Ortonormálna báza

Ortonormálna báza unitárneho priestoru je pojem z lineárnej algebry a fukcionálnej analýzy, označuje podpriestor tohto vektorového priestoru, ktorého prvky sú normované a navzájom ortogonálne.

Tento pojem je dôležitý pre konečno rozmerné ako aj nekonečno rozmerné priestory a špeciálne pre Hilbertové priestory.

 Konečno rozmerné priestory 

Nech  je konečnorozmerný euklidovský vektorový priestor so skalárnym súčinom , ktorý indukuje normu: . Pod ortonormálnou bázou priestoru  potom rozumieme bázu  z  s týmito vlastnosťami:

  pre všetky .
  pre všetky  s .

Napríklad nasledujúca množina je ortonormálnou bázou euklidovského vektorového priestoru  (spolu s prirodzene definovaným skalárnym súčinom). 

Každý z týchto vektorov má dĺžku 1 a všetky sú na seba kolmé pretože ich skalárny súčin je nula.

 Všeobecný prípad 

Vo všeobecnom prípade unitárneho priestoru  nekonečnej dimenzie, nazývame ortonormálnym systémom  vo  taký systém, ktorého lineárny obal leží husto vo .

Úplný ortonormálny systém  má preto tú vlastnosť, že pre každý prvok  môžeme písať fourierov rozvoj: 
.

Je dôležité zdôrazniť, že v zmysle tohto odseku, v protiklade k prípadu s konečnou dimenziou, nie je ortonormálna báza žiadnou bázou v bežnom zmysle lineárnej algebry. To znamená, že prvok  sa nedá vo všeobecnosti napísať ako lineárna kombinácia konečného počtu bázových vektorov (prvkov z ), ale len ako suma spočítateľného nekonečného počtu prvkov z , teda ako nekonečný rad. Inými slovami: Lineárny obal nie je rovný priestoru , leží ale husto v tomto priestore.

 Pozri aj 
 Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

Kategória:Lineárna algebra
Kategória:Funkcionálna analýza