Reciproká rovnica

Reciproká rovnica alebo recipročná rovnica n-tého stupňa prvého, resp. druhého druhu je algebraická rovnica

kde 

   je reciproký mnohočlen 1. druhu (kladne reciproký)
   je reciproký mnohočlen 2. druhu (záporne reciproký)

Pre reciprokú rovnicu je teda charakteristická symetria koeficientov, ide teda vlastne o špeciálny prípad algebrickej rovnice, ktorú vďaka tejto vlastnosti dokážeme riešiť vhodnými substitúciami.

 Postup riešenia 
 každá reciproká rovnica druhého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu.
 každá reciproká rovnica prvého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa.
 reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa n je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom  a substitúciou:



Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo  riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo  je jej riešením. V prípade koreňa  je to , čo je triviálny prípad.

 Príklady reciprokých rovníc 



Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.



Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.



Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.



Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.



a teda to nie je reciproká rovnica.

 Príklady  
Riešte rovnicu

 Ide o reciprokú rovnicu prvého druhu párneho stupňa. Rovnicu vydelíme výrazom 

  | rovnicu si vhodne upravíme
 | zavedieme substitúcie  a  

 a teda =
 , 

Spätným dosadením do  dostávame



 ,  je teda dvojnásobný koreň.
ďalšie dva korene dostaneme z:

 keďže diskriminant je záporný, rovnica  nemá reálne korene a riešením je teda 

 Referencie 

 Pozri aj 
 Kvadratická rovnica

 Externé odkazy 
 Riešenie sústavy lineárnych rovníc   Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
 Riešenie reciprokych rovníc. www.vypocty.sk   Postup riešenia.

Kategória:Rovnice