Seibergov–Wittenov invariant

Seibergove-Wittenove invarianty sú invarianty kompaktnej 4-rozmanitosti zavedené Edwardom Wittenom (pozri ),  používajúce Seiberg-Wittenovu teóriu skúmanú Seibergom a Wittenom (, ) počas ich skúmania Seibergovej-Wittenovej kalibračnej teórie.

Seibergove-Wittenove invarianty sú podobné Donaldsonovým invariantom a možno ich použiť na dokázanie podobných (no niekedy o niečo silnejších) výsledkov ohľadom hladkých 4-rozmanitostí. Po technickej stránke sa s nimi narába oveľa ľahšie ako s Donaldsonovými invariantmi; napríklad, moduli priestory riešení Seibergových-Wittenových rovníc majú tendenciu ku kompaktnosti, takže sa možno vyhnúť vážnym problémom, ktoré súvisia s kompaktifikáciou moduli priestorov Donaldsonovej teórie.

Detailný opis Seibergových-Wittenových invariantov pozri v , , , , . O vzťahoch k sympletickej rozmanitosti a  Gromovovým-Wittenovým invariantom pozri . O ranej histórii pozri .

 Štruktúry spin c 
Seiberg-Wittenove rovnice závisia na výbere komplexnej spinovej štruktúry, spinu c,  na 4-rozmanitosti M. V 4 dimenziách je skupina spinc

(U(1)×Spin(4))/(Z/2Z), 

a je z nej homomorfizmus do SO(4).  Štruktúra spinc na M je výťah prirodzenej SO(4) štruktúry tangentového zhluku (za predpokladu Riemannianovej metriky a orientácie) k skupine spin c.  Každá hladká kompaktná 4-rozmanitosť M má štruktúry typu spin c ( hoci väčšina nemá spinové štruktúry.

 Seiberg-Witten rovnice 
Stanovte hladkú kompaktnú 4-rozmanitosť M, vyberte štruktúru spinc s na M a
napíšte W+, W− pre asociované spinorové zhluky a L pre determinujúci líniový  zhluk. Napíšte φ pre samoduálne spinorové pole (sekcia W+) a A pre  U(1) pripojenie na L.
Seiberg-Wittenove rovnice pre  for (φ,A) sú

kde DA je Diracov operátor A, FA je zakrivenie 2-formy A, 
a FA+ je jej samoduálna častica a σ je umocnená mapa od W+ na imaginárne samoduálne 2-formy a  
je reálne samoduálna dvojforma, často reprezentovaná ako nula alebo harmonická.
Riešenie (φ,A) pre Seiberg-Wittenove rovnice sa nazýva monopoly, keďže tieto rovnice sú rovnice poľa bezváhových magnetických monopolov na rozmanitosti M.

The moduli priestor riešení
Priestor riešení je v réžii kalibračnej skupiny a kvocient pri tejto akcii sa nazýva moduli priestor monopolov.

Moduli priestor je obvykle rozmanitosť. Riešenia sa nazýva redukovateľné, ak je fixované nejakým netriviálnym elementom kalibračnej skupiny, ktorý je ekvivalentný k . Nevyhnutnou
a dostatočnou podmienkou pre redukovateľné riešenia pre metriku na M a samoduálne 2-formy  je, že samoduálna časť harmonického zástupcu kohomologickej triedy určujúceho líniového zhluku je ekvivalentná harmonickej časti .
Moduli priestor je rozmanitosť s výnimkou u redukovateľných monopolov. Takže ak b2+(M)≥1, potom moduli priestor je (pravdepodobne prázdna) rozmanitosť pre všeobecné metriky. Navyše, všetky komponenty majú rozmer

Moduli priestor je prázdny pre všetky s výnimkou konečného počtu spinuc štruktúr s, a je vždy kompaktný.

O rozmanitosti M sa hovorí, že je jednoduchého typu, ak je moduli priestor konečný pre všetky  s. Zbiehavosť jednoduchého typu udáva, že ak  M je jednoducho pripojené a b2+(M)≥2, potom je moduli priestor konečný. Toto platí pre sympletické rozmanitosti.
Ak b2+(M)=1, potom existujú príklady rozmanitostí s moduli priestormi arbitrárne vysokých dimenzií.

Seiberg-Wittenove invarianty

Seiberg-Witten invarianty sa najľahšie definujú pre rozmanitosti M jednoduchého typu. V tomto prípade je invariantom mapa spinuc štruktúr s na Z, priberajúc  sk počtu elementov moduli priestoru počítaných so znakmi.

Ak má rozmanitosť M metriku pozitívnej skalárnej zakrivenosti a b2+(M)≥2, potom všetky Seiberg-Wittenove invarianty M miznú.

Ak je rozmanitosť M jednoducho pripojená a sympletická a b2+(M)≥2, potom má spinc štruktúru s, na ktorej je Seiberg-Wittenov invariant 1. Podstatné je, že nemôže byť rozdelený ako pripojená suma rozmanitostí s  b2+≥1.

Referencie








Kategória:Diferenciálny počet
Kategória:Eponymické termíny v matematike