Asymptotická hustota

Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota  množiny  prirodzených čísel definovaná vzťahom

kde  je počet všetkých prvkov množiny , ktoré sú menšie než prirodzené číslo . Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina  má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu. 

Horná a dolná asymptotická hustota
Horná asymptotická hustota podmnožiny  prirodzených čísel je číslo

zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je

Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

Príklady
 Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
 Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
 Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných čísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
 Množina všetkých členov aritmetickej postupnosti {an+b} s diferenciou a má asymptotickú hustotu 1/a.
 Množina štvorcov alebo množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
 Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je
.
 O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

Vlastnosti
 Ak množina  má asymptotickú hustotu, potom platí , kde  je komplement množiny  vzhľadom k množine prirodzených čísel. Pre hornú a dolnú hustotu máme .
 Pre ľubovoľnú podmnožinu prirodzených čísel platí .
 Pre disjunktné množiny  platí

Špeciálne, ak  aj  majú hustotu, tak dostaneme . Teda asymptotická hustota je konečne aditívna.

Literatúra


Pozri aj
Schnirelmannova hustota

Kategória:Analytická teória čisel