Wilsonova veta

Wilsonova veta je veta v teórii čísel, ktorá hovorí, že prirodzené číslo n > 1 je prvočíslo práve vtedy, keď 

 História 
Veta bola prvý raz publikovaná v roku 1770 Edwardom Waringom a pripisuje sa jeho študentovi Johnovi Wilsonovi, ani jeden z nich však neuviedol jej dôkaz.Yan, S. Y.: Number Theory for Computing. 2. vydanie, Springer, 2002. Navyše Waring publikoval vetu len v tvare nutnej podmienky. Prvý raz bola veta dokázaná (už v tvare ekvivalencie) Josephom Louisom Lagrangom v roku 1773.

Príklad

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené hodnoty n 2-30, (n-1)!, A zvyšok po (n-1)! je rozdelený n. (Zvyšok po m delí n je napísaný m mod n). Farba pozadia je ružová na hlavných hodnotách n, svetlo zelené pre kompozitné hodnoty.
+ Tabuľka zvyškom modulo n      2  1  1 3  2  2 4  6  2 5  24  4 6  120  0 7  720  6 8  5040  0 9  40320  0 10  362880  0 11  3628800  10 12  39916800  0 13  479001600  12 14  6227020800  0 15  87178291200  0 16  1307674368000  0 17  20922789888000  16 18  355687428096000  0 19  6402373705728000  18 20  121645100408832000  0 21  2432902008176640000  0 22  51090942171709440000  0 23  1124000727777607680000  22 24  25852016738884976640000  0 25  620448401733239439360000  0 26  15511210043330985984000000  0 27  403291461126605635584000000  0 28  10888869450418352160768000000  0 29  304888344611713860501504000000  28 30  8841761993739701954543616000000  0

 DôkazA proof of Wilson's Theorem. 

Ľahko je možné overiť, že tvrdenie platí pre n = 2 a n = 3. Predpokladajme teda, že n > 3. Ak je n zložené číslo, jeho celočíselné delitele patria do množiny , a teda najväčší spoločný deliteľ čísel n a (n-1)! je väčší ako nula, a preto neplatí . Nech je teda n prvočíslo. Potom je každé číslo z množiny M nesúdeliteľné s n, z čoho vyplýva, že pre každé číslo a z M existuje číslo b z M tak, že 

Navyše, b je určené jednoznačne a keďže je n prvočíslo, a = b práve vtedy, keď a = 1 alebo a = n-1. Navyše, tieto dvojice (okrem tých, kde a = 1 a a = n-1) je možné popárovať tak, že každé číslo sa nachádza len v jednej dvojici. Vynásobením týchto dvojíc dostávame kongruenciu

z čoho vynásobením  vyplýva požadované tvrdenie.

 Referencie 

 Externé odkazy 

 Wilsonova veta - Wolfram MathWorld .
 Dôkaz Wilsonovej vety  - PlanetMath .

Kategória:Teória čísel
Kategória:Modulárna aritmetika