Nezávislá množina

V  teórii grafov je nezávislou podmnožinou N množiny V, taká podmnožina, ktorá nemá žiadne dva zo svojich vrcholov incidentné s tou istou hranou v grafe G=(V, H).  To znamená, že je to taká podmnožina N množiny V vrcholov v, že  každé dva vrcholy nemajú takú hranu, ktorá by ich spájala.

9 modrých vrcholov je maximálna nezávislá podmnožina tohto grafu.

 Maximálna nezávislá množina 

Je preto prospešné zaoberať sa maximálnymi nezávislými množinami, keďže každý vrchol  tvorí nezávislú podmnožinu množiny V. Maximálnou nezávislou podmnožinou V, ak neexistuje taká nezávislá  podmnožina N‘ množiny V, aby platilo, že N je rôzna od N‘ a N je podmnožinou N‘ a tá je podmnožinou V.  
Počet maximálnych nezávislých množín v n-vrcholovom cyklickom grafe G je dané Perrinovym číslom (to je dané rekurentým vzťahom).  Maximálna nezávislá množina v n-vrcholovom slede je daný Padovanovou sekvenciou.

Príklad 1: 
maximálne nezávislé množiny sú: N1={1}, N2={2,5}, N3={3,5}, N4={3,6}, N5={2, 4, 6}
Image:Tg-priklad1.GIF

Nezávislosť grafu je vlastne maximálna mohutnosť z mohutností všetkých maximálnych nezávislých podmnožín množiny V. Označuje sa &. Pre obrázok v príklade 1 je to .

 Klika grafu 

S nezávislosťou grafu úzko súvisí pojem klika grafu. Ak K je podmnožinou množiny V a každé dva prvky množiny K sú priľahlé, potom je množina K úplnou množinou v grafe G. Čiže ak K je úplná v grafe G a nie je podmnožinou žiadnej inej úplnej množiny v grafe G, tak K je maximálna úplná množina alebo klika v grafe
G. K nazývame maximálnou klikou v grafe G, vtedy, ak má najväčší počet prvkov medzi
všetkými klikami v G. Pojem klika má aplikáciu aj v spoločenských  vedách tým, že vrcholy grafu môžu byť osoby a hrany predstavujú nejakú spojitosť medzi týmito ľuďmi (zhodu politických názorov, Erdősovo číslo).
Klikové číslo grafu predstavuje počet vrcholov maximálnej kliky grafu G. Označujeme ho (G). V príklade 2 je to (G)=4.

Príklad 2:

Súbor:Tg-priklad2.JPG

Uvážme, že každá maximálna nezávislá podmnožina vrcholov grafu G je rovná klike komplementárneho grafu, kvôli tomu, že v nezávislej podmnožine sú vrcholy, medzi ktorými v grafe G neexistuje žiadna hrana.Čiže je platné: 

 Minimálna dominujúca množina 
Žiadna vlastná podmnožina týchto podmnožín nie je dominujúca. V grafe, v príklade 1, sú minimálnymi dominujúcimi podmnožinami: D1={1], D2={6,3}, D3={5,3} a D4={5,2}, D5={6,4,2}. Z definície minimálnej dominujúcej podmnožiny vyplýva dôkaz nasledujúcej vety: komponent  je dominujúcou podmnožinou grafu G, ak D je minimálna dominujúca podmnožina vrcholov grafu G, ktorej nie sú izolované vrcholy. 

Dominanciou grafu G, označujeme (G)nazývame minimálnu mohutnosť z mohutnosti všetkých dominujúcich podmnožín vrcholov grafu G. 

Veta: Maximálna nezávislá podmnožina vrcholov grafu G je práve vtedy, ak je jeho dominujúcou podmnožinou.

Dôkaz 1: Nech maximálnou nezávislou podmnožinou grafu G je N, to znamená, že ju nemožno rozšíriť o žiaden vrchol bez porušenia nezávislosti, takže do množiny jej susedov patria všetky ostatné vrcholy. to je ale vlastnosť dominujúcej podmnožiny.

Dôkaz 2: Nech dominujúcou podmnožinou grafu G je D, ktorá je zároveň nezávislá, potom už neexistuje vrchol v grafe G, ktorý by so žiadnyzm vrcholom z množiny D nesusedil; to unamená, že je aj minimálne nezávislá.

Dôsledok: Pre dominanciu (G) a nezávislosť (G) grafu G platí vzťah 

 Externé odkazy (v angličtine) 
 http://mathworld.wolfram.com/MaximalIndependentVertexSet.html
 Challenging Benchmarks for Maximum Clique, Maximum Independent Set, Minimum Vertex Cover and Vertex Coloring 

Tento text bol inšpirovaný publikáciou Michala Bučka, Mariána Klešča: Diskrétna matematika, vydavateľstvo ELFA

Kategória:Teória grafov