Momenti i Inercisë

Momenti i inercise, i njohur gjithashtu si mase moment i inercisë ose masa këndore, (njësite në SI kg m2), është koncepti analog i masës për trupa në rrotullim. Ndyshe ai mund të kuptohet si inercia e një trupi të ngurtë në rrotullim në lidhje me pikën e rrotullimit. Moment i inercisë luan të njëjtin rol në lëvizjen rrotulluese që masa luan në dinamikën e thjeshte, kjo madhësi përcakton lidhjet mes momentit këndor dhe shpejtësisë këndore, krahut të forcës dhe nxitimit këndor, si dhe shume madhësive të tjera. Edhe pse një trajtim i thjeshtë skalar i momentit të inercisë mjafton për një pjesë të mirë rastesh, një trajtim më i avancuar i bazuar në analizën tensoriale duhet të bëhet për sisteme më të komplikuar si për trupat rrotullues apo për lëvizjen xhiroskopike.

Simboli  ose ndonjëherë  përdoren zakonisht për të treguar momentin e inercisë.

Momenti i inercisë u paraqit për herë të parë nga Ojleri në librin e tij Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum në 1730. Në këtë libër, ai diskuton me detaje të shumta momentin e inercisë dhe koncepte të tjera të si, akset principale të inercisë, të cilat kanë të bëjnë me momentin e inercisë. 

 Nje shikim i përgjithshëm  light I inercise eshte nje ligj I cili ndodh ne te gjithe trupat ne natyre

 Momenti skalar i inercisë 
 Përcaktimi 
Nje përcaktim i thjeshte i momentit të inercisë së çdo objekti, qoftë ai i një pikë lëndore apo një strukturë 3-dimensionale, jepet nga :

ku
m është masa,
dhe r është distance (pingule) e pikës lëndore nga boshti i rrotullimit.

 Një analizim i detajuar 
Momenti (skalar) i inercisë i një pikë lëndore që rrotullohet rreth një aksi jepet nga

.

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup të ngurtë që konsiston nga  pika lëndore  me distanca  nga boshti i rrotullimit, moment total i inercisë është i barabartë më shumën e momenteve të inercisë së pikave lëndore:

Për një trup të ngurtë që përshkruhet nga një funksion densiteti të vazhdueshem të masës ρ(r), moment i inercise rreth një aksi të njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (të peshuar nga densiteti i masës) nga një pikë e trupit deri tek bosti i rrotullimit:

ku
V është volume i zënë nga objekti.
ρ është funksioni i densitetit hapesinore të objektit dhe 
 janë kordinatat e pikës brenda trupit.

Vetem duke u bazuar n analizen dimensionale , shikojmë se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pikë lendore duhet të marre formën:

ku
M është masa
R është rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste , gjatesia e objektit perdoret.)
k është nje konstate pa dimensione e quajtur konstantja e inercise e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate. 

Konstantet inerciale përdoren për të marrë parasysh diferencat në vendosjen e masës nga qëndra e rrotullimit. Disa shembuj janë:

 k = 1, unazë e hollë ose cilinder me mure shumë të holla rreth qëndrës së tij,
 k = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
 k = 1/2, cylinder i ngurtë ose disk rreth qëndrës.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve të inercisë.

 Teorema e aksit parallel 

 Trupat e përbërë 

 Ekuacione që përfshine momentin e inercisë 

 Tensori i momentit te inercise 

 Percaktimi 
Per nje object te ngurte te perbere nga  pika lendore , tensori i momentit te inercise jepet nga 
.

Komponentet e saj percaktohen si

ku

i, j jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,
rk eshte distanca e mases k rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe
 eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si 

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si  produktet e inercise, jane

 and

Ketu  jep momentin e inercise rreth bushtit- kur objektet rrotullohen rreth aksit-x,  tregon momentin e inercise rreth aksit- kur objektet rrotullohen rreth aksit-, e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim

ku  eshte produkti i jashtem, E3 eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe V eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

 Derivimi i komponenteve te tensorit 

Distanca  e nje therrmije tek  nga boshti i rrotullimit qe kalon permes origjines ne drejtimin e  eshte 
. Duke perdorur formulen  (dhe pak algjeber te thjeshte vektoriale) del se momenti i inercise e kesaj therrmije (rreth boshtit te rrotullimit qe kalon nga origjina ne drejtimin  ) eshte 

Kjo eshte nje formë kuadratike në  dhe, pas disa manipulimesh algjebrike, kjo con tek nje formule tensoriale per momentin e inercise 

.

Kjo eshte formula ekzakte e dhene me poshte per momentin e inercise ne rastin e nje therrmije te vetme. Per shume therrmija duhet te kujtojme qe momenti i inercise eshte aditiv ne menyre qe te veme re qe kjo formule eshte korrekte.

 Reduktimi ne nje madhesi skalare 

 Momentet principale te inercise 

 Teorema e aksit parallel 

 Madhesi te tjera mekanike 

 Shikoni gjithashtu 
 Lista e momenteve te inercise
 Lista e momenteve te tensoreve te inercise
 Energjia rrotulluese
 Teoreme e aksit paralel
 Teorema e aksit perpendikular
 Elipsoidi i Poinsots 

 Referime 

 Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

 Landau LD and Lifshitz EM. (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

 Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Systems and Particles, 4th. ed., Thomson. ISBN 0-03-097302-3

 Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

 Tenenbaum, RA. (2004) Fundamentals of Applied Dynamics, Springer. ISBN 0-387-00887-X

 Lidhje te jashtme 
 Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions 
 A table of moments of inertia
 Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
 The moment of inertia tensor 
 An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)

Kategoria:Fizikë
Kategoria:Mekanikë
Kategoria:Mekanika Njutoniane