Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Súčet susedných uhlov je 180°.

 Vlastnosti 
Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je  (360°).
Z rovnobežnosti protiľahlých strán vyplýva, že veľkosť protiľahlých strán je rovnaká, tzn.

Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.

Pretože , platí

Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j. , a uhly rôzne od pravých uhlov, t. j. . Ak sú priľahlé strany rovnako veľké, t. j. , nazývame taký rovnobežník kosoštvorcom. Ak sú uhly pravé, t. j. , nazývame taký rovnobežník obdĺžnikom. Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom.

Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne rozpoľujú. Dĺžky uhlopriečok sú:

 Obsah 

Obsah rovnobežníka je rovný:
,
kde  a  sú dĺžky priľahlých strán rovnobežníka a  je výška k strane , obdobne  je výška k strane ,  je vnútorný uhol medzi priľahlými stranami.

 V rovine 

Ak sú vrcholy  zadané pomocou súradníc v rovine, t. j. , , atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol  s počiatkom súradnicového systému, t. j. , potom teda:

Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného  – rozmerného nadrovnobežnostenu (v  – rozmernom priestore).

 V trojrozmernom priestore 

Ak sú vrcholy  zadané pomocou súradníc v priestore, t. j. , , atď, a zavedieme ak stranové vektory

je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora ,
kde „“ značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:

kde „“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi , t. j.

potom:

čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol  s počiatkom súradnicového systému, t. j. , potom

vo všeobecnom prípade , respektíve:

v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi .

Zovšeobecnením vektorového súčinu do  – rozmerného priestoru (ide o o súčin  lineárne nezávislých vektorov dĺžky , ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného  – rozmerného nadrovnobežníka v  – rozmernom priestore.

 V n-rozmernom (reálnom) priestore 

Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom  – rozmernom priestore

potom jeho obsah je daný vzťahom:

kde „“, resp . „“ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

dosadením:

opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.

 Pozri aj 
 Geometrický útvar
 Štvoruholník
 Kváder

 Zdroj 

Kategória:Mnohouholníky