Priemer (matematika)

Pojem priemer v matematike označuje vypočítanú hodnotu zo všetkých alebo len z určitej časti prvkov množiny, ktorá môže byť tvorená nielen skalárnymi veličinami, ale aj funkciami a pod. Táto matematická metóda má využitie hlavne v štatistike a pravdepodobnosti, teórii množín, geometrii, matematickej analýze ai. Priemer sa zvyčajne označuje vodorovnou čiarou nad písmenom premennej, napr.  ,  a pod. V prípade, že je nutné uviesť aj druh priemeru je zvykom túto informáciu zapísať v ľavom dolnom indexe, napr.  pre aritmetický priemer a obdobne, ale nie je to záväzné pravidlo.

Tento článok uvádza stručné definície najbežnejších priemerov používaných v matematike.

 Aritmetický priemer 
Zrejme najčastejšie používaný druh priemeru, ktorý spočíva v podiele súčtu prvkov množiny a počtom prvkov v množine. V anglofónnom prostredí často označovaný ako AM (arithmetic mean).

Príklad pre množinu :

.

 Geometrický priemer  
Geometrický priemer je definovaný pre každé . Označovaný aj ako GM (geometric mean).

Príklad pre množinu :

 Harmonický priemer 
Tento priemer pracuje s prevrátenými hodnotami a značí sa aj ako HM (harmonic mean).

Príklad pre množinu :

.

Tri predchádzajúce priemery sú súhrnne nazývané pytagorejské pretože sa s nimi už zaoberali antickí pytagorejci a ich nasledovatelia.

Vzťahy medzi týmito tromi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

.

 Kvadratický priemer 
Často označovaný ako RMS (root mean square) alebo QM (quadratic mean).

.

Príklad pre množinu :

.

Vzťahy medzi predchádzajúcimi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

.

 Minkowského vzorec 
Generalizovaný vzorechttps://people.revoledu.com/kardi/tutorial/BasicMath/Average/Minkowski%20mean.html pre výpočet aritmetického, kvadratického a harmonického priemeru zaviedol do matematiky nemecký matematik Hermann Minkowski.

kde . Pre aritmetický priemer , pre harmonický  a pre kvadratický , ale obdobne je možné pomocou tohto vzorca vypočítať kubický priemer, kvartický priemer a pod.

 Aritmeticko-geometrický priemer 
AGM je definovaný pre dve dve kladné čísla  a , pre ktoré platí . Formálne je AGM definovaný ako limita dvoch nezávislých sekvencií  a , ktoré konvergujú k rovnakej hodnote.

.

 Aritmeticko-harmonický priemer 
AHM, respektíve ním generované sekvencie   a  konvergujú k hodnote geometrického priemeru  a .

.

 Geometricko-harmonický priemer 
GHM je definovaný pre dve kladné čísla  a .

.

Pre AGM, AHM a GHM platí nerovnica

 Herónov priemer 
Herónov priemer, využívaný hlavne v geometrii, je definovaný pre dve nezáporné reálne čísla  a , priemer je pomenovaný podľa Heróna z Alexandrie. Vypočíta sa podľa vzorca

 Referencie 

Kategória:Teória čísel
Kategória:Štatistika