Osová súmernosť

Osová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený osou o, je  zhodné zobrazenie v rovine, ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Osová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly.

 Veta 
Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo invariantná, a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. 
Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom os úsečky AA'.

250px|right|thumb|Príklady osí súmerností objektov
 Osová súmernosť roviny alebo priestoru s priamkou o ako osou (súmernosti) je zobrazenie, ktoré zobrazuje prvky osi o na sebe samej a bod  ležiaci mimo os o s priemetom  do osi o na bod , ktorý sa nachádza na polpriamke opačnej k  v rovnakej vzdialenosti od  ako bod  čiže matematicky 

 Vlastnosti 
 Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za osovo súmerný, ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame os objektu.
 Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. 
 Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body. 
 Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. 
 Osová súmernosť je involúciou.
 Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o).
 Každá priamka kolmá na os súmernosti je invariantná.
 Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba inverzným obrazom - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká identita.
 Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak.
 Osová súmernosť je v priestore zhodná s otočením o 180 stupňov podľa rovnakej osi.
 Body ležiace na osi súmernosti sú samodružnými bodmi. Všetky priamky kolmé k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.

 Príklad 
 Všetky pravidelné mnohouholníky sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. rovnostranný trojuholník má tri osi súmernosti, štvorec štyri, pravidelný šesťuholník šesť.
 Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou.
 Rovnoramenný trojuholník, ktorý nie je rovnostranný, má jednu os súmernosti.
 Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný.
 Hyperbola, elipsa a parabola sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov.
 Kocka, guľa, kužeľ a valec sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru.
 Ihlan je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.

 Referencie 

 Pozri aj 
 Stredová súmernosť
 Rovinná súmernosť
 Zhodné zobrazenie

Kategória:Geometria