Stredová súmernosť

Stredová súmernosť alebo zrkadlový obraz určený bodom S, je také zhodné zobrazenie v rovine, alebo v trojrozmernom priestore, ktoré bodu S (nazývanému stred zobrazenia) priradí ten istý bod, a k bodu A ktorý neleží v bode S priradí bod A’, pričom zároveň platí: vzdialenosť [A, S]=[A’,S] a úsečka [A, A’] leží na priamke prechádzajúcej bodom S. Stredová súmernosť je typ geometrického zobrazenia. Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti a uhly, ide teda o jedno zo zhodných zobrazení v rovine (alebo priestore).

 Definícia 
Stredová súmernosť priamky, roviny alebo priestoru so stredom v bode  (tzv. stred súmernosti) je také zobrazenie, ktoré zobrazuje stred  na seba samého a bod  rôzny od  na bod , ktorý sa nachádza na polopriamke opačnej k  v rovnakej vzdialenosti od  ako bod  (čiže pre neho platí ).

Objekt (či už na priamke, v rovine alebo v priestore) označujeme za stredovo súmerný, pokiaľ je v nejakej stredovej súmernosti obrazom samého seba. Stred tejto stredovej súmernosti potom nazývame stredom súmernosti objektu.

 Príklady 
Úsečka alebo zjednotenie dvoch úsečiek rovnakej dĺžky je príkladom stredovo súmerných objektov na priamke.
Oproti tomu žiadna polpriamka nie je na priamke stredovo súmerná.
Obdĺžnik, štvorec, kosoštvorec, pravidelný šesťuholník a kruh sú príkladmi stredovo súmerných geometrických útvarov v rovine.
Oproti tomu žiaden mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov (napr. trojuholník) nie je stredovo súmerný.
Hyperbola a elipsa sú stredovo súmerné rovinné útvary, ale parabola stredovo súmerná nie je.
Kocka, guľa, valec sú stredovo súmerné geometrické objekty v priestore.
Naproti tomu žiaden ihlan ani kužeľ nie je stredovo súmerný.

 Vlastnosti 
Stredová súmernosť s pevne daným stredom je sama sebe inverzným zobrazením. Zložením dvoch stredových súmerností s rovnakým stredom vzniká identita.

Okrem vzdialeností zachováva stredová súmernosť v rovine i orientáciu – pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v stredovej súmernosti je opäť v smere hodinových ručičiek (čo napr. neplatí pre osovú súmernosť).

Stredová súmernosť so stredom v bode  je v rovine zhodná s otočením o 180 stupňov podľa stredu . V priestore, nemá zmysel hovoriť o otočení okolo bodu, ale iba okolo osi.

Stredová súmernosť je involúciou, pretože bod  je samodružný a každá priamka prechádzajúca týmto bodom je taktiež samodružná.

 Pozri aj 
Osová súmernosť
Rovinná súmernosť
Zhodné zobrazenie

 Referencie 

Kategória:Geometria