Cauchyho integrálna formula

V matematike je Cauchyho integrálna formula jedno z centrálnych tvrdení komplexnej analýzy. Formula je pomenovaná na počesť francúzskeho matematika Augustina-Louis Cauchyho. Cauchyho integrálna formula umožňuje jednoduchý výpočet komplexných krivkových integrálov po uzavretých krivkách; poskytuje taktiež prepojenie medzi deriváciami a integrálmi (napr. v podobe Taylorovej vety).

 Tvrdenie 
Nech  je oblasť (t.j. otvorená podmnožina komplexnej roviny) a nech  je otvorená množina. Ďalej, nech  je holomorfná funkcia na , potom

.
Obdobnou podobou Cauchyho integrálnej vety je forma, kde sa integruje po kružnici  s ľubovoľne malým polomerom  a stredom v bode 

 Dôkaz 
Predtým, než sa pustíme na dôkaz Cauchyho formuly, si dokážeme pomocnú lemu. Dôkaz predpokladá znalosť Cauchyho integrálnej vety a elementárnej komplexnej analýzy.

 Lema 
Nech  je otvorená podmnožina komplexnej roviny , a nech   je holomorfná funkcia. Nech  je otvorená množina, ktorej hranica  pozostáva z (n+1) po častiach hladkých Jordanovských kriviek: ​ s ACW orientáciou (kladná orientácia) a  s CW orientáciou (záporná orientácia). Predpokladajme, že existuje otvorená podmnožina  taká, že  a všetky ​ ležia vo vnútri . Potom:

 Dôkaz lemy 
Nech  je jednoducho súvislá oblasť, ktorej hranica je tvorená z krivky , kriviek  s ACW orientáciou a kriviek , pričom tieto krivky máme "dvakrát," raz s ACW, raz s CW orientáciou. Krivka  spája  s . Na základe Cauchyho integrálnej vety (CIV), ktorá vraví, že integrál po hranici jednoducho súvislej oblasti je nulový máme

ale keďže

dostávame

čo sme chceli ukázať.

 Dôkaz Cauchyho formuly 
Nech platia predpoklady lemy a . Vezmime také , že uzavretý kruh  so stredom v bode   nemá s krivkami  prienik. Označme , potom , kde  označuje sféru s polomerom  (orientácia je záporná). Na základe lemy máme

teda 

Ukážeme teraz, že limita

Stačí si uvedomiť, že (integrál  je logaritmus, ktorý na uzavretej krivke je rovný )

potom

pričom  značí krivkový integrál prvého druhu funkcie . Ďalej využijeme fakt, že integrujeme po kružnici s polomerom  a spojitosť (resp. holomorfnosť) funkcie 

pričom  je dostatočne malé reálne číslo. Dostávame teda

teda rozdiel

môžeme urobiť ľubovoľne malým, dokázali sme teda danú limitu. Keďže integrál holomorfnej funkcie nezávisí na polomere integračnej sféry, dostávame

čo sme chceli ukázať.

 Taylorova veta a zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula 
Pomocou Cauchyho integrálnej formuly vieme odvodiť koeficienty Taylorovho radu holomorfnej funkcie. Porovnanie s klasickou Taylorovou formulou poskytuje informáciu, že "diferencovanie je ekvivalentné integrovaniu." Tento výsledok platí iba v komplexnej analýze; v reálnej analýze neplatí.

 Taylorova veta 
Nech  je oblasť a nech   je holomorfná funkcia na . Ďalej, nech ,  je kladné reálne číslo, potom pre každé komplexné číslo  z otvoreného kruhu  s polomerom  a stredom v bode  platí

pričom koeficienty  sú určené vzťahom



kde . Uvedený potenčný rad nazývame Taylorovym radom funkcie ,  nazývame stredom radu.

 Dôkaz Taylorovej vety 
Vezmime fixné , označme  a . Z Cauchyho integrálnej vety máme



Ďalej si všimneme, že platí

pričom v poslednej rovnosti sa využili poznatky o súčte geometrického radu:

Dostávame

Podľa Weierstrassovho M-testu uvedený rad konverguje rovnomerne a absolútne, teda nasledujúce úpravy sú oprávnené (výmena sumácie a integrovania):

čo bolo treba dokázať.

 Zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula 
Taylorova formula štandardne uvádza koeficienty  holomorfnej (resp. analytickej) funkcie  ako podiel n-tej derivácie v strede Taylorovho radu a n faktoriálu:

Porovnaním tejto štandardnej formuly s nami odvedenou dostávame tzv. zovšeobecnenú Cauchyho integrálnu formulu:

 Využitie Cauchyho integrálnej formuly 

 Výpočet komplexných krivkových integrálov 
Vypočítajme komplexný krivkový integrál

Na základe lemy vieme integrál prepísať ako

použijeme Cauchyho integrálnu formulu, dostávame tak

 Referencie 

Kategória:Komplexná analýza
Kategória:Eponymické termíny v matematike
Kategória:Integrálny počet