Vektori

Vektorët jane trupa janë madhësi që karakterizohen me një numër skalar, me drejtimin dhe me kahun e caktuar. Madhësitë si gjatësia, syprina, vëllimi, pesha, masa, temperatura, dendësia, puna, energjia etj. karakterizohen vetëm me numër,

Mirëpo, ekzistojnë edhe madhësi të tjera, si për shembull, forca, shpejtësia, nxitimi, rrotullimi etj., të cilat përveç numrit karakterizohen edhe me drejtimin dhe kahun. Madhësitë që karakterizohen vetëm me numër quhen madhësi skalare ose skalarë, ndërsa madhësitë që karakterizohen me numër, me drejtim dhe me kah quhen madhësi vektoriale ose vektorë. 

Gjeometrikisht çdo madhësi vektoriale mund të paraqitet me një segment të orientuar i cili ka gjatësinë, drejtimin dhe pikën e fillimit (origjinën) të caktuar. Vija e drejtë tregon drejtimin e vektorit, gjatësia e vijës tregon vlerën ose intensitetin , maja e shigjetës tregon kahun, ndërsa pika a tregon pikën e zbatimit.

Segmenti i orientuar zakonisht përkufizohet si segmenti   skajet e të cilit merren si dyshe e renditur   të pikave  dhe  quhet segment i orientuar dhe shënohet me .Ismet Dehiri: Matematika I dhe II. Prishtinë, 1979Madhësitë vektoriale paraqiten me një shigjetë mbi shkronjën përkatëse ose duke e theksuar më shumë madhësinë vektoriale.

 Madhësitë skalare dhe vektoriale 
Në përgjithësi, në mesin e madhësive fizike, në rend të parë dallojmë ato madhësi të cilat janë të përcaktuara vetëm me vlerë numerike të tyre, me fjalë tjera, madhësi të cilat përcaktohen me një real.

Madhësitë e përcaktuara me një numër real quhen madhësi skalare ose shkurt skalarë. Skalarët paraqiten në boshtin numerik me pika përkatëse dhe krahasohen ndërmjet vete duke krahasuar vlerat numerike të tyre. Dy skalarë janë të barabartë në qoftë se, në lidhje me njësinë e njëjtë, kanë vlera të njëjta numerike d.m.th., në qoftë se numrat matës të tyre janë të barabartë.

 Vektorë të kundërt 
Vektorët simbolikisht shënohen me , , etj. Le të jetë AB një segment i dhënë me gjatësi d, atëherë dihet se vektori  mund të paraqitet si një segment i orientuar në të cilin dallojmë pikën e fillimit A dhe pikën e mbarimit B. Vektorët  dhe  kanë kahun e kundërt dhe quhen vektorë të kundërt edhe nëse drejtimin dhe intensitetetin e kanë njejtë.

 Zero vektori 
Drejtëza e përcaktuar nga pikat  dhe   quhen bartës i vektorit  dhe shënohet  . Vektori tek i cili pika e fillimit përputhet me pikën e mbarimit quhet zero vektor, ky vektor ka gjatësinë e barabartë më zero dhe shenohet me .

 Vektorë njësie 
Vektori me gjatësi 1 quhet vektor njësi. Dy vektorë janë të barabartë në qoftë se kanë drejtim në njëjtë, kahe të njëjta dhe vlera numerike të barabarta. Në qoftë se së paku njëea nga këto tri veti nuk plotësohet, atëherë themi se vektorët nuk janë të barabartë.

