Magický štvorec

Magický štvorec je štvorcová tabuľka typu , ktorá obsahuje v každom poli prirodzené číslo pričom súčet čísel v každom stĺpci, v každom riadku a v každej uhlopriečke je rovnaký a žiadne dve čísla nie sú rovnaké. V tradičných magických  štvorcoch sú čísla navyše z rozsahu  až  a súčet je rovný .

Konštanta, ktorá je súčtom každého riadku, stĺpca a uhlopriečky sa nazýva magická konštanta.
 Identické magické štvorce 
Každý magický štvorec možno otáčať, čím je možné vytvoriť 8 nových magických štvorcov (4 otočením podľa stredu súmernosti, 2 otočením okolo diagonál a 2 okolo osí súmernosti prechádzajúcich stredmi protiľahlých strán). Týchto 8 magických štvorcov je považovaných za rovnocenné a hovoríme, že tvoria jednu triedu ekvivalencie.

 Počet rôznych tradičných magických štvorcov 
Magické štvorce existujú pre každé prirodzené číslo n okrem čísla 2. 
Počet riešení s rastúcim n prudko narastá.
Pre číslo 1 ide o triviálny magický štvorec. Pre n=3 existuje jediná trieda ekvivalencie magických štvorcov. Pre n=4 ich je 880. Pre n=5 ich je 275305224. Už pre n=6 sa zatiaľ nepodarilo spočítať počet tried ekvivalencie, je stanovený iba odhadom na 
(1.7745 ± 0.0016) × 1019
Pinn K. and Wieczerkowski C., (1998) "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo", Int. J. Mod. Phys. C 9 541"Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo, arxiv.org, April 9, 1998. Retrieved November 2, 2013.

Doteraz je nevyriešeným matematickým problémom, koľko existuje tradičných magických štvorcov pre ľubovoľné číslo n.

Pripočítaním nejakej konštanty ku každému číslu existujúceho magického štvorca, získame nový magický štvorec s inou magickou konštantou. V tomto slova zmysle je magických štvorcov nekonečne veľa.

 Prvočíselné magické štvorce 
Zvláštnym prípadom magických štvorcov sú magické štvorce, v ktorých všetky čísla sú prvočísla. Jeden z takýchto štvorcov zostrojil
Rudolf Ondrejka:

 17  89  71 113  59  5 47  29  101

 História  
Už od staroveku prejavovali matematici záujem o tvorbu magických štvorcov. Pravdepodobne prvý magický štvorec, ktorý bol vytvorený je znázornený na obrázku č. 1. Jeho pôvod je zahalený v mystických legendách starovekej Číny. Tento magický štvorec sa popisuje v legendách o Luo Shu okolo roku 650 p.n.l. 

 Magické štvorce a astrológia 
Magickým štvorcom sa prisudzovali mystické vlastnosti. Astrológovia nasledujúce magické štvorce priradili jednotlivým nebeským telesám:

 Saturn=15 4  9  2 3  5  7 8  1  6

 Jupiter=34 4  14  15  1 9  7  6  12 5  11  10  8 16  2  3  13

 Mars=65 11  24  7  20  3 4  12  25  8  16 17  5  13  21  9 10  18  1  14  22 23  6  19  2  15

 Slnko=111 6  32  3  34  35  1 7  11  27  28  8  30 19  14  16  15  23  24 18  20  22  21  17  13 25  29  10  9  26  12 36  5  33  4  2  31

 Venuša=175 22  47  16  41  10  35  4 5  23  48  17  42  11  29 30  6  24  49  18  36  12 13  31  7  25  43  19  37 38  14  32  1  26  44  20 21  39  8  33  2  27  45 46  15  40  9  34  3  28

 Merkúr=260 8  58  59  5  4  62  63  1 49  15  14  52  53  11  10  56 41  23  22  44  45  19  18  48 32  34  35  29  28  38  39  25 40  26  27  37  36  30  31  33 17  47  46  20  21  43  42  24 9  55  54  12  13  51  50  16 64  2  3  61  60  6  7  57

 Mesiac=369 37  78  29  70  21  62  13  54  5 6  38  79  30  71  22  63  14  46 47  7  39  80  31  72  23  55  15 16  48  8  40  81  32  64  24  56 57  17  49  9  41  73  33  65  25 26  58  18  50  1  42  74  34  66 67  27  59  10  51  2  43  75  35 36  68  19  60  11  52  3  44  76 77  28  69  20  61  12  53  4  45

 Magický štvorec s operáciou násobenia 

Možno zostrojiť aj magické štvorce v ktorých sa namiesto operácie sčítania použije násobenie. Konštrukcia takých štvorcov je jednoduchá. Ak máme obyčajný magický štvorec, vieme ho transformovať na násobkový, keďže pre čísla a, b, c platí:
2a, 2b a 2c, ich násobok je 2a+b+c

Do štvorca dáme teda mocniny s mocniteľmi rovnými pôvodným  číslam. Príklady:

 M = 32 768 16  512  4 8  32  128 256  2  64

 M = 216 2  9  12 36  6  1 3  4  18

 M = 6 720 1  6  20  56 40  28  2  3 14  5  24  4 12  8  7  10

 M = 6 227 020 80027 50 66 84 13 2 3224 52 3 40 54 70 1156 9 20 44 36 65 655 72 91 1 16 36 304 24 45 60 77 12 2610 22 48 39 5 48 6378 7 8 18 40 33 60

 Konštrukcia magických štvorcov 
Je dokázané, že pre každé prirodzené číslo n okrem 2 existuje magický štvorec. Existuje niekoľko algoritmov, ako magický štvorec vytvoriť. Magické štvorce z hľadiska konštrukcie možno klasifikovať na tri druhy podľa čísla n,  pre každý druh existuje iný algoritmus zostrojenia: sú to nepárne, jednoducho párne (deliteľné 2, nedeliteľné 4) a deliteľné 4.

 Metóda zostrojenia magických štvorcov pre n=3 
V 19. storočí, Édouard Lucas vymyslel všeobecné vzorce pre magické štvorce 3x3. Postup je v nasledujúcej tabuľke, kde a, b, c sú kladné celé čísla, s týmito vlastnosťami: 
0 < a < b < c − a , b ≠ 2a
 c − b    c + (a + b)  c − a c − (a − b)  c    c + (a − b) c + a  c − (a + b)  c + b

Pre všetky magické štvorce 3x3 platí, že majú vyššie uvedené vlastnosti až na symetrie.

 Referencie 

 Iné projekty 

 Externé odkazy 
 Magické štvorce 
 Zdroj 

Kategória:Teória čísel
Kategória:Rekreačná matematika
Kategória:Astrológia