Bekensteinova hranica

Bekensteinova hranica, vo fyzike, predstavuje horný limit entropie S alebo informácie I, ktorá môže byt obsiahnutá v určitej danej konečnej oblasti vesmíru, ktorý má určité konečné množstvo energie - alebo obrátene, maximálne množstvo informácií, potrebných na úplné popísanie daného fyzikálneho systému na kvantovej úrovni.J. D. Bekenstein, "Black Holes and the Second Law", Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737-740, , ..Jacob D. Bekenstein, "Black Holes and Entropy", Physical Review D, Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333-2346, , . Mirror link.Jacob D. Bekenstein, "Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics", Physical Review D, Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, , ..Jacob D. Bekenstein, "Statistical black-hole thermodynamics", Physical Review D, Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, , . Mirror link.Jacob D. Bekenstein, "Black-hole thermodynamics", Physics Today, Vol. 33, Issue 1 (January 1980), pp. 24-31, , ..Jacob D. Bekenstein, "Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems", Physical Review D, Vol. 23, No. 2, (January 15, 1981), pp. 287-298, , ..Jacob D. Bekenstein, "Energy Cost of Information Transfer", Physical Review Letters, Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623-626, , . Mirror link.Jacob D. Bekenstein, "Specific entropy and the sign of the energy", Physical Review D, Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950-953, , .Jacob D. Bekenstein, "Entropy content and information flow in systems with limited energy", Physical Review D, Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669-1679, , . Mirror link.Jacob D. Bekenstein, "Communication and energy" , Physical Review A, Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, , ..Marcelo Schiffer and Jacob D. Bekenstein, "Proof of the quantum bound on specific entropy for free fields", Physical Review D, Vol. 39, Issue 4 (February 15, 1989), pp. 1109-1115, , .Jacob D. Bekenstein, "Is the Cosmological Singularity Thermodynamically Possible?", International Journal of Theoretical Physics, Vol. 28, Issue 9 (September 1989), pp. 967-981, , .Jacob D. Bekenstein, "Entropy bounds and black hole remnants", Physical Review D, Vol. 49, Issue 4 (February 15, 1994), pp. 1912-1921, , . Also at , July 25, 1993.Oleg B. Zaslavskii, "Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes", Classical and Quantum Gravity, Vol. 13, No. 1 (January 1996), pp. L7-L11, , . See also O. B. Zaslavskii, "Corrigendum to 'Generalized second law and the Bekenstein entropy bound in Gedankenexperiments with black holes'", Classical and Quantum Gravity, Vol. 13, No. 9 (September 1996), p. 2607, , .Jacob D. Bekenstein, "Non-Archimedean character of quantum buoyancy and the generalized second law of thermodynamics", Physical Review D, Vol. 60, Issue 12 (December 15, 1999), Art. No. 124010, 9 pages, , . Also at , June 16, 1999. To znamená, že ak oblasť vesmíru a jej energia je určitá a konečná, tak informácia o fyzikálnom systéme alebo informácie potrebné na úplné popísanie systému musia byť konečné. V prípade IT to znamená, že existuje maximálna rýchlosť spracovania informácií pre fyzický systém, ktorý má určitú veľkosť a energiu, a že Turingov stroj, s jeho nekonečnou pamäťou, nie je fyzikálne možný, pokiaľ nemá nekonečnú energiu. Všeobecný tvar bol objavený Jacobom Bekensteinom pôvodne ako nezrovnalosť. 


kde S je entropia, k je Boltzmannova konštanta, R je polomer gule, ktorá obklopuje daný systém, E je maximálna hmotnosť-energia vrátane všetkých zvyškových hmotností, ħ je redukovaná Planckova konštanta a c je rýchlosť svetla. Zaujímavé je, že zatiaľ čo gravitácia hrá dôležitú úlohu jej posilnení, tak hranica je nezávislá od Newtonovej konštanty G.

V informačnom vzťahu je hranica daná


kde I je informácia vyjadrená počtom bitov obsiahnutých v kvantovom stave gule. Ln2 faktor pochádza z definície informácie ako logaritmus počtu kvantových stavov so základom 2.Frank J. Tipler, "The structure of the world from pure numbers", Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897-964, , , p. 902.. Also released as "Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything", , April 24, 2007, p. 8. Pravá strana predchádzajúceho vzťahu je približne rovná 2.5769087×1043×(hmotnosť v kg)×(polomer v metroch).

