Projekčná matica (matematika)

Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) , ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru . Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.

 Definícia 
Majme lineárny podpriestor . Maticu  nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor  práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:

 Matica  je symetrická, teda: 
 Matica  je idempotentná, teda:  
 Projekčná matica  zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda: : 
 Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore  zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda: 

 Ďalšie vlastnosti 
Uvažujme projektor  definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:

tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin. 

Pokiaľ máme maticu , ktorá je typu , pričom jej hodnosť je , tak potom matica  určená nasledovným vzťahom:

je ortogonálny projektor na podpriestor , ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice , a na ktorom je definovaný skalárny súčin .

 Literatúra 


Kategória:Teória matíc