Möbiov list

Möbiov list (tiež Möbiov pás(ik), Möbiova páska alebo v staršej literatúre Simonyho prstenec) je plocha, ktorá má len jednu stranu a jednu hranu. Roku 1858 ju nezávisle od seba objavili matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedikt Listing. 

 Vlastnosti Möbiovho listu 
Möbiov list nie je zložitý útvar, napriek tomu veľmi názorne demonštruje javy, ktoré spôsobujú deformácie dvojrozmerného priestoru do tretieho rozmeru. 

V euklidovskom priestore jestvujú v skutočnosti dva druhy Möbiovho listu v závislosti od smeru pootočenia konca pri jej realizácii – v smere hodinových ručičiek a v ich protismere. Preto je Möbiov list chirálny (analogicky k pravej a ľavej ruke).

Na vytvorenie Möbiovho listu je potrebný len dlhší úzky pruh papiera, pričom jeden koniec sa priečne pootočí o 180° a spojí sa s druhým koncom. Nevznikne tak bežný prstenec s dvomi stranami, ale objekt, ktorý hoci je trojrozmerný, má len jednu stranu (rubová a lícová strana na seba plynule nadväzujú, jedna strana prechádza do druhej). 

 Geometria a topológia 
Jednou z možností, ako matematicky opísať Möbiov list ako podmnožinu  je použitie parametrizácie:

kde  a . Tento predpis vytvorí pásku šírky 1, ktorej centrálna kružnica má polomer 1 ležiaci v rovine – so stredom v bode (0,0,0).

Vo valcovej sústave súradníc je Möbiov list reprezentovaný nasledujúcim predpisom:


 Ďalšie efekty 
Ak je Möbiov list v strede rozstrihnutý, potom vznikne jeden dlhý, niekoľkokrát pretočený pruh. 

Ak nie je prestrihnutá v strede, ale na okraji, vzniknú tak dva do seba vpletené pruhