Ekuacioni i valës elektromagnetike

Ekuacioni i valës elektromagnetike është një ekuacion diferencial pjesor i rendit të dytë që përshkruan përhapjen e valës elektromagnetike përmes një mjedisi ose në boshllëk. Forma homogjene e ekuacionit, me terma të fushës elektrike E ose të fushës magnetike B, është i formës:

Ku c është shpejtësia e dritës në mjedisin e caktuar. Në vakuum shpejtësia e dritës është, c = c0 = 299,792,458 metër për sekondë.Praktika e tanishme është që të përdorim c0 për të treguar shpejtësinë e dritës në vakum sipas ISO 31. Në rekomandimin origjinal të 1983, simboli c u përdor për këtë qëllim. Shiko NIST Special Publication 330, Appendix 2, p. 45  

Ekuacioni i valës elektromagnetike derivohet nga ekuacionet e Maksuellit.

Duhet te theksohet se në literaturën e vjetër, B është "densiteti i fluksit magnetik" ose "induksioni magnetik".

 Shpejtësia e përhapjes 
 Në vakuum(boshllëk) 

Nëqoftëse vala përhapet në boshllëk, atëherë

 metër për sekonda,

është shpejtësia e dritës në vakum, një vlerë e përcaktuar që përcakton standardin e gjatësisë, njësisë së metrit. Konstantja magnetike  dhe permitiviteti i vakumit  janë dy konstante fizike të rëndësishme që luajnë një rol kryesor në teorinë elektromagnetike. Vlerat e tyre (të cilat janë gjithashtu të përcaktuar) në njësi SI të marra nga NIST janë tabuluar më poshtë :

 Simboli Emri Vlera Numerike SI Njësia e matjes Tipi  Shpejtësia e dritës nëe vakum metër për sekondë e përcaktuar  konstantja elektrike  Farad për metër e derivuar;  konstantja magnetike Henri për metër e përcaktuar  Rezistenca karakteristike e vakumit  ohms e derivuar; 

 Në një mjedis material 
Shpejtësi e dritës në një mjedis material linear, isotropik, dhe jo-shperhapës ( jo-dispersiv) është

ku

është indeksi i refraktimit te mjedisit,  është permiabiliteti magnetik i mjedisit, dhe  është permitiviteti elektrik i mjedisit.

 Origjina e ekuacionit të valës elektromagnetike 
 Konservimi i ngarkesës elektrike 
Konservimi i ngarkesës kërkon që shpejtësia e ndryshimit në kohë te të gjithë ngarkesës elektrike të kufizuar brenda një volumi V duhet të jetë e barabarte korrentin total që rrjedh në sipërfaqen S e cila përmbyll volumin V :

ku j është densiteti i korrentit (në Amper për metër katror) që rrjedh përmes sipërfaqes dhe ρ është densiteti i korrentit (në kulomb për metër kub) në çdo pikë të volumit.

Nga teorema e divergjencës, ky relacion mund të konvertohet nga forma integrale në atë diferenciale :

 Ligji i Amperit para korrektimit të Maksuellit 
Në formën e tij origjinale, Ligji i forcës së Amperit jep lidhjene midis fushës magnetike B dhe densitetit të korrentit j :

ku S është një sipërfaqe e hapur e kufizuar nga një kurbë C. Kjo forme integrale mund të shndërrohet në formën diferenciale me ane te teoremës së Stouks :

 Mospërputhja midis ligjit të Amperit dhe ruajtjes së ngarkesës elektrike 
Po të marrim divergjencën e të dyja aneve të ligjit të forcës së Amperit kemi :

Divergjenca e rrotacionit të çdo fushë vektoriale, përfshire fushën magnetikë B, është gjithmonë zero :

Po të kombinojmë këto dy ekuacione del se

Për shkak se  është një konstante jo-zero, rrjedh se

Megjithatë, ligji i ruajtjes së ngarkesës elektrike thotë se

Pra, si në rastin e ligjeve te Kircofit, ligji i forcës së Amperit është i vërtete vetëm në ato raste kur kemi të bëjmë me një situate që përfshin një densitet konstant ngarkese. Kjo nuk e përfshin situatën që ndosh kur kemi rikarikimin e pllakave te një kapacitete.

