me n-nivele.

Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në hapësirën e Hilbertit ose në Hapësire projektive të Hilbertit. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo hapësirë vektoriale është një hapësirë projektive, dhe në veçanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një vije komplekse projektive, e cila është isomorfike më një sferë.  Çdo çift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në mënyre mutuale një çifti gjëndjesh ekskluzive të një thërrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për eksperimentin e Stern-Gerlach të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike. 

Metrika natyrale e sferës se Blokut është metrika Fubini-Study. 

 Kubiti 
Në mënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje  mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e vektoreve ket  dhe  ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e   të jenë reale dhe jo-negative.  Pra  ka një paraqitje si

me

Përveç rastit ku  është një nga vektoret ket  ose , kjo paraqitje është unike, pra. parametrat  dhe  specifikojnë në mënyre unike një pikë në sferën njësi në hapësirën Euklidiane , nga pikëpamja vizuale, pika koordinata e së cilës  janë 

 Një përgjithësim për gjendjet e pastra 
Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me n-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një hapësirë Hilbertiane n-përmasore  Hn. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcaktimit bashkësia e rrezeve 1-dimensionale të Hn.

Teoreme.  Le U(n) të jetë një grup Lie i matricave unitare me përmase n.  Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të Hn mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte 

Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një veprim grupinatyral te U(n) në bashkësine e gjendjeve të Hn.  Ky veprim është i vazhdueshëm dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ,  grupi izotrop i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve g të U(n) e tillë që g ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit

Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo g e U(n) që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një ajgenvektor.  Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(n - 1). Nga ky pohim i teoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi transitive të grupeve kompakte.

Fakti i rëndësishëm këtu është që grupet unitare veprojnë në mënyre transitive në  gjendjet e pastra.

Tani dimensioni (real) i U(n) është n2. Kjo shikohet lehtë meqenëse relacioni eksponencial

është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n2. 

Rrjedhim.  Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të Hn është 
2n − 2.

Në fakt,

Rrjedhim.  Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një regjistri kuantik me m kubite është 2m+1 − 2.

 Gjeometria e operatoreve të densitetit 

 Referime 
 Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) pp.9-16.
 Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (A small animation of the bloch vector submitted to a resonant excitation.)

Kategoria:Mekanikë kuantike
Kategoria:Gjeometri