Ekuacionet e Hamilton-Jakobit

Në fizikë, ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ) është një riformulim i mekanikës klasike dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si ligjet e Njutonit, mekanikën e Lagranzhit dhe mekanikën e Hamiltonit. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht. 

EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e Johan Bernulit në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, ekuacionin e Shrodingerit, siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i mekanikës klasike me mekaniken kuantike.

 Formulimi matematik 
Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është një ekuacion differencial pjesor jolinear i rendit të parë , për një funksion  i quajtur funksioni principal i Hamiltonit

Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga mekanika e Hamiltonit duke trajtuar  (veprimin) si funksionin gjenerues për një transformim kanonik të funksionit Hamiltonian klasik . Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të  në lidhje me koordinata e përgjithshme 

të cilat mund të merren si më poshtë.
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga 

Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, integrali në  është zero. Tek termi i parë vendosim , dhe e quajmë vlerën e  me . Duke zëvendësuar  me , marrim
. 
Nga ky relacion del se derivatet pjesore të veprimit në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.

 Krahasimi me formulimet e tjera të mekanikës 

 Notacioni 
Për thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si  për të paraqitur listën e  koordinatave të përgjithshme

që nuk transformohen si një vektor përgjatë një rrotullimi. Prodhimi skalar këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra, 

 Derivimi 
Çdo transformim kanonik që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë  na çon tek relacionet

(Shikoni artikullin mbi transformimet kanonike për detaje të mëtejshme.) 

Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues  që prodhon funksion e ri Hamiltonian  i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe ekuacionet e Hamiltonit bëhen shumë të lehta

pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë konstantet e lëvizjes. Vrullet e reja të përgjithshme  shpesh jepen nga , pra, . 

HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian 

i cili është ekuivalent me EHJ

meqense .

Koordinatat e reja të përgjithshme  janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga . Pasi zgjedhim për , marrim disa ekuacione shumë të dobishme 

të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi

Idealisht, këto  ekuacione mund të invertohen për të gjetur koordinatat e përgjithshme origjinale  si një funksion i konstanteve  dhe , kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.

 Ndarja e variablave 

 Shembuj në koordinatave sferike 

Hamiltoniani në koordinata sferike mund të shkruhet si 

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs  merr formën 

ku ,  dhe  janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve  tek ekuacioni i HJ jep

Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të ekuacioneve diferenciale ordinere duke filluar me ekuacionin  

ku  është konstantja e lëvizjes e cila eliminon  varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit

Ekuacioni tjetër diferencial përfshin koordinatat e përgjithshme  

ku  është prapë një konstante e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga  dhe e redukton ekuacionin në ekuacionin diferencial ordiner final.

integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për .

 Shembuj në koordinata eliptike cilindrike 

 Shembuj në koordinata parabolike cilindrike 

 Perafrimi Ikonal dhe lidhja me ekuacionin e Shredingerit 

 Ekuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionale 

ku  janë komponentët kontravariant të tensorit të metrikës, m është masa e prehjes e thërrmijës dhe c është shpejtësia e dritës.

 Shiko gjithashtu 
 Ekuacionet e Hamiltonit
 Transformimet kanonike
 Konstantja e lëvizjes
 Fusha vektoriale Hamiltoniane
 Në teorinë e kontrollit, shikoni ekuacioni i Hamilton-Jakobi-Bellmanit.
 Përafrimi WKB

 Referime 
 Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826.

 Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518.





 Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.

Kategoria:Mekanikë
Kategoria:Fizikë