Geometrický rad

Geometrický rad je rad vytvorený sumovaním členov nekonečnej geometrickej postupnosti – t.j. postupnosti, kde podiel dvoch po sebe idúcich členov je konštantný a nazýva sa kvocient. Napríklad rad  je geometrický rad s kvocientom , ktorý konverguje k hodnote .

Geometrické rady sú vo väčšine prípadov radmi reálnych alebo komplexných čísel. V tomto prípade je všeobecný geometrický rad s počiatočným členom  a kvocientom , pričom  (resp. ), typu , čo môžeme kompaktne zapísať pomocou sumačnej sigma notácia ako

.

Okrem reálnych a komplexných geometrických radov môžeme uvažovať aj o radoch tvorenými funkciami, maticami, resp. inými abstraktnými algebrickými prvkami polí alebo okruhov.

 Definícia geometrického radu 
Uvažujme nekonečnú geometrickú postupnosť  reálnych (resp. komplexných) čísel s kvocientom , t.j. postupnosť definovanú rekurentným vzorcom

,

pričom  je počiatočný člen postupnosti. Uvažujme ďalej postupnosť čiastkových súčtov  tejto postupnosti definovanú vzorcom

.

Geometrickým radom nazývame limitu tejto postupnosti, a označujeme ju nasledovne

.

Keďže geometrickú postupnosť reálnych (resp. komplexných) čísel s kvocientom  a počiatočným členom  môžeme zapísať ako postupnosť , je geometrický rad vo všeobecnosti rad tvaru

.

 Konvergencia geometrického radu 
Uvažujme geometrický rad , pričom . Tento rad konverguje absolútne pre hodnoty kvocientu v absolútnej hodnote menšej ako 1, navyše platí

.

 Dôkaz konvergencie 
Vezmime najprv také , že . Potom nie je splnená nutná podmienka konvergencie radov, ktorá vraví, že ak nejaký rad  konverguje, tak ; táto podmienka nie je splnená, nakoľko  diverguje do nekonečna pre  (v komplexnej analýze je toto tvrdenie pravdivé, v reálnej analýze neexistuje limita v prípade ), je rovná 1 pre  a neexistuje pre ostatné komplexné jednotky (). Keďže pre tieto hodnoty kvocientu nie je splnená nutná podmienka konvergecie, tak preň rad nemôže konvergovať.

Pre ostatné hodnoty kvocientu  môžeme použiť vzorec pre čiastkové súčty  geometrickej postupnosti (pozri článok Geometrická postupnosť):

.

Nakoľko  je rovná nule pre hodnoty kvocientu , dostávame

.

Keďže daná limita existuje, tak uvedený nekonečný geometrický rad konverguje. Navyše, ak sčítame absolútne hodnoty jednotlivých sčítancov nášho radu, t.j. rad , tak tento rad opäť konverguje; geometrický rad teda konverguje absolútne.

 Využitie geometrického radu 

 Zápis periodických čísel pomocou zlomku 
Pomocou geometrických radov dokážeme zapísať ľubovoľné periodické číslo zlomkom. Pod periodickým číslom myslíme napr. číslo  Takéto periodické čísla môžeme skrátene zapísať ako  – týmto zápisom sa myslí, že za desatinnou čiarkou sa štvorčíslie 1215 periodicky opakuje. Ľubovoľné periodické číslo môžeme zapísať zlomkom. Platí teda tvrdenie:

Každé periodické číslo je racionálne.

 Dôkaz 
Nech  je ľubovoľné, ale fixné, periodické číslo. Predpokladajme, že opakované cifry (perióda) nastanú až od -tého desatinného miesta, potom číslo  môžeme rozložiť na súčet dvoch čísel  a , pričom číslo  obsahuje celú časť čísla  a jeho  prvých desatinných miest; číslo  je teda racionálne. Stačí ukázať, že číslo , ktoré je tvaru

,

kde  sú cifry periódy a sgn značí znamienkovú funkciu signum, je racionálne. Číslo  má na začiatku  núl a potom periódu s  ciframi, ktorá sa opakuje do nekonečna. Označme formálne číslo  vytvorené  ciframi periódy ako , potom môžeme číslo  zapísať ako

,

čo je súčet nekonečnej geometrickej postupnosti s kvocientom . Keďže  (číslo je periodické), tak  a daný rad konverguje. Počiatočná hodnota radu  je racionálna, kvocient je racionálny, teda aj súčet radu  je racionálny (keďže podiel dvoch racionálnych čísel je racionálne číslo). Dokázali sme teda, že číslo  je racionálne, a teda aj súčet dvoch racionálnych čísel

je číslo racionálne.

 Konkrétny príklad 
Zapíšme číslo  ako zlomok.

Rozďeľme si dané číslo na súčet , pričom  a . Číslo  môžeme zapísať ako

.

Číslo  je teda racionálne. Jeho zlomkové vyjadrenie sme mohli dostať aj pomocou vzorca, ktorý sme odvodili v dôkaze. Je zrejmé, že  (na štvrtom desatinnom mieste sa začínajú čísla opakovať),  (perióda je tvorená dvomi ciframi),  (číslo formálne zložené z cifier periódy). Po dosadení do vzorca z dôkazu taktiež dostávame rovnaký zlomok.

Číslo  teda môžeme zapísať ako

.

 Referencie 

 Pozri aj 
 Geometrická postupnosť
 Nekonečný rad

 Iné projekty 

Kategória:Algebra
Kategória:Postupnosti čísel