Bashkësitë

Bashkësia është koncepti themelor në matematikë. Bashkësia përbëhet nga objekte të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit. 

Caktim i bashkësive bëhet në dy mënyra :
 Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: 
 Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: 

 Bashkësitë numerike 
Bashkësia e numrave natyral: 

Bashkësia e numrave të plotë: 

Bashkësia e numrave racionalë: 

Bashkësia e numrave real: 

Bashkësia e numrave kompleks: 

Bashkësia e numrave çift:  ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: 

 Vetia e ndërrimit

2.Vetia e shoqërimit

 Vetia e shpërndarjes

 Ndryshesa e bashkësive
Ndryshesa e bashkësive  dhe  quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë  që nuk i takojnë bashkësisë 

figura.

 Ndryshesa simetrike simetrike e bashkësive
Diferenca simetrike e bashkësive  dhe  quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive  dhe 

figura.

 Relacionet 
 Relacionet dyjare
Nëse me  shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me  relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elementeve të -së, atëherë për  themi se është relacion binar (dyjar).
Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e prodhimit kartezian :

Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti
Nëse në bashkësinë jo të zbrazët  vlen relacioni  i cili ka vetitë  dhe  atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar. 

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria
Nëse në bashkësinë jo të zbrazët  nga relacioni binar  rrjedhë  atëherë themi se kemi të bëjmë me një relacion binar simetrik

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Kalimtare
Nëse në bashkësinë jo të zbrazët  nga relacionet binare  dhe  rrjedhë  atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.
 Relacioni i njëvlershmërisë
Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë  i cili në bashkësinë  është refleksiv, simetrik dhe kalimtar. Simboli i relacionit të njëvlershmërisë është "  " .
Relacionet më të rëndësishme të njëvlershmërisë janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i njëvlershmërisë mund të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

 Relacioni i renditjes
Relacioni i renditjes është relacioni binar  i cili në bashkësinë  është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë  në bashkësinë  është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

 Relacionet ndërmjet dy bashkësive
Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian  i bashkësive jo të zbrazëta  dhe . Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen : 

 Pasqyrimet 
Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë  në  quhet relacioni  ndërmjet dy bashkësive  dhe , i cili ka këtë veti :

Elementet e bashkësisë  që pasqyrohen në bashkësinë  janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë  që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit.
Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me  por me  etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.
 Shënimi simbolik i pasqyrimit 
 ose  
 Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
 Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
 Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

 Funksioni i anasjelltë
Nëse për pasqyrimin  vlen që ç´do  element i  dhe ekziston një elementë  i tillë që :

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers  të pasqyrimit .
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers  zakonisht shënohet si : 
Për pasqyrimin  themi se është kodomen i domenit  dhe në të njëjtën kohë domeni  është kodomen i .
Figura:

 Shumëzimi i funksioneve
Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit  të bashkësisë  i përgjigjet (ekziston së paku një) element  i bashkësisë , i tillë që në bashkësinë  ekziston së paku një element  i cili i përgjigjet .Në gjuhen matematikore kjo duket si : 

 Veprimet binare 
Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:  
 Ligjet e veprimeve binare 
 ligji komutativ është nëse vlen:
 ligji asociativ është nëse vlen:
 ligji distributiv është nëse vlen: 
 Nëse në bashkësinë jo të zbrazët  është i përkufizuar veprimi binar  atëherë për  themi se është grupoid.
 Po që se veprimi binarë  grupoidit  është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
 Nëse në bashkësinë jo të zbrazët  ekziston një element  me vetinë:
 ,atëherë për  themi se është element neutral.

 Grupet dhe nëngrupet 
Arikulli kryesor: Teoria e grupeve
Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

 Unaza,Trupi dhe Fusha 
 Unaza
Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku
  është grup abelian,
  është grupoid dhe
 shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
 Trupi
Trup quhet unaza asociative  nëse  është grup, ku .
 Fusha
Fushë quhet trupi  nëse shumëzimi është kumutativ.

 Simbolet matematikore 
P

Kategoria:Matematikë
Kategoria:Bashkësitë