 Korrektimi i Maksuellit dhe ligji rrethor i Amperit 
Ligji i Gausit në formën integrale pohon se :

ku S është një sipërfaqe e mbyllur që kufizon një volum V. Kjo formë integrale mund të konvertohet në formën diferenciale duke përdorur teoremën e divergjencës :

Po të marrim derivatin kohor te të dyja aneve dhe të nderojmë radhën e diferencimit në anën e majte marrim :

Ky rezultat i fundit së bashku me ligjin rrethor të Amperit (ligjin e forcës së Amperit) si dhe me ligjin e ruajtjes së ngarkesës elektrikë, sugjeron se aktualisht kemi dy burime origjine të fushës magnetikë : densiteti e korrentit j, siç e zbuloi Amperi, si dhe i ashtequajturi korrent zhvendoses:

Kështu që forma e rregullt e ligjit të forcës së Amperit bëhet :

 Hipoteza e Maksuellit se drita është një valë elektromagnetike 

Në publikim e tij të 1864 të titulluar Nje teori Dinamike e fushës elektromagnetike, Maksuelli përdori korrigjimin e ligjit të forcës së Amperit të cilin ai kishte bëre në pjesën e III të publikimit të 1861-shit On Physical Lines of Force. Ne pjesene e VI të publikimit të 1864 të titulluar Teoria elektromagnetike e dritësMaxwell 1864 4 (faqja 497 e artikullit si dhe faqja 9 e dokumentit pdf), Maksuelli kombinoi korrentin zhvendoses me disa ekuacione të tjera të elektromagnetismit për të marre ekuacionin e valës elektromganetike me shpejtësi të barabarte me atë të dritës. Ai komentoi :

Rënia dakord e rezultateve tregon se drita dhe magnetizmi janë ngacmime të të njejtes substance, si dhe drita është një valë elektromagnetike që përhapet përmes një fushë sipas ligjeve të elektromagnetizmit.See Maxwell 1864 5, faqja 499 e artikullit dhe faqja 1 e linkut pdf

Derivimi i Maksuellit për ekuacionin e fushës elektromagnetike është zëvendësuar në fizikën moderne nga një metode shumë më e thjështë që përfshin kombinimin e versionit të korrektuar të ligjit të forcës së Amperit me ligjin e induksionit të Faradeit.

Në mënyre që të marrim ekuacionin e valës elektromagnetike në boshllëk duke përdorur metodën moderne, mund të fillojmë me formën 'Hevisajd' të ekuacioneve të Maksuellit. Në vakum këto ekuacione janë :

Po të marrim rrotacionin e rrotacionit të ekuacioneve kemi :

Duke përdorur identitetin vektorial

ku  është një funksion vektorial i hapësirës, marrim ekuacionin e valës :

ku

 metër për sekonda

është shpejtësia e dritës në boshllëk.

 Forma kovariante e ekuacionit homogjen të valës 
Këto ekuacione relativiste mund të shkruhen në formë kovariante si

ku potenciali 4-dimensional elektromagnetik është

Me konditën e madhësisë së Lorencit :

.

Këtu

 është simboli i operatorit d'Alembertian. Kutia katrore nuk është gabim tipografik ; ajo është simboli i këtij operatori.

 Ekuacioni homogjen i valës në hapësire kohën e kurbuar 

Ekuacioni i valës elektromagnetike modifikohet në dy mënyra, derivati zëvendësohet me derivation kovariant dhe një term i ri që varet në kurbaturën e hapësire-kohës shfaqet tek ekuacioni.

ku

ështe  tensori i kurbaturës i Ricit dhe pikëpresja tregon diferencimin kovariant.

Përgjithësimi i konditës së madhësisë së Lorencit në hapësirën e kurbuar merret parasysh këtu :

.

 Ekuacioni johomogjen i valës elektromagnetike 

Ngarkesa lokale dhe densitete të korrentit që ndryshojnë në kohë veprojnë si burime të ngarkesës elektromagnetike në boshllëk.  Ekuacionet e Maksuellit mund të shkruhen në formën e ekuacionit të valës me burime.  Shtimi i burimeve tek ekuacioni i valës i bën ekuacionet diferenciale pjesore jo-homogjene.

 Zgjidhje te ekuacionit homogjen të valës elektromagnetike 

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit të valës elektromagnetike është një superpozim linear i valëve të formës

dhe

e cila virtualisht është e sakte për çdo funksion që sillet mirë g me një argument pa përmasa φ, ku
 është frekuenca këndore (në radian për sekonda), dhe 
 është vektori i valës (në radiane për metër).

Edhe pse funksioni g mund të jetë dhe zakonisht është një vale sinusoidale monokromatike, ajo mund të mos jetë sinusoidale , ose periodike.  Në praktikë, g nuk mund të ketë një periodicitet infinit sepse çdo vale elektromagnetike ka një zgjerim të kufizuar në hapësire dhe në kohë.  Si rezultat i kësaj, dhe bazuar në teorinë e dekompozimit të Furierit, një valë reale konsiston si një mbivendosje e një bashkësie të pafundme frekuencash sinusoidale.

