Lëkundjet e membranës elastike

Vibrimet e një daulleje rrethore ideale, e cila konsiston prej një membrane elastike rrethore me trashësi uniforme e fiksuar te një kornize rrethore, janë zgjidhje të ekuacionit të valës me kondita kufitare zero.

Ekziston një numër i pafundmë mënyrash sipas të cilave një daulleje mund të vibrojë, në varësi të formës së daulles në një kohë fillestare, dhe shpejtësisë së ndryshimit të formës së daulles në një kohë fillestare.  Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, është e mundur të gjehet një koleksion i "thjeshtë" mënyrash vibrimi, si dhe mund të provohet se çdo vibrim sado kompleks i daulles mund të dekompozohet si një kombinim linear i vibrimeve më të thjeshta.

 Problemi 
Konsideroni një disk të hapur  me rreze  me qendër në origjinën e daulles, i cili përfaqëson formën e fiksuar të daulles.  Në çdo kohë  lartësia e formës së daulles tek një pikë  në  e matur nga forma e "fiksuar" do të jepet nga  e cila mund të merret me vlera pozitive ose negative.  Le  të përfaqësojë kufirin e  pra, rrethi me rreze  me qendër në origjinë, e cila përfaqëson një kornizë të palëvizshme në të cilën membrana e daulles është e fiksuar.

Ekuacioni matematik që përshkruan vibrimin e daulles është ekuacioni i valës me kondita kufitare zero,





Këtu,  është një konstante pozitive, e cila jep "shpejtësinë" e vibrimit.

Për shkak të gjeometrisë rrethore, është shumë e përshtatshme përdorimi i koordinatave polare,  dhe   Tani, ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si



 Rasti me simetri rrezore 
Ne do të studiojmë në fillim rastin e mënyrave të mundshme të vibrimit te një daulleje rrethore që kanë simetri rrezore.  Në këtë rast, funksioni  nuk varet tek këndi  kështu që ekuacioni thjeshtohet dhe merr formën

Tani ne kërkojmë për zgjidhje duke përdorur metodën e ndarjes se variablave,   Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëlartëm dhe duke pjesëtuar te dy anët me  marrim



Ana e majte e këtij barazimi nuk varet tek  dhe ana e djathte nuk varet tek  kështu që nga kjo del se të dyja anët janë të barabartat me një konstante   Marrim kështu dy ekuacione për  dhe  :




Ekuacioni për  ka zgjidhje te cilat rriten ose zvogëlohen në mënyre eksponenciale për  janë lineare ose konstante për  dhe janë periodike për   Fizikisht pritet që zgjidhja e problemit të daulles vibruese të jetë oshiluese në kohë, kështu që kjo lë vetëm rastin e tretë,  kur  për një numër   Atëherë,  është një kombinim linear i funksioneve sinus dhe kosinus,



Duke u kthyer tek rasti i përgjithshëm për  me observimin që  dhe te gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni diferencial të rendit të dytë janë kombinime lineare të funksioneve Bezel të rendit 0,

Funksioni Bezel  nuk ka kufi për  kështu që kjo rezulton në një zgjidhje pa kuptim fizik për daullen vibruese, kjo do të thotë se konstantja  duhet të jetë zero.  Gjithashtu do supozojmë se  sepse kjo konstante mund të absorbohet lehte ne ndonjë konstante tjetër më vonë  dhe  që vinë nga   Nga kjo del që



Kërkesa që lartësia  e membranës të jetë zero tek kufiri i daulles rezulton në konditën



Funksioni Bezel  ka një numër të pafundme rrënjësh pozitive,



Nga kjo marrim  për  kështu që



Pra, zgjidhjet me simetri rrezore  te membranës vibruese që mund të jepen me mënyrene e ndarjese se variablave janë

  for 

ku 

 Rasti i përgjithshëm 
Rasti i përgjithshëm, ku  varet edhe tek këndi  trajtohet në një mënyre shumë të ngjashme.  Tani supozojmë se ekziston një zgjedhje ku variablat mund të ndahen,



Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin valor dhe duke aplikuar metodën e ndarjes se variablave, marrim



ku  është një konstante.  Si më parë, nga ekuacioni për  del që  me  dhe



Nga ekuacioni



marrim, duke shumëzuar të dyja anët me  dhe duke bërë ndarjen e variablave, marrim



dhe



për një konstante  Since  është periodike, me periodë   e cila është një variabël këndore, nga kjo del që



ku  dhe  dhe  janë disa konstante.  Kjo implikon që 

Po të kthehemi prapa tek ekuacioni për  zgjidhja e tij jepet nga një kombinim linar i funksioneve Bezel  dhe  Me një argument të ngjashëm si në seksioni e mëparshëm, arrimë tek



ku  me  e cila është rrënja pozitive e -te e 

Më lart treguam që te gjitha zgjidhjet në të cilat variablat janë të pavarura për një daulle vibruese rrethore janë të formës



për .

 Shënim 
Duhet theksuar se zgjidhja e mëlartme merr parasysh disa supozime ideale të cilat janë të inkarnuara në ekuacionin e valës.  Një simulim kompjuterik i problemit te mësipërm do të ketë një gabim të caktuar (zakonisht rreth 5 %) në varësi te metodës së përdorur.

 Animime të disa modave të vibrimit 

 Shikoni gjithashtu 
 Dëgjimi i formës së daulles
 Korda vibruese

Referime



Kategoria:Ekuacione diferenciale
Kategoria:Vibrimet mekanike
Kategoria:Mekanikë