Trojčlenka

Trojčlenka je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny  v závislosti od veličiny  podľa vzorca , pričom  je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny  a  sú v priamej úmere. Ich podiel  sa rovná konštante . Ak sa veličina  zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina .

 Úlohy 
Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

 Metóda postupného výpočtu 
Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky?
Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy.
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje  konzervy.
Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia  konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

 Trojčlenka v nepriamej úmernosti 
Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina  závisí od veličiny ,  podľa vzorca, kde  je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny  a  sú nepriamo úmerné. Ich súčin  je konštantný. Ak sa veličina  zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina .

 Príklad na nepriamu úmernosť. 
3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov?
Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny).
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje  h.
Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje .
Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

 Zložená trojčlenka 
Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami  a . V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami  a . Hľadanou hodnotou je vždy .

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:
1.  vzťah medzi hodnotami oboch veličín
2.   výsledok pre jednotku
3.   dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1.  vzťah medzi hodnotami troch veličín
2.  výsledok pre jednotku odpovedajúcej 
3.  výsledok pre jednotku odpovedajúcej 
4.  dopočítanie druhej dvojice z 
5.  dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame , prípadne , čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom . Rozdiel spočíva v tom, že páry  a ,  a ,  a  sú priamo čí nepriamo úmerné.

 Príklad 1) 
5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?
Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí
Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky,  žemle
Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky,  žemle
Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky,  žemle
Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky,  žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

 Príklad 2) 
5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?
Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín
Krok 2: 1 kniha, 5 strojov,  hodín
Krok 3: 1 kniha, 1 stroj,  hodín
Krok 4: 1 kniha, 2 stroje,  hodín
Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje,  hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

 Príklad 3) 
3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?
Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov,  hodín
Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov,  hodín   
Krok 3: 1 osoba, 1 riadok,  hodiny
Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov,  hodiny
Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov,  hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

 Príklad 4) 
3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

Krok 1: 3 robotníci, 8 h,  dni
Krok 2: 1 robotník, 8 h,  dni
Krok 3: 1 robotník, 1 h,  dni   
Krok 4: 1 robotník, 2 h,  dni
Krok 5: 9 robotníkov, 2 h,  dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné.
V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

 Literatúra 
 K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: Kompendium matematiky Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

 Pozri aj 
 Kvadratický odhad
 Násobenie

Kategória:Aritmetika