Lagrangeova veta (teória grúp)

Lagrangeova veta je základné tvrdenie z teórie grúp, ktorého dôsledkom je, že rád každého prvku či podgrupy delí rád grupy. To znamená, že napríklad grupa rádu 15 môže mať prvky rádu 1, 3, 5 a 15, ale nie napríklad 7. Veta nesie meno význačného matematika, Josepha Louisa Lagrangea.

Presné znenie
Pre grupu G a jej podgrupu H platí:
, kde |X| značí rád grupy X a [G:H] index grupy (počet ľavých cosetov H v G).

Dôkaz
Najskôr ukážeme, že ľavé cosety  tvoria dohromady pre  rozklad množiny G. Pretože , nepochybne ľavé cosety obsahujú všetky prvky G. Aby sme ukázali, že neobsahujú žiadny prvok dvakrát, predpokladajme naopak  pre nejaké . Inými slovami pre nejaké  musí byť . Vynásobením na pravej strane prvkom  dostaneme . Pre jednoduchosť vykonáme substitúciu . Vzhľadom na definíciu podgrupy , a preto .
, pretože tiež , a teda každý prvok v yH je obsiahnutý v xH. Symetrickým postupom by sme získali 
, a preto .
Z čoho plynie, že cosety gH tvoria rozklad G. Aby sme ukázali, že rád všetkých cosetov je totožný, nájdeme bijektívne zobrazenie f z H na xH pre . Definujme f predpisom

 Dôkaz injektivity: Predpokladajme . . Obe strany vynásobíme zľava prvkom    
 Surjektivita je zrejmá z definície.
 značí celkový počet všetkých (či už ľavých alebo pravých) cosetov. Ako už sme ukázali, Cosette tvorí rozklad množiny G a každý z nich má rovnaký rád |H|. Z týchto skutočností vyplýva .

Kategória:Matematické vety
Kategória:Teória grúp
Kategória:Eponymické termíny v matematike