Kombinatorika

Kombinatorika merret me studimin e bashkësive të fundme, me grupimin e elementeve të tyre sipas ndonjë kriteri të caktuar, me renditjen e elementeve etj. Kuptimet themelore të kombinatorikës janë permutacioni, kombinacioni, variacioni, multibashkësia etj.  Kombinatorika është degë e matematikës e cila merret me studimin e strukturave diskrete të fundme ose të numërueshme. Si degë me zbatim të gjerë ajo përfshin numërimin në përgjithësi ose numërimin e objekteve që kanë veti të caktuara. Numërimi na ndihmon të zgjedhim lloje të ndryshmë problemesh, si p.sh. numërimi i IP adresave të versionit 4 dhe 6. Kombinatorika është e lidhur ngushtë me shumë fusha të tjera të matematikës dhe gjen zbatim nga logjika e fizika statistikore deri tek shkenca kompjuterike. Kombinatorika është e njohur për gjerësinë e problemeve që trajton. Problemet kombinuese lindin në shumë fusha të matematikës së pastër, veçanërisht në algjebër, teorinë e probabilitetit, topologji, gjeometri dhe në shumë fusha të zbatimit të saj.  Shumë pyetje kombinuese janë konsideruar historikisht të veçuara, duke i dhënë një zgjidhje  një problemi që lind në një kontekst matematikor. Në fund të shekullit të njëzetë, megjithatë, u zhvilluan metoda të fuqishme dhe të përgjithshme teorike, duke e bërë kombinatorikën një degë të pavarur të matematikës më vete. Një nga pjesët më të vjetra dhe më të arritshme të kombinatorikës është teoria e grafit, e cila në vetvete ka lidhje të shumta natyrore me zona të tjera. Kombinatorika përdoret shpesh në shkencën kompjuterike për të marrë formula dhe vlerësime në analizën e algoritmeve. 

Ajo është e lidhur ngushtë me degë tjera të matematikës si Algjebra, Teoria e gjasës, dhe Gjeometria, dhe ka zbatime të shumta në Shkencat kompujterike në Statistikë etj. Aspekte të kombinatorikës konsistojnë në llogaritjen e numrit të objekteve të cilat plotësojnë ndonjë kriter të caktuar përbën objektin e studimit të Kombinatorikës numerike, Gjetjen e elementit ose objektit më të madh ose më të vogël ose zgjedhjen optimale këto probleme i studjon Kombinatorika ekstrmale, poashtu zhvillimi dhe gjetja e strukturave të cilat i plotësojnë objektet kombinatorike, i studjon Kombinatorika algjebrike. 

Kombinatorika më shumë merret me zgjidhjen e problemeve se me ndërtimin e një teorie, por kjo nuk do të thotë se gjatë këtij zhvillimi nuk është ndërtuar një teori e fuqishme e kombinatorikës sidomos në fund të shekullit XX . Njëra nga pjesët e kombinatorikës është edhe Teoria e grafeve. 

Matematikani i cili është i specializuar në kombinatorikë quhet kombinatorist.

 Historia e kombinatorikës 

Gjurmë të kombinatorikës gjejmë te Xhainistët në Indi, matematikani Pingala e zbuloi metodën e përcaktimit të numrit të kombinacioneve të një numri të dhënë shkronjash, prej të cilave zgjedhim 1, 2, etj. Mahavira rreth vitit 850 i dha formulat e përgjithshme për gjetjen e numrit të permutacioneve dhe kombinacioneve të një bashkësie të fundme. Bhaskaracharya për kombinatorikën përdorte emërtimin Anka Pasha në Lilavati. Ai dha disa formula të reja në kombinatorikë. 
Disa arritje të rëndësishme janë dhënë nga grekët e vjetër dhe kinezët. Disa matematikan arab dhe çifut kanë përdorur konceptet e permutacionit dhe kombinacionit gjatë vështrimeve astronomike p.sh. Rabbi ben Ezra rreth vitit 1140). Libri i parë modern i shkruajtur me subjekt kombinatorikën është Ars Conjectandi i shkruajtur nga matematikani i shquar Jacob Bernoulli i cili u botua në vitin 1713.

