Vlastné vektory a vlastné hodnoty

Vlastné vektory a vlastné hodnoty (alebo vlastné čísla) sú matematické pojmy používané v lineárnej algebre, ktoré charakterizujú špecifické vektory, ktoré pri pôsobení lineárnej transformácie nemenia svoj smer, no môžu zmeniť orientáciu alebo veľkosť. Matematicky to možno zapísať ako



kde  je nejaká lineárna transformácia,  je vlastný vektor danej lineárnej transformácie a  je jeho vlastná hodnota. Znamená to, že po aplikácii lineárnej transformácie je výsledkom operácie ten istý vektor (vlastný vektor) vynásobený nejakým číslom (vlastná hodnota alebo vlastné číslo).

 Definícia 
Nech  je štvorcová matica veľkosti  nad poľom  (alebo ). Nenulový vektor (alebo ) sa nazýva vlastný vektor matice , ak existuje skalár  (alebo ) pre ktorý platí:



Číslo  sa nazýva vlastné číslo matice , ktoré prislúcha k vlastnému vektoru . Vlastné čísla matice  sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá sa získava pomocou determinantu:



kde  je jednotková matica veľkosti . Po určení vlastných čísel sa k nim hľadajú vlastné vektory riešením homogénnej sústavy lineárnych rovníc:



 Výpočet 
Nech . 

Najskôr treba určiť vlastné čísla matice. Vlastné čísla sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá je získaná z rovnice , t. j.:










Charakteristický polynóm matice  teda bude , a riešením charakteristickej rovnice sú vlastné čísla .

Následne možno vypočítať vlastný vektor. Pre vlastné číslo  potom platí:







Z tejto sústavy získame dve rovnice:



Tieto rovnice sú lineárne závislé, takže postačuje riešiť jednu z nich:



Vlastné vektory teda majú tvar



Vlastný vektor pre   môže teda byť napríkad vektor . Obdobné riešenie potom možno použiť i pre druhú vlastnú hodnotu.

 Referencie 

Kategória:Lineárna algebra