Jadro (lineárna algebra)

V lineárnej algebre sa jadro (nazývané aj nulový priestor) lineárneho zobrazenia  definuje ako množina všetkých vektorov  ktoré sa zobrazia na nulový vektor , teda: 

.

Označenie jadra lineárneho zobrazenia ako  pochádza z anglického slova kernel, čo znamená jadro. 

 Vlastnosti 
Nech  je lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi nad poľom , potom platia nasledujúce tvrdenia:

 Jadro  lineárneho zobrazenia  je uzavreté na sčítanie a skalárne násobenie, teda tvorí lineárny podpriestor definičného oboru  zobrazenia.
 Lineárne zobrazenie  je injektívne práve vety, keď .
 Nech sú vektorové priestory  konečnorozmerné, potom platí vzťah medzi dimenziami: , kde  značí obraz lineárneho zobrazenia . Dimenzia jadra lineárneho zobrazenia sa nazýva nulitná dimenzia (alebo jednoducho nulita). Táto vlastnosť sa niekedy nazýva ako veta o dimenzii a jadra obrazu.

 Dôkaz prvého tvrdenia 
Zrejme , pretože  je lineárne zobrazenie. Stačí už len ukázať, že  je uzavreté na lineárne kombinácie dvojíc vektorov . Nech  sú ľubovoľné skaláry, potom 

,

čo ale znamená, že .

 Dôkaz druhého tvrdenia 
Uvažujme, že  je injektívne, tak  je jediný prvok definičného oboru, ktorý sa zobrazí na  (z definície injektívneho zobrazenia), teda . 

Naopak, nech  nie je injektívne. Potom existujú dva rôzne vektory  také, že , čo znamená, že

,

teda .

 Náznak dôkazu tretieho tvrdenia 
Tretie tvrdenie sa môže dokázať tak, že bázu vektorového podpriestoru  doplníme do bázy priestoru , pričom ukážeme, že nenulové obrazy vektorov bázy  zobrazením  tvoria bázu . Z toho už je zrejmé, že

.

 Príklady 

 Prvý príklad 
Majme lineárne zobrazenie  dané maticou . Jadro zobrazenia  je riešením homogénnej sústavy rovíc  t.j:

.

Toto vieme prepísať na sústavu lineárnich rovníc:

Riešením tejto sústavy je  , teda jadro je jednorozmerný podpriestor  generovaný vektorom , pričom  značí lineárny obal.
náhľad|Transformácia roviny, daná formulou  zobrazí y-ovú os do nulového vektora .

 Druhý príklad 
Majme lineárnu transformáciu roviny  takú, že . Takúto transformáciu môžeme reprezentovať maticou . Jadro transformácie  nájdeme Gaussovou-Jordanovou eliminačnou metódou:

,

čo znamená, že riešením je  a , kde  je parameter. Z toho máme, že .

 Referencie 

Kategória:Lineárna algebra