Elastická kolízia

Elastická kolízia alebo pružná zrážka dvoch častíc je taká zrážka, pri ktorej sa nemení vnútorný stav častíc, nedochádza k premene mechanickej energie na iné formy energie, ako napríklad teplo, zvuk a potenciálnu energiu – zachováva sa teda kinetická energia kolidujúcich objektov. Z dôvodu nemennosti vnútornej stavby častíc teda nemusíme pri štúdiu elastických kolízií brať do úvahy vnútornú energiu častíc.

Počas samotnej kolízie dochádza k premene kinetickej energie na potenciálnu. Táto premena závisí od zákona interakcie medzi kolidujúcimi časticami, závisí teda od interakčného potenciálu (napr. Coulombov potenciál pre zrážky atómov). Zákony zachovania však poskytujú množstvo informácie o stave častíc pred a po zrážke.

Zrážky medzi atómami sú elastického charakteru, napr. rozptyl alfa častíc na atómoch zlata, tzv. Rutherfordov rozptyl, je veľmi dobre popísaný aparátom klasickej mechaniky, t.j. Newtnovsky (klasicky) popísanými elastickými kolíziami. Zrážky molekúl tekutín a zrážky makroskopických objektov (napr. biliardových gulí) možno v niektorých prípadoch aproximovať elastickými kolíziami.

 Jednorozmerné kolízie 

 Newtonovský popis 
náhľad|Americký profesor Walter Lewin vysvetľujúci jednorozmerné pružné zrážky.
Majme dve častice (hmotné body) hmotností  a  pohybujúce sa rýchlosťami  a  v jednom rozmere (znamienko rýchlosti určuje smer pohybu). Označme  a  rýchlosti častíc po zrážke. Z definície elastických kolízií platí, že sa zachováva kinetická energia častíc, t.j. platí rovnica

.

Keďže na náš systém nepôsobí žiadna externá sila, zachováva sa celková hybnosť častíc, môžeme teda písať

.

Riešiť elastickú kolíziu dvoch častíc v jednom rozmere teda znamená riešiť sústavu rovníc

pre neznáme výsledné rýchlosti  a .

 Pomocné tvrdenie 
Predtým, než sa pustíme k riešeniu uvedenej sústavy rovníc si dokážeme pomocné tvrdenie:

Relatívne rýchlosti častíc pred a po kolízii sú navzájom opačné, t.j. relatívna rýchlosť častíc pred kolíziou je mínus relatívna rýchlosť častíc po kolízii.
Zo zákonu zachovania hybnosti (druhá rovnica našej sústavy rovníc) máme 

. 

Keďže prípad ,  je triviálne riešenie (nedošlo ku kolízii, častice "prešli cez seba" bez interakcie), uvažujme prípad, kde rozdiel počiatočných a konečných rýchlostí je nenulový. Dostávame tak 

. 

Zo zákona zachovania energie (prvá rovnica v našej sústave rovníc) máme 

. 

Ďalej využijeme formulu , teda 

. 

Ale keďže uvedený zlomok násobiaci súčet  je rovný jednej, dostávame 

, 

z čoho máme 

, 

čo sme chceli ukázať.  

 Konečné riešenie 
Dokázaním spomenutého pomocného tvrdenia môžeme našu pôvodnú sústavu rovníc prepísať na sústavu dvoch lineárnych rovníc, ktorej riešenie je jednoduchšie. Konkrétne riešime systém

Vyjadrením rýchlosti  z druhej rovnice ako  a dosadením do prvej rovnice dostávame

,

a teda

.

Dosadením výrazu pre  do výrazu pre  dostávame finálnu formulu pre konečné rýchlosti  častíc s hmotnosťami  (s počiatočnými rýchlosťami ):

,
.

 Konkrétne príklady 
V prípade, že obe častice majú rovnakú hmotnosť sa kolízia prejaví zmenou vzájomnou výmenou hybností dvoch častíc. Môžeme to vidieť na nasledujúcich ilustráciách:
stred|náhľad|500x500bod|Jednorozmerná elastická dvoch častíc s rovnakými hmotnosťami, pričom jedna z častíc je stacionárna.
stred|náhľad|500x500bod|Jednorozmerná elastická kolízia dvoch častíc s rovnakými hmotnosťami, pričom obe častice sa pohybujú.
Vo všeobecnejšom prípade je potrebné použiť nami odvodené vzťahy pre finálne rýchlosti po zrážke. Nasledujúca ilustrácia zobrazuje kolíziu dvoch častíc s rovnakou, ale v znamienku opačnou rýchlosťou, pričom jedná z častíc má dvojnásobnú hmotnosť ako druhá:
stred|náhľad|500x500bod|Jednorozmerná elastická kolízia dvoch všeobecnejších častíc.

 Laboratórna a ťažisková vzťažná sústava 
Opis elastických kolízií sa značne zjednodušení zavedením dvoch inerciálnych vzťažných sústav – laboratórnej a ťažiskovej vzťažnej sústavy. Použitie týchto sústav má najväčší význam pri trojrozmerných (resp. dvojrozmerných) kolíziách.

 Laboratórna vzťažná sústava je taká inerciálna vzťažná sústava, v ktorej je jedna z častíc v pokoji a druhá sa pohybuje rýchlosťou  (napr. sústava pri ostreľovaní nehybných atómov zlata alfa časticami pri Rutherfordovom experimente).
 Ťažisková vzťažná sústava je taká inerciálna vzťažná sústava, v ktorej je ťažisko častíc  a  v pokoji.

Poloha ťažiska  je polohami  a  našich častíc daná ako

,

teda pre rýchlosť ťažiska platí (bodka nad veličinou označuje časovú deriváciu)

,

za predpokladu že druhá častica je v laboratórnej vzťažnej sústave v pokoji. Ak chceme vyjadriť rýchlosti  a  častíc  a  v ťažiskovej vzťažnej sústave (kde horný index  značí, že sa nachádzame v ťažiskovej vzťažnej sústave), musíme transformovať rýchlosti z laboratórnej vzťažnej sústavy do ťažiskovej využijúc Galileiho transformáciu:

,
.

Zo zákonu zachovania hybnosti máme (ak označíme  konečné rýchlosti častíc po zrážke)

,

ale keďže

,

tak dostávame, že hybnosti častíc po zrážke sú v absolútnej hodnote totožné. Zo zákona zachovania energie máme

,

ale

;
.

Keďže platí, že výsledné hybnosti sú v absolútnej hodnote totožné, môžeme povedať . Dosadením to rovnice pre zákon zachovania energie dostávame

.

Porovnaním s predchádzajúcim výsledkom máme pre kvadráty výsledných rýchlostí nasledujúce formuly

;
,

čo znamená, že výsledné rýchlosti sú v ťažiskovej sústave vo veľkosti totožné, ako pôvodné rýchlosti. Vcelku teda máme, že v ťažiskovej sústave sa kolízia redukuje na zmenu smeru rýchlosti častíc, pričom veľkosti týchto rýchlostí sú po zrážke totožné ako pred zrážkou – ťažisková sústava je týmto faktom výnimočná; zovšeobecnenie do viac rozmerov je triviálne, platí tam rovnaké tvrdenie.

 Trojrozmerné kolízie 
Majme častice  v laboratórnej vzťažnej sústave (pozri predchádzajúcu sekciu), pričom častica  je v tejto sústave v pokoji a častica  sa pohybuje rýchlosťou . Označme rýchlosti týchto častíc v ťažiskovej sústave ako . Výsledné rýchlosti v laboratórnej sústave nech sú ; označenie výsledných rýchlosti v ťažiskovej sústave nech má horný index . Pre pôvodné rýchlosti v ťažiskovej sústave máme

;
,

pričom odvodenie je totožné ako v jednorozmernom príklade. Rovnakými úvahami, ako v jednorozmernom prípade dospejeme k záveru, že zo zákonu zachovania energie a zákonu zachovania hybnosti platí, že v ťažiskovej sústave sa kolízia redukuje na zmenu smeru rýchlosti častíc, pričom rýchlosti častíc sú navzájom opačné a vo veľkostí totožné ako ich pôvodné rýchlosti. Nech  je jednotkový vektor smeru pohybu prvej častice po zrážke, potom máme pre výsledné rýchlosti v ťažiskovej sústave ( označuje veľkosť vektora)

;
,

alebo v laboratórnej sústave

;
.

Smer , t.j. smer odrazu prvej častice (a v princípe aj druhej) závisí od konkrétnej povahy interakcie medzi časticami (napr. Coulombova interakcia pri zrážkach atómov).

 Geometrický pohľad 
Preskúmajme aké sú uhly, pod ktorými sa naše častice po zrážke pohybujú. Označme hybnosť prvej častice pred zrážkou v laboratórnej sústave ako . Častice po zrážke nadobudnú hybnosti  a  v laboratórnej sústave. Dosadením výrazov pre  z predchádzajúcej sekcie dostávame

;
.

Nech teraz os  je určená vektorom , t.j. .  Vektory  sú komplanárne, ležia teda v jednej rovine (povedzme v  rovine). Označme odklony vektorov  od vektora  postupne ; uhol  určuje smer pohybu prvej častice v ťažiskovej sústave; uhly  určujú smer pohybu častíc v laboratórnej sústave.

Ak poznáme uhol , potom vieme o pohybe častíc v laboratórnej sústave všetko. Vyjadrime teda uhly  pomocou uhla . Skalárne vynásobme rovnicu pre  vektorom , pričom si uvedomíme, že skalárny súčin dvoch vektorov je daný ako , kde  je uhol medzi danými vektormi. Dostávame tak

.

Ak znova skalárne vynásobíme rovnicu pre , tentokrát vektorom , dostávame

,

keďže uhol medzi našimi vektormi a  je doplnok ich uhlov od vektora  do pravého uhla. Využitím formuly dostávame

.

Ak predelíme nami odvodené formuly, dostaneme vyjadrenie pre tangens uhla 

.

Rovnakým spôsobom dostaneme vyjadrenie aj pre tangens uhla , konkrétne

.

Treba poznamenať, že pre priamu kolíziu () daná formula neplatí, keďže v menovateli by sme dostali nulu. Dané vyjadrenie môžeme upraviť, nakoľko , teda

.

Riešením tejto trigonometrickej rovnice dostaneme vyjadrenie pre uhol  (keďže funkcia tangens je injektívna na intervale , stačí porovnať argumenty tangensov). Vcelku teda máme pre uhly odklonu v laboratórnej sústave

;
.

 Zrážky častíc rovnakej hmotnosti 
náhľad|Bývalý americký prezident Barack Obama hrajúci americký biliard (pool).
V prípade, že zrážajúce sa častice majú rovnakú hmotnosť sa zrážka výrazne zjednoduší. Platí nasledujúce tvrdenie

Uhol, pod ktorými sa dve častice v laboratórnej vzťažnej sústave rozletia po zrážke je v prípade čelnej zrážky nulový, v inom prípade je rovný pravému uhlu.

Daný jav môžeme s veľkou presnosťou pozorovať pri zrážkach biliardových gulí. Prípad čelnej zrážky zodpovedá "prenosu" hybnosti z jednej gule na druhú. V inom prípade máme kolmé rozletenie gulí – fakt, ktorý je hráčom biliardu veľmi známy.

Matematický dôkaz daného tvrdenia je jednoduchý. Čelná zrážka je z definície taká, kde uhol odrazu prvej častice je  (resp.  pri spätnom odraze); kolízia sa redukuje na jednorozmernú pružnú zrážku, kde dochádza len k "prenosu" hybnosti prvej častice na druhú (pozri sekciu o jednorozmerných zrážkach).  

V prípade, že uhol rozptylu prvej častice je v ťažiskovej sústave nenulový, môžeme použiť odvodené vzťahy pre uhly rozptylu v laboratórnej sústave. Pre  dostávame

,

alebo keďže , tak dostávame trigonometrickú rovnicu

,

ktorej riešenie je  (z injektívnosti tangensu). Pre uhol rozptylu druhej častice platí . Súčet týchto dvoch uhlov je uhol, pod ktorým sa častice rozletia po zrážke. Konkrétne dostávame

,

čo sme chceli ukázať.

 Referencie 

Kategória:Mechanika
Kategória:Klasická mechanika