Kolinearita

Kolinearita je termín používaný v geometrii na označenie situácie, keď dva alebo viac bodov ležia na rovnakej priamke. Overenie, či sú skúmané tri body v karteziánskej sústave súradníc kolineárne alebo nie sa môže vykonať viacerými spôsobmi. 

Tento článok pojednáva o skúmaní kolineárnosti bodov v priestore . 
 Pomocou lineárnej rovnice 
Lineárna rovnica má viacero foriem:

 štandardná forma má tvar 
 forma smernica/priesečník s osou y má tvar 
 forma smernica/bod má tvar 
 dvojbodová forma má tvar 
 priesečníková forma má tvar  

V nasledujúcich príkladoch sa budú používať body  a , ktoré budú definovať priamku a bod , ktorý sa bude testovať na kolineárnosť s bodmi  a .

 Štandardná forma 
Štandardná lineárna rovnica je  respektíve  pre  kde sa jednotlivé koeficienty, pokiaľ nie sú známe, vypočítajú z karteziánskych súradníc dvoch bodov ležiacich na priamke (pozri exkurz nižšie). Pokiaľ súradnice testovaného bodu vyhovujú tejto rovnici je kolineárny. Tento spôsob je vhodný aj pre priamky rovnobežné s osou , ktorých smernica nie je definovaná.

Pre vyššie uvedené body  a  má štandardná rovnica tvar

.

Po dosadení súradníc testovaného bodu 

Exkurz: Koeficienty štandardnej formy lineárnej rovnice sa z karteziánskych súradníc dvoch bodov vypočítajú nasledovne:

.

Po dosadení:

.

Štandardná forma  teda bude:

Skúška pre bod :

Skúška pre bod :

.

Po dosadení súradníc bodu  do štandardnej lineárne rovnice sú si obe strany rovnice rovné a teda bod  je kolineárny s bodmi  a . Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov.

Koniec exkurzu.

 Forma smernica/priesečník s osou y 
Ak sú definované v karteziánskej sústave dva body  a  určí sa z nich lineárna funkcia , kde  je smernica priamky a  je absolútny člen rovnice s hodnotou, na ktorej priamka pretína osu . Smernica sa vypočíta podľa rovnice 



a absolútny člen podľa rovnice 

, 

do ktorej je možné dosadiť súradnice buď bodu  alebo bodu . Samotné testovanie kolineárnosti spočíva v tom, že súradnice testovaného bodu sa dosadia do lineárnej rovnice, ktorej smernica a absolútna hodnota sú už známe a zistí sa či sú obe strany rovnaké. V takom prípade je testovaný bod kolineárny s dvojicou bodov, z ktorých sa daná smernica a absolútny člen vypočítali. Tento spôsob nie je možný použiť na priamky rovnobežné s osou  pretože pre také priamky nie je definovaná smernica. 

Príklad. 

Sú definované body  a , z ktorých sa vypočíta  a : 





. 

Ďalej je definovaný bod , ktorého kolinearita s bodmi  a  sa skúma pomocou lineárnej funkcie. 



Po dosadení súradníc bodu  do rovnice sú si obe strany rovné a teda bod  je kolineárny s bodmi  a . Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov. 

 Forma smernica/bod 
Z dvojice bodov  a  sa vypočíta smernica priamky , na ktorej ležia (pozri forma smernice/priesečník s osou y). V samotnej rovnici sa pri testovaní kolineárnosti s bodom    použijú súradnice jedného z bodov  a . Nakoľko táto forma rovnice obsahuje smernicu nie je možné ju použiť pre priamky rovnobežné s osou . Platia teda ekvivalentné rovnice 



alebo 



Príklad. 



.

 Dvojbodová forma 
Jedná sa o formu lineárnej rovnice ako pri forme smernica/bod s tým, že namiesto premennej  s hodnotou smernice priamky sa vkladá namiesto nej samotný vzorec pre výpočet smernice priamky. Tento spôsob nie je možné použiť pre situácie s priamkou rovnobežnou s osou .

 Priesečníková forma 
Pre tento spôsob, ako napovedá názov, je nutné poznať priesečníky  (na ose ) a  (na ose ) priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc  a . Pre výpočet priesečníkov pozri exkurz nižšie. Do takejto lineárnej rovnice sa dosadia len súradnice testovaného bodu .  

. 

Exkurz: Priesečníky priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc  a . Pre ich výpočet je možné napríklad použiť lineárnu rovnicu  (forma smernica/priesečník s osou ) kde  je priesečník s osou . Pre výpočet smernice a priesečníku pozri odstavec týkajúci sa formy smernica/priesečník s osou . Priesečník s osou  (teda x-ovú súradnicu) nájdeme vyriešením upravenej lineárnej rovnice pre  

. 

Z predchádzajúcich príkladov je známe, že 



a 

. 

Po dosadení do upravenej lineárnej rovnice získame 

. 

Súradnice priesečníkov sú  na ose  a  na ose . 

Koniec exkurzu. 

 Pomocou determinantu matice 
Ak sa dosadia súradnice bodov ,  a  do matice s rozmermi  ako je uvedené nižšie a vypočíta sa determinanthttps://sdconline.net/wp-content/uploads/2021/03/Determinants-and-Matrices-1.pdf tejto matice, tak potom v prípade, že sa tento determinant rovná nule sú body ,  a  kolineárne. 

 Pomocou obsahu trojuholníka 
K trom bodom ,  a , u ktorých sa má zistiť či sú alebo nie sú kolineárne, je možné pristupovať ako k vrcholom trojuholníka , ktorého obsah sa vypočíta podľa vzorca: 

. 

Ak platí  tak body ,  a  sú kolineárne. 

 Pomocou vzájomnej vzdialenosti bodov 
Pokiaľ sa vypočítajú vzájomné vzdialenosti medzi troma skúmanými bodmi, tak v prípade, že sú kolineárne, sa najdlhšia vzdialenosť musí rovnať súčtu dvoch ostatných. Vzdialenosť  dvoch bodov  a  v karteziánskej sústave súradníc sa vypočíta podľa 

.

 Pomocou euklidovskej konštrukcie 
náhľad|Euklidovská konštrukcia pre kolinearitu bodu C s bodmi A a B.
Jedna z mnohých euklidovských konštrukcií na testovanie kolinearity bodu   a bodmi   a  môže vyzerať napríklad nasledovne.

Krok 1: Zostrojenie priamky  prechádzajúcej bodmi  a .

Krok 2: Zostrojenie kružnice  so stredom v bode  s polomerom , pre ktorý platí nerovnosť .

Krok 3: Analogicky ako v kroku 2 pre kružnicu , čím vznikne prienik dvoch kružníc v dvoch bodoch  a  (preto je nutná nerovnica polomerov, aby nedošlo k situácii, že sa kružnice nebudú dotýkať alebo sa budú dotýkať len v jednom bode).

Krok 4: Zostrojenie kružnice  so stredom v testovanom bode , ktorá prechádza bodom . Ak prechádza aj bodom   je bod  kolineárny s bodmi  a .

Alebo.

Krok 4: Zostrojenie kružnice  so stredom v testovanom bode , ktorá prechádza bodom  . Ak prechádza aj bodom   je bod  kolineárny s bodmi  a .

V prípade kolinearity tvoria body ,  a   rovnoramenný trojuholník s ramenami  a  , ktoré sú polomermi kružnice .

 Referencie 

 Iné projekty 

Kategória:Geometria
Kategória:Lineárna algebra
Kategória:Afinná geometria