Për më tepër, për një zgjidhje të sakte, vektori i valës dhe frekuenca këndore nuk janë madhësi të pavarura ; këto madhësi aderojnë sipas relacionit dispersiv :

ku k është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

 Gjendja monokromatike, sinusoidale 

Bashkësia më e thjështë e zgjidhjeve të ekuacionit të valës rezulton duke hipotezuar së forma sinusoidale e një frekuence të vetme në formë të ndarë :

ku
  është njësia imagjinare,
  është frekuenca këndore në radian për sekonda,
  është  frekuenca në Herz, dhe
  është formula e Ojlerit.

 Zgjidhjet e valës planare 

Konsideroni një plan te përcaktuar nga një vektor njësi pingul 
.

Atëherë zgjidhjet e valës planare të ekuacionit të valës janë

dhe 

ku
 është vektori i pozicionit (në metra).

Këto zgjidhje paraqesin një valë planare që udhëton në drejtimin e vektorit pingul . 
Po ta përcaktojmë drejtimin z si drejtimin e  dhe drejtimin x si drejtimin e , atëherë nga ligji i Faradeit vijat e fushës magnetike shtrihen në drejtimin y dhe lidhen me fushën elektrike nga relacioni

.
Për shaka se divergjenca e fushës elektrike dhe magnetike janë zero, nuk ka fusha në drejtimin e propagimit të valës.

Kjo zgjidhje ështe zgjidhja e polarizimit linear të ekuacionit të valës.  Ekzistojnë edhe zgjidhje që janë të polarizuara në mënyre rrethore në të cilat fusha rrotullohet rreth vektorit normal.

 Dekompozimi spektral 

Për shkak të linearitetit të ekuacioneve të Maksuellit në boshllëk, zgjidhjet mund të dekompozohen në një superpozim sinusoidesh.  Kjo është ideja themelore e metodës së transformimit te Furierit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale.  Zgjidhja sinusoidale e ekuacionit të valës elektromagnetike merr formën


dhe

ku
 është koha (në sekonda),
 është frekuenca këndore (në radian për sekonda),
 është vektori i valës (në radiane për metër), dhe
 është kendi fazor (në radiane).
Vektori i valës është i lidhur me frekuencës këndore nga

ku k është numri valor dhe λ është gjatësia e valës.

Spektri elektromagnetik është një graf i madhësive të fushës (ose energjisë) si funksion i gjatësisë së valës.

 Zgjidhje te tjera 
Zgjidhje analitike sferikisht simetrike dhe cilindrikisht simetrike janë të mundura për ekuacionin e valës elektromagnetike.  Në koordinata cilindrike ekuacioni i valës mund të shkruhet si më poshtë :

dhe

 Shikoni gjithashtu 
 Teoria dhe eksperimenti 
 Ekuacionet e Maksuellit
 Ekuacioni i valës
 Drita
 Spektri elektromagnetik
 Optika

 Aplikime 

 Ylberi
 Lazeri
 Fotografia
 Radari

 Shenime 

 Referime 

 Lexime të mëtejshme 
 Elektromagnetizmi 
 Artikuj gazetash 
  Maxwell, James Clerk, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)

 Libra të nivelit universitar 

 Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985). ISBN 0-07-004908-4.
 Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN 0-13-249020-X.
 Banesh Hoffmann, Relativity and Its Roots (Freeman, New York, 1983). ISBN 0-7167-1478-7.
 David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler, and Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN 0-13-225871-4.
 Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics, (MIT Press, 1995) ISBN 0-262-69188-4.
 Markus Zahn, Electromagnetic Field Theory: a problem solving approach, (John Wiley & Sons, 1979) ISBN 0-471-02198-9

 Libra të nivelit post-universitar 

 Landau, L. D.,  The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2),  (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.

 Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (Provides a treatment of Maxwell's equations in terms of differential forms.)

 Analiza vektoriale 
 P. C. Matthews Vector Calculus, Springer 1998, ISBN 3-540-76180-2
 H. M. Schey, Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus, 4th edition (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1.

 Biografia 
 Andre Mari Amperi
 Albert Ajnshtajn
 majkell Faradei
 Henrik Herc
 Oliver Hevisajd
 Xhejms Klark Maksuell

Kategoria:Elektromagnetizëm
Kategoria:Fizikë