Bernoulliho nerovnosť

Bernoulliho nerovnosť je využívaná pri dokazovaní zložitejších matematických viet. Samotná nerovnosť má tvar

Dôkaz
Dôkaz Bernoulliho nerovnosti nie je zložitý, vyžaduje základy dokazovania matematickou indukciou. V prvom kroku sa overí platnosť pre prvé prirodzené číslo . Dostaneme  čo je zrejme pravda. Indukčný predpoklad je teda platnosť

po splnení už uvedených podmienok. V druhom kroku sa snažíme z pravdivosti (i) odvodiť platnosť

Tvar nerovnosti (ii) možno prepísať na tvar

Teraz je potrebné dokázať, že platí

Po úprave dospejeme na tvar  odkiaľ už vidno, že pôvodná nerovnosť platí.

Použitie nerovnosti pri dôkazoch
Príkladom, môže byť dôkaz o existencií limity postupnosti 

pričom treba dokázať ohraničenosť a monotónnosť tejto postupnosti.

Kategória:Matematická analýza

 Referencie