 Rrezevektorët 
Vektorët me fillim në një pikë të fiksuar të hapësirës quhen vektorë të lidhur për një pikë (radius vektorë). Për shembull ekuacioni

ku me  kemi shënuar vektorin me fillim në një pikë të dhënë , ndërsa  pika e mbarimit është çfarëdo pikë , paraqet bashkësinë e të gjitha pikave  me largësi nga pika , të barabartë me 1; në rrafsh bashkësia e këtyre pikave paraqet rreth, ndërsa në hapësirë sferë. Prandaj

do të jetë ekuacioni i rrethit njësi, respektivisht ekuacioni i sferës njësi. 
 Vektorë kolinearë 
Të gjithë vektorët të cilët shtrihën në një drejtëz të njëjtë quhen vektorë të lidhur për drejtëz ose vektorë kolinearë. Vektorët të cilët janë të lidhur për drejtëz të njëjtë, në qoftë se kanë intensitetin e barabartë, dhe kahe të njëjta, atëherë ata do të jenë të barabartë. Vektorët e një drejtëze të barabartë me vektorin  në drejtëz ë njëjtë formojnë një klasë ekuivalence, ndërsa vektori  quhet i lirë. Në veçanti, vektorët në boshtin numerik kanë kahe të njëjta me kahe të boshtit ose të kundërt me të.

Vlera algjebrike  e vektorit , në boshtë të dhënë, është numri real  ose  varësisht nga fakti se a ka kahe të njëjta vektori  me boshtin numerik apo kahe të kundërta me të

ose 

Vlera algjebrike e zero-vektori, d.m.th. e vektorit me intensitet zero është . Le të jetë  një vektor i dhënë, atëherë vektorin - njësi me drejtim të njëjtë dhe kahe të njëjta sikurse vektori  e shënojmë ort  (ose, bie fjala, ), prandaj për çfarëdo vektori  të ndryshëm nga zero - vektori, do të jetë:

ose

respektivisht

 Vektor-njësie i boshtit 
Drejtëza e orientuar ose boshti, siç dihet është i caktuar me drejtimin dhe kahun e vet e kjo do të thotë se është i caktuar me çfarëdo vektori të vet me kahe të njëjta. Zakonisht, për vektor të tillë në drejtëz mirret vektor-njësie i cili atëherë quhet vektor-njësie i boshtit ose ort i boshtit.
Në boshtin 1 (Figura lartë) le të jetë vektorët  dhe  me vektornjësinë . Vektori  ka kahe të njëjta me boshtin  (d.m.th. kahe pozitive), ndërsa vektori  me kahe të kundërt, atëherë duke pasur parasysh relacionin  do të jetë:

dhe 

Meqë vlerat algjebrike të këtyre vektorëve në boshtin  janë:

dhe

do të kemi

dhe

Në përgjithësi, në qoftë se me  shënojmë vlerën allgjebrike të vekorit  në boshtin  atëherë do të jetë:

Shembull: Le të jenë dhënë vektorët  dhe  në boshtin 
Qartëzi shihet se numri  është vlera algjebrike e vektorit  në boshtin , ndërsa numri  do të jetë vlera algjebrike e vektorit   në boshtin të njëjtë.

Le të jetë në boshtin  i dhënë një vektor-njësie  me pikën e fillimit 
 Vektor-pozite 
Çdo pikë  e boshtit  është përcaktuar me vektorin  i cili quhet vektor-pozite i pikës  ndaj pikës . Vlera algjebrike e vektorit  është abshisa  e pikës ; në qoftë se kahu i vektorit  është i njëjtë me kahun e boshtit  atëherë  është numër real pozitiv, respektivisht, në qoftë se kahu i vektorit është i kundërt me kahun e boshtit  atëherë  do të jetë numër real negativ. Në këtë mënyrë çdo pike  në boshtin  i përgjigjet vetëm një vektor  respektivisht vetëm një numër real  (vlera algjebrike e vektorit ). Pikës  i përgjigjet zero-vektori respektivisht numri zero. Anasjelltas, çdo numri real  i përgjigjet në boshtin  vetëm një pikë  e tillë që të jetë

respektivisht

Numrit zero i përgjegjet pika .

Le të jenë dhënë dy vektorë  dhe . Në qoftë se ekziston numri real  i tillë që të plotësohet barazimi

atëherë vektorët  dhe  janë linearisht të varur ose kolinear. Në qoftë se numri  nuk ekziston atëherë vektorët  dhe  janë linearisht të pavarur ose jokolinear. Në qoftë se  është zero-vektor, atëherë , prandaj është kolinear me çdo vektor . Gjithmonë mund të zgjedhen  dhe  të tilla që të jetë

prandaj nga  rrjedh

Shembull: Le të jenë vektorët  dhe  linearisht të varur e po ashtu ndërmjet veti edhe ektorët  dhe . Të tregohet se janë linearisht të varur edhe vektorët  dhe .

Zgjidhje: Nga hipoteza se vektorët  dhe  janë linearisht të varur rrjedh se ekzistojnë numrat realë  dhe  (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nga zero) të tillë që të jetë:

Nga ana tjetër gjithashtu supozohet se vektorët  dhe  janë linearisht të varur, prandaj ekzistojnë gjithashtu numrat realë  dhe  (së paku njëri prej tyre i ndryshëm nga zero) të tillë që të jetë:

Në qoftë se , atëherë  prandaj nga  rrjedh se , prandaj vektorët  dhe  janë linearisht të varur. Në mënyrë analoge përfundojmë në qoftë se . Supozojmë tash se  dhe . Atëherë do të jetë:

respektivisht (në qoftë se i mbledhim tejpërtej të dy barazimet)

ku 
që do të thotë se vektorët  dhe  janë linearicht të varur.

 Këndi ndërmjet dy vektorëve 
 Kënd i orientuar 
thumb
Le të jenë vektorët  dhe  të tillë që  dhe  me pikë  të përbashkët. Le të jetë  vektori i parë, ndërsa  vektori i dytë, d.m.th. çifti i vektorëve është çifti i renditur.

Kënd ndërmjet vektorëve  dhe  është ai kënd për të cilin duhet rrotulluar vektorin e parë , në rrafsh, të cilin e përcaktojnë vektorët  dhe , rreth pikës 0, në mënyrë që drejtimi dhe kahu i tij të përputhen me drejtimin dhe kahun e vektorit .

Është e qartë se rrotullimi i vektorit mund të bëhet në dy kahe: Në kahun i cili është i kundërt me kahun e rrotullimit ë akrepave të orës ose në kahun e rrotullimit të tyre. Rrotllimi i parë mirret (sipas marrëveshjes) si pozitiv, ndërsa ai i dyte negativ. Në këtë mënyrë fitohet këndi pozitiv, respektivisht negativ dhe quhet kënd i orientuar.

Thuhet se vektori  në rast të parë përshkruan këndin pozitiv, ndërsa në rastin e dytë kënd negativ. Simbolikisht shënohet  ose  e shpesherë edhe shkurt vetëm  ose .

Në qoftë se vektori  rrotullohet, siç e përshkruam në sipër, pasi të përshkruajë këndin  respektivisht  atëherë me drejtim dhe kahe përputhet me vektorin . Në të dy rastet vektori  mund të rrotullohet edhe më tutje deri sa të përputhet prapë me vektorin , atëherë këndi të cilin e përshkruan ai është e qartë se do të jetë  respektivisht . Një mënyrë e tille e rrotullimi e vektorit  mund të vazhdojë pa kufi. Pra, do të fitohen këndet

ku  është bashkësia e të gjithë numrave të plotë.

Pra, qartas po shihet se , respektivisht  nuk është plotësisht i caktuar derisa nuk tregohet kahu u rrotullimit dhe numri i rrotullimeve të plota.

Gjithë atë që e cekëm në lidhje me këndin ndërmjet vektorëve  dhe  respektivisht këndin ndërmjet vektorëve  dhe  mund të thuhet edhe për këndin ndërmjet vektorëve  dhe , respektivisht vektorëve  dhe  d.m.th. për  respektivisht .

dhe 

atëherë

Fizika

ku 

 Burimi i të dhënave 

Kategoria:Matematikë
Kategoria:Trigonometri
Kategoria:Fizikë