Moment sily

Vo fyzike a mechanike je moment sily rotačnou obdobou lineárnej sily. Tak, ako sila vyjadruje mieru posuvného účinku na teleso, moment sily vyjadruje mieru rotačného účinku na teleso vzhľadom na určitý bod.

Otáčavý účinok sily sa môže vzťahovať vzhľadom na daný bod alebo priamku. Bod, ku ktorému sa moment sily určuje, sa nazýva momentový bod.

Kolmá vzdialenosť  sily  od jej osi k momentovému bodu je tzv. rameno sily. Bod, voči ktorému sa určuje moment sily, nemusí byť bodom ležiacim na osi otáčania. Moment sily môžeme určiť vzhľadom na ľubovoľný bod, a to i k bodom, ktoré sa nachádzajú mimo skúmané teleso.

 Značenie 
Mnohí autori používajú rozličné označenia momentu sily. Medzi najčastejšie patria Latinské písmeno M, Grécke písmena tau  a gama . 
 Symbol veličiny: , , ;
 jednotka SI: newton meter, značka jednotky: Nm;
 Ďalšie jednotky: newton centimeter Ncm, resp. iné odvodené jednotky.

 Definícia 

 Elementárna definícia momentu sily 
Nech pôsobisko sily  je vzhľadom na ľubovoľný bod  určené polohovým vektorom . Moment sily  vzhľadom na bod  je potom určený vzťahom


kde F a r sú veľkosti pôsobiacej sily, resp. polohového vektora,  je uhol medzi spomenutými vektormi a  je sila pôsobiaca kolmo na polohu častice.

 Moment sily a moment hybnosti hmotného bodu 
náhľad|Vzťah medzi silou , momentom sily , hybnosťou  a momentom hybnosti .
Ekvivalentnou definíciou celkového momentu sily  je časová derivácia momentu hybnosti 

Dokážeme ekvivalentnosť týchto definícií. Moment hybnosti jednoducho vyjadríme pomocou polohového vektora uvažovaného hmotného bodu  a hmotnosti m

,

kde bodka nad veličinou označuje časovú deriváciu. Počítajme časovú deriváciu

pričom posledná úprava je oprávnená, nakoľko vektorový súčin dvoch rovnobežných vektorov je nulový a na základe druhého Newtonovho zákona je výraz  celková sila pôsobiaca na časticu. Dokázali sme teda rovnosť

Moment sily leží v osi ktorá prechádza kolmo na rovinu určenú vektormi r a F a mieri na tú stranu, z ktorej sa smer sily javí v kladnom zmysle.

 Druhá veta impulzová 
Uvažujme sústavu hmotných bodov. Druhá veta impulzová, alebo druhá pohybová rovnica znie nasledovne:

Súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na jednotlivé hmotné body sústavy sa rovná časovej derivácii celkového momentu hybnosti sústavy.

Túto vetu môžeme zapísať matematicky v tvare

kde  označuje polohový vektor n-tej častice,  celkovú vonkajšiu (externú) silu pôsobiacu na n-tú časticu,  celkový moment vonkajších (externých) síl a  celkový (totálny) moment hybnosti.

 Dôkaz 
Silu  pôsobiacu na n-tú časticu môžeme zapísať ako súčet celkovej externej sily a celkových vnútorných (interných) síl: 

,

pričom  označuje internú silu na časticu n od častice m. Celková interná sila pôsobiaca na časticu n je potom súčtom súčtom týchto síl skrze všetky častice m, okrem prípadu, ak m a n sú totožné (neuvažujeme silové pôsobenie častice na seba samú, uvažujeme iba vzájomné pôsobenie medzi dvoma rôznymi časticami). Časovú zmenu celkového momentu hybnosti teda vieme vyjadriť súčtom zmien momentov hybností jednotlivých častíc

Upravujme dvojitú sumu v našom vyjadrení

.

Ďalej využijeme tretí Newtonov pohybový zákon, ktorý hovorí, že sila, ktorou pôsobí častica m na n je vo veľkostí totožná a v smere opačná ako sila, ktorou pôsobí častica n na m. ()

.

Táto dvojitá suma je nulová za predpokladu, že interné sily sú centrálne (pôsobiace na spojnici hmotných bodov m a n), pretože vektor  je vektor spájajúci častice m a n (tzv. relatívny vektor), teda je rovnobežný s centrálnou internou silou. Uvažovať o interných silách ako o centrálnych je oprávnené, nakoľko väčšina možných interakcií medzi časticami je centrálneho charakteru (Newtonova gravitačná sila, Coulombova sila...). Dostávame teda

čo sme chceli ukázať.

 Zákon zachovania momentu hybnosti 
Z predchádzajúceho dôkazu je zrejmé, že časová derivácia celkového momentu hybnosti je nulová, ak celkový externý moment síl je nulový. Platí teda zákon zachovania momentu hybnosti sústavy častíc:

Ak je celkový moment vonkajších síl pôsobiacich na sústavu hmotných bodov nulový, potom je celkový moment hybnosti tejto sústavy nezávislý od času, t.j. zachováva sa.

 Referencie 

Kategória:Fyzikálne veličiny
Kategória:Dynamika