Stochastická simulácia

Stochastická simulácia je simulácia, ktorá pracuje s veličinami u ktorých sa predpokladajú zmeny nastávajúce s určitou pravdepodobnosťou. Stochastický znamená byť premenlivý, alebo obsahujúci náhodnú premennú.

Stochastický model vytvára projekciu modelu, ktorý je založený na súbore náhodných výstupov. Tie sú zaznamenané, následne je projekcia zopakovaná s novým súborom náhodných veličín. Opakovanie prebieha mnohokrát (môže ísť o tisíce, alebo viac opakovaní). Na konci procesu distribúcia týchto výstupov ukazuje nielen najpravdepodobnejšie hodnoty a odhady, ale taktiež ich hranice, ktoré je rozumné očakávať.

Simulácia
Simulácia je numerická metóda štúdia zložitých pravdepodobnostných dynamických systémov pomocou experimentovania s počítačovým modelom.

Simulácia je proces budovania matematických a logických modelov systémov alebo rozhodovacích problémov, a experimentovanie s takýmto modelom s cieľom získať odhady výsledkov činnosti systému. Existuje viacero dôvodov pre vykonanie simulačných štúdií:
systém nie je možné opísať matematickým modelom, ktorý je možné vyhodnotiť analyticky
odhad výkonnosti existujúceho systému v ostatných prevádzkových podmienkach
porovnanie správania sa systému a výkonu alternatívnych návrhov systému 
štúdium systému v „dlhom období“

Pre simuláciu je nevyhnutný simulačný software. Hlavnými problémami, ktoré vznikajú v súvislosti s realizáciou modelu v programe, sú zachytenie štruktúry modelu, získavanie hodnôt náhodných veličín a zachytenie dynamických vlastností modelov. K tomu pristupujú ďalšie otázky ako  experimentovanie s modelom alebo spracovanie a výstup výsledkov vo vhodnej forme. Vďaka výkonu, flexibilite a relatívne ľahkému použitiu je simulačný software populárnym a účinným nástrojom v širokom spektre oblastí.

Podľa zahrnutia náhodných vplyvov rozlišujeme:
stochastická simulácia (obsahuje náhodnú zložku)
deterministická simulácia (neobsahuje náhodnú zložku)

Simulačný model
Súbor matematických a logických vzťahov, ktoré vyjadrujú chovanie prvkov modelovaného systému (vzhľadom na cieľ simulácie). Náhodné vplyvy sú zahrnuté v podobe pravdepodobnostných charakteristík, samozrejmosťou je zahrnutie času. Model nám umožňuje opakované výpočty, zmenu vstupných údajov.

Modely je možné podľa zobrazenia času deliť na:
statické modely
dynamické modely

Simulácia dynamického chovania systému úzko súvisí s zachytením času v modeli. Pokiaľ simulovaný čas nadobúda všetky hodnoty, potom ide o modely so spojitým časom. Ak nadobúda čas simulácie hodnoty z predom určenej diskrétnej množiny hovoríme o modeloch s diskrétnym časom.

Druhou rovinou pojatia času v simulácií je, či sa stav modelu mení priebežne alebo iba v určitých okamihoch. O simulácii diskrétnych udalostí hovoríme vtedy, pokiaľ nesledujeme chovanie modelu v kontinuálnom čase, ale iba v dôležitých okamihoch, ktoré ovplyvnia ďalší vývoj simulácie. Zvolený spôsob zachytenia času a zmena stavu v simulačnom modeli určuje typ použitého matematického aparátu.

 Stavy \ Čas Spojitý DiskrétnySpojitédiferenciálne rovnicediferenčné rovniceDiskrétnesimulácie diskrétnych udalostíMarkovove reťazce

Výhody simulačných modelov:
náhrada experimentovania s reálnym systémom
použiteľné v prípadoch, ktoré nie je možné riešiť analyticky
použiteľné pri veľkom počte náhodných vplyvov
možnosť modelovať čas
možnosť overenia riešenia získaného inou cestou 
lepšie pochopenie reálneho systému

Nevýhody simulačných modelov:
neexistencia univerzálneho modelu – každá simulácia je individuálna
správnosť konštrukcie je nutné overovať 
simulácia je pomerne nákladný prostriedok na štúdium systému
tvorba simulačného modelu je často zdĺhavá
simulácia je numerická metóda, riešenie určitého problému nerieši podobné problémy – pre akúkoľvek zmenu parametrov je nutné nové riešenie
výsledkom stochastických simulačných modelov sú hodnoty náhodných veličín, pričom ďalšie zvyšovanie presnosti riešenia stojí obvykle rastúce množstvo výpočtového času

Generátory náhodných čísel
Generátory náhodných čísel s definovaným stochastickým rozdelením sú základom stochastických simulácií. Generátory náhodných čísel fungujú tak, že najprv je vygenerovaná postupnosť náhodných čísel s rovnomerným rozdelením (primárny generátor) a následne je z nich transformáciou vytvorená postupnosť s požadovaným rozdelením. Primárne generátory sú fyzikálne alebo pseudonáhodné.

Fyzikálne generátory náhodných čísel
Ako fyzikálny generátor náhodných čísel sa dá chápať všetko, čo má charakter náhodnosti, ako napríklad hádzanie kockou alebo mincou. Častejšie sa používajú generátory založené na kombinácií rádioaktívneho žiariča a detektoru (častice sú vyžarované v náhodnom množstve). Ale fyzikálne generátory sa málo používajú, nakoľko môžu byť v závislosti na vonkajších vplyvoch nestabilné, postupnosť čísel nie je možné zopakovať a chovanie sa môže líšiť v dôsledku výrobných tolerancií.

Generátory pseudonáhodných čísel
Najpoužívanejším generátorom pseudonáhodných čísel je tzv. kongruentný generátor. Postupnosť je vyjadrená vzťahom:

kde mod m je celočíselný zvyšok po delení  a, c, m sú zvolené konštanty

Generované čísla sú diskrétne z intervalu <0,m). Kvalita generovaných čísel závisí na zvolených konštantách, čím vyššie hodnoty, tým „kvalitnejšie“ čísla sú generované, ale rýchlosť generovania klesá.

Metóda Monte Carlo
Simulácia metódou Monte Carlo prebieha tak, že reálny (môže ísť o projektovaný) systém nahradíme jeho simulačným modelom s rovnakými pravdepodobnostnými charakteristikami a chovanie reálneho systému mnohonásobne simulujeme na skonštruovanom modeli. Ku presnému odhadu danej pravdepodobnostnej charakteristiky zvyčajne potrebujeme veľký počet pokusov.

Možnosti využitia tejto metódy sú široké a rôznorodé. Príkladmi môžu byť finančné plánovanie a riadenie rizík v podniku, modelovanie vývoja finančného trhu a oceňovanie aktív, analýzu chovania oligopolného trhu, či modelovanie dopadu hospodárskej politiky.

Pojmy Metódy Monte Carlo a stochastická simulácia sa v literatúre často zamieňajú a neexistuje jednotné rozlíšenie týchto pojmov.

Oblasti využitia
Stochastické simulácie majú široké možnosti využitia. Všeobecne sa dá povedať, že je možné ich využiť všade tam, kde je možné nájsť riešenie pomocou mnohokrát opakovaných náhodných pokusov. Pri simuláciách je nutné poznať pravdepodobnostné rozdelenie sledovaných veličín, čo sa mnohokrát môže ukázať ako problematické. Problémy riešiteľné stochastickou simuláciou je možné nájsť v rôznych oboroch, ako v matematike tak aj v oblasti financií a obchodu, fyzike a fyzikálnej chémii, vo výpočtovej technike, hrách a pod.

Matematika
Pomocou stochastickej simulácie je možné riešiť nielen jednoduché určité alebo viacrozmerné integrály, parciálne diferenciálne rovnice, ale napríklad aj systémy lineárnych rovníc, či nájsť korene rovníc.

Fyzika
Okrem už spomínanej fyzikálnej chémii sa metóda Monte Carlo používa ku zložitým výpočtom v kvantovej chromodynamike, aerodynamike, vo fyzike polymérov, štatistickej fyzike a  fyzike častíc. Monte Carlo nájde uplatnenie aj pri predpovedi počasia.

Financie a poisťovníctvo
V oblasti ekonomiky je možné metódu Monte Carlo využiť pre oceňovanie opcií, investícií a iných finančných derivátov, analýzu rizika, pre zistenie optimálnej hodnoty portfólia, pre rozhodovanie či zaisťovanie.

 Pozri aj 
 Genetické algoritmy – ďalšia skupina numerických metód používajúcich náhodné čísla.

 Referencie 

Kategória:Numerická matematika
Kategória:Simulácia