Bekenstein odvodil  hranicu z metodických dôkazov zahŕňajúcich čierne diery. Ak existuje systém porušujúci túto hranicu, tak by bolo možné porušiť 2. termodynamický zákon jeho znížením na úroveň čiernej diery, argumentoval Bekenstein. V roku 1995 Ted Jacobson demonštroval, že Einstein field equations môžu byť odvodené za predpokladu,že Bekensteinova hranica a zákony termodynamiky platia.Ted Jacobson, "Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State", Physical Review Letters, Vol. 75, Issue 7 (August 14, 1995), pp. 1260-1263, , . Also at , April 4, 1995. Also available here and here. Additionally available as an entry in the Gravity Research Foundation's 1995 essay competition..Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity (New York, N.Y.: Basic Books, 2002), pp. 173 and 175, ISBN 0465078362, . Aj keď doteraz bolo predstavených viacero dôkazov, že nejaká hranica musí existovať, aby zákony termodynamiky boli navzájom konzistentné, tak presná formulácia hranice je stále predmetom diskusií.Jacob D. Bekenstein, "How Does the Entropy/Information Bound Work?", Foundations of Physics, Vol. 35, No. 11 (November 2005), pp. 1805-1823, , . Also at , April 7, 2004.Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein bound", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (October 31, 2008), p. 7374, .Raphael Bousso, "Holography in general space-times", Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 6 (June 1999), Art. No. 28, 24 pages, , . Mirror link. Also at , June 3, 1999.Raphael Bousso, "A covariant entropy conjecture", Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, Issue 7 (July 1999), Art. No. 4, 34 pages, , . Mirror link. Also at , May 24, 1999.Raphael Bousso, "The holographic principle for general backgrounds", Classical and Quantum Gravity, Vol. 17, No. 5 (March 7, 2000), pp. 997-1005, , . Also at , November 2, 1999.Jacob D. Bekenstein, "Holographic bound from second law of thermodynamics", Physics Letters B, Vol. 481, Issues 2-4 (May 25, 2000), pp. 339-345, , . Also at , March 8, 2000.Raphael Bousso, "The holographic principle", Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No. 3 (July 2002), pp. 825-874, , . . Also at , March 12, 2002.Jacob D. Bekenstein, "Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram", Scientific American, Vol. 289, No. 2 (August 2003), pp. 58-65..Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan and Donald Marolf, "Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound", Physical Review D, Vol. 68, Issue 6 (September 15, 2003), Art. No. 064001, 7 pages, , . Also at , May 19, 2003.Jacob D. Bekenstein, "Black holes and information theory", Contemporary Physics, Vol. 45, Issue 1 (January 2004), pp. 31-43, , . Also at , November 9, 2003. Also at , November 9, 2003.Frank J. Tipler, "The structure of the world from pure numbers", Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No. 4 (April 2005), pp. 897-964, , . Mirror link. Also released as "Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything", , April 24, 2007. Tipler gives a number of arguments for maintaining that Bekenstein's original formulation of the bound is the correct form. See in particular the paragraph beginning with "A few points ..." on p. 903 of the Rep. Prog. Phys. paper (or p. 9 of the arXiv version), and the discussions on the Bekenstein bound that follow throughout the paper.

Stáva sa, že Bekenstein-hawkingova entropia  trojrozmernej čiernej diery presne napĺňa hranicu 

kde A je  dvojrozmerná oblasť  horizontu udalostí čiernej diery (v jednotkách Planckovej plochy) .

Bekensteinova hranica je úzko prepojená s termodynamikou čiernych dier, holografickým princípom a Buosseho holografickou hranicou kvantovej gravitácie.

Príklady
Ľudské telo

Napríklad priemerný američan váži  a je vysoký . Takáto osoba môže byť vložená do guľe s polomerom  (polomer = polovica výšky).. Maximálnu energiu máme danú vzťahom mc2 = E  , v SI jednotkách  hmotnosť 88.3 kilograms × 2997924582(rýchlosť svetla v m/s na druhú)= 7936008228246099761.2 Joulov energie. Doporučená hodnota redukovanej Planckovej konštanty je 1.054571628×10−34 joul-sekúnd. 
Vložením týchto čísel do Bekensteinovej hranice dostaneme 


ako výsledok , že maximálny počet bitov  potrebný na dokonalé vytvorenie priemerného američana na kvantovej úrovni v počítači je 2.0057742×1045  bitov informácií alebo 2.5072178×1038  megabajtov. V prípade ľudí je skutočný počet bitov, ktoré môžu byť kódované ich telom  omnoho menšie (ako aj pri ostatných známych formách hmoty), pretože  toto je horná hranica, dosiahnutá iba čiernou dierou.

Ľudský mozog

Priemerný ľudský mozog váži  a má objem  . Energia(E = m·c2)  bude  1.34813·1017 J  a keĎže mozog je približne guľa, potom  polomer (V = 4·π·r3/3) bude  6.70030·10−2 m. 
Bekensteinova hranica bude 2107.79640·1041  bitov  a predstavuje maximum informácií potrebných na dokonalé vytvorenie  priemerného ľudského mozgu na kvantovej úrovni.

 Pozri aj 
 Entropia

 Referencie 

 Zdroj 

 Externé odkazy 
 Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein bound", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7374 
 Jacob D. Bekenstein, "Bekenstein-Hawking entropy", Scholarpedia, Vol. 3, No. 10 (2008), p. 7375, 
 Jacob D. Bekenstein's website at the Racah Institute of Physics, Hebrew University of Jerusalem, which contains a number of articles on the Bekenstein bound

Kategória:Kvantová informatika