Kotangensová veta

V trigonometrii je kotangensová veta tvrdením o vzťahu polovičných uhlov trojuholníka a jeho strán založené na všeobecne platných konštantných vzťahoch (pomeroch) uhlov a dĺžok strán ľubovoľného trojuholníka.The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960. Kotangensová veta znie

kde  je polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter)

a  je polomer vpísanej kružnice

.

 Dôkaz 
náhľad|Trojuholník so zvýraznenými segmentami na jeho stranách, ktoré vytvára vpísaná kružnica.
Vpísaná kružnica sa dotýka každej strany trojuholníka a rozdeľuje tak každú stranu na dve časti. Týchto šesť úsečiek je tvorených troma pármi rovnako dlhých dvojíc, ktoré vždy vychádzajú z jedného vrcholu trojuholníka. Pre obvod trojuholníka teda platí

.

Ak sa zoberie z každého páru jedna úsečka tak ich súčet je rovný polovičnému obvodu trojuholníka

.

Každá strana trojuholníka je tak tvorená dvoma segmentami

.

Ak sa zoberie každý z týchto šiestich segmentov tak v spojení so stredom vpísanej kružnice sa vytvorí šesť pravouhlých trojuholníkov kde jednu z odvesien tvorí polomer vpísanej kružnice a tak platí

.

 Referencie 

 Pozri aj 
 sínusová veta
 kosínusová veta
 tangensová veta
 trigonometria

Kategória:Trigonometria