Skladanie funkcií

Majme funkcie  a  (t.j. obor hodnôt prvej funkcie je rovnaký ako definičný obor druhej funkcie). Potom zložením funkcií  a  je nová funkcia , definovaná predpisom . Teda výsledok prvej funkcie použijeme ako vstup pre druhú funkciu.

Skladanie funkcií je špeciálnym prípadom skladania relácií.

 Príklady 
náhľad| - zloženie  a . Napríklad .
náhľad|Konkrétny príklad zloženia dvoch funkcií.
 Zloženie dvoch funkcií na konečnej množine: Ak  a , tak .
 Zloženie funkcií na nekonečnej množine: Ak  (kde ℝ je množina všetkých reálnych čísel) je daná  a  je daná  , potom:
 , a
 .
 Ak je výška lietadla v čase  daná funkciou , a koncentrácie kyslíka v nadmorskej výške  je daná funkciou , tak zložená funkcia  predstavuje koncentráciu kyslíka okolo lietadla v čase .

 Vlastnosti 
Zloženie funkcií je vždy asociatívne — túto vlastnosť má skladanie relácií vo všeobecnosti. To znamená, že ak ,  a  sú tri funkcie (s vhodne zvolenými definičnými obormi a obormi hodnôt), tak nezáleží na tom, či naskôr zložíme  a  a potom zložíme  s výsledkom, alebo najskôr zložíme  a , a výsledok s  — v oboch prípadoch bude výsledok rovnaký. Symbolicky to môžeme napísať: . Podobne to platí aj vtedy, keď skladáme viac ako 3 funkcie: na poradí (na uzátvorkovaní) nezáleží. Preto môžeme zátvorky vynechať.

Zloženie dvoch injektívnych (prostých) zobrazení je opäť injektívne. Podobne zloženie dvoch surjektívnych zobrazení je vždy surjektívne. Z toho vyplýva, že zložením dvoch bijekcií je tiež bijekcia. Inverzná funkcia ku zloženiu dvoch funkcií (ak sa dá invertovať) má vlastnosť, že .

Zložením dvoch diferencovateľných funkcií dostaneme opäť diferencovateľnú funkciu, ktorá sa dá zderivovať pomocou reťazového pravidla.

 V programovacích jazykoch 
Skladanie funkcií sa v rôznych formách vyskytuje v mnohých programovacích jazykoch.

 Typografia 
Symbol zloženia ∘ má v Unicode kód U+2218 (v HTML &#8728; ). V systéme TeX, sa dá zapísať pomocou \circ.

Kategória:Binárne operácie
Kategória:Matematické funkcie