 Kombinatorika numerike 

Kombinatorika numerike është fusha më klasike e kombinatorikës, ajo merret me llogaritjen e numrit të konfiguracioneve të cilat përkufizohen nga elementet e një bashkësie të caktuar objektesh. Shumica e problemeve të cilat hasen në kombinatorikën numerike kanë formulim të thjeshtë kombinatorik p.sh disa prej tyre janë Numrat e Fibonaccit, Numrat e Catalanit, Numri i permutacioneve, kombinacioneve, Particioni i numrit natyral Particioni i bashkësisë, Kompozicioni i numrit natyral etj.

 Kombinatorika analitike 

Kombinatorika analitike merret me studimin e strukturave kombinatorike duke shfrytëzuar konceptet nga Analiza komplekse dhe nga Teoria e gjasës. Përderisa kombinatorika numerike nxjer formula eksplicite duke i shfrytëzuar p.sh funksionet gjeneratrisa kombinatorika analitike përfundimet i jep me formula asimptotike.

 Elementet e Kombinatorikës 
Elementet themelore të kombinatorikës janë:

i. Kombinacionet me dhe pa përsëritje

ii. Variacionet me dhe pa përsëritje

iii.Permutacionet me dhe pa përsëritje

Kombinacione pa përsëritje të klasës nga bashkësia M me n elemente e quajmë çdo nënbashkësi të bashkësisë M me k-elemente.

Kombinacione me përsëritje të klasës në bashkësinë n-elementshe quhet çdo rrokje e gjatësisë e marrë nga bashkësia n-elementshe,ku rrokjet dallohen vetëm kur kanë elemente të ndryshme.

Variacione me përsëritje të klasës nga n-elemente e quajmë çdo renditje të gjatësisë  të marrë nga bashkësia n-elementëshe.

Variacione pa përsëritje të klasës nga n-elemente e quajmë çdo renditje të gjatësisë, e marrë nga bashkësia n-elementëshe, kur në k-renditjen  elementet janë të ndryshme.

Permutacione pa përsëritje të bashkësisë n-elementëshe e quajmë çdo pasqyrim bijektiv të asaj bashkësie në vetveten.

Për shembull, janë 6 permutacione të shkronjave a, b, c:  abc,  acb,  bac,  bca,  cab,  cba. Ne e dimë se i kemi të gjitha të renditura më sipër janë 3 zgjedhje për cilën shkronjë vendosim së pari, më pas 2 zgjedhje se cila shkronjë vjen më pas, e cila lë vetëm 1 zgjedhje për shkronjën e fundit. Parimi shumëzues thotë se ne shumëzojmë 3  2  1

 Referime 
 Bjorner, A. and Stanley, R.P., A Combinatorial Miscellany
 Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.
 Lindner, Charles C. and Christopher A. Rodger (eds.) Design Theory, CRC-Press; 1st. edition (October 31, 1997). ISBN 0-8493-3986-3.
 van Lint, J.H., and Wilson, R.M. (2001). A Course in Combinatorics, 2nd Edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-80340-3.
 Stanley, Richard P. (1997, 1999). Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55309-1, ISBN 0-521-56069-1.
 Combinatorial Analysis – an article in Encyclopædia Britannica Eleventh Edition
 Riordan, John (1958). An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley & Sons, New York (republished). 
 Permutations and combinations - an article in Encycpedia Britannica 

 Shënim 

 Lidhje të jashtme 

 Combinatorics, a MathWorld article with many references.
 Combinatorics, from a MathPages.com portal. 
 The Hyperbook of Combinatorics, a collection of math articles links.

Kategoria:Matematikë