Ekuacioni i Helmholcit

Ekuacioni i Helmholcit, i emërtuar sipas Herman von Helmholc, është një ekuacioni diferencial pjesor eliptik

,

ku  është operatori i Laplasit,  është një konstante, dhe funksioni i panjohur  është i përcaktuar në një hapësirë Euklidiane n-dimensionale Rn (tipikisht n=1, 2, ose 3, ne raste kur zgjidhja e ekuacionit ka kuptim fizik).

 Motivacioni dhe perdorimet 

 Zgjidhja e ekuacionit te Helmholcit duke perdorur ndarjen e variablave 

 Membrana vibruese 
Analogja dy-dimensionale e nje korde vibruese është membrana vibruese, me cepa te fisuar ne menyre qe ato te mos levizin. Ekuacioni i Helmholcit u zgjidh per shume forma te ndryshme ne shekullin e 19-te: membrana rektangulare nga Simeon Denis Puason ne 1829, trekendeshi barabrinjes nga Gabriel Lame ne 1852, dhe membrana rrethore nga Alfred Klebsh ne 1862. Daullja eliptike u studiua nga Emile Mathju, nga e cila doli ekuacioni diferencial i Mathjut. Format e zgjedhura i korrespondojne formave tabela dinamike e bilardos e se cilave është e integrueshme, pra jo kaotike. Kur levizja ne nje tabele bilardoje korresponduese është kaotike, atehere nuk njihet ndonje forme e mbyllur analitike e ekuacionit te Helmholcit. Studimi i sistemeve te tilla njihet si kaosi kuantik, sepse ekuacioni i Helmholcit dhe ekuacione te tjera te ngjashme hasen shpesh ne mekaniken kuantike. 

Neqoftese cepat e nje forme jane segmente vijash te drejta, atehere zgjidhja është e integrueshme ose mund te nmerret ne forme te mbyllur vetem neqoftese ajo mund te shprehet si nje kombinim linear i valeve planare qe kenaqin konditat kufitare (ne kufi te jete zero, pra., membrane e fiksuar). 

Nje situate interesante ndosh me nje forme ku gjysma e zgjidhjes është e integrueshme kurse pjesa tjeter s'është. Një formë gjeometrike e thjeshtë ku kjo ndodh është gjashtekendshi i rregullt. Neqoftese paketa valore qe pershkruan nje top bilardoje kuantik perbehet vetem nga zgjidhje qe kane formen e mbyllur, levizja e saj nuk do te jete kaotike, por neqoftese perfshime horma zgjidhjeje pa forme te mbyllur analitiek, levizja e topit te bilardos kuantike behet kaotike. Nje forme tjeter e thjështë ku kjo ndodh është me nje forme "L"-je duke reflektuar nje katror poshte dhe pastaj ne te djathte.

Neqoftese fusha e percaktimit është nje rreth me rreze a, atehere duhet te paraqesim kordinatat polare r dhe θ. Ekuacioni i Helmholcit merr formen



Tani mund te impozojme konditat kufitare ne menyre qe A te zhduket nneqoftese r=a; pra



Metoda e ndarjes se variablave nxjerr zgjidhje shume te thjeshta te formes



ku Θ duhet te jete perodike me periode 2π. Kjo jep



dhe


Tani nga kondita e periodicitetit del qe 



si dhe n duhet te jete nje numer i plote. Komponenti rrezor R ka formen



ku funksioni Bezel Jn(ρ) kenaq ekuacionin e Bezelit



dhe ρ=kr. Funksioni rrezor Jn 
ka nje numer te pafundem rrenjesh per cdo vlere te n, te dhene nga ρm,n. Kondita kufitare qe A te zhduket kur r=a kenaqet vetem kur frekuancat kooresponduese jepen nga



Zgjidhaj e pergjithsheme A merr formen e nje shume te pafundme te dyfishte te termave q perfshine produktet e 



Keto zgjedhje jane modat e vibrimit te nje daulleje rrethore.

 Zgjidhjet tre dimensionale 

 Forma paraksiale 

 Ekuacioni johomogjen i Helmholcit 

 Referime 
 M. Abramowitz and I. Stegun eds., Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards. Washington, D. C., 1964.

 Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. (2002). Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ch. 19. ISBN 0-521-89067-5.

 McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books: Sausalito, California, Ch. 16. ISBN 1-891389-24-6.

  Kapitulli 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

 A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, New York, 1949.



 Lidhje te jashtme 
 Helmholtz Equation tek EqWorld: Bota e Ekuacioneve matematike.
 Vibrating Circular Membrane Nga Sam Blake

Kategoria:Fizikë
Kategoria:Valë
Kategoria:Ekuacione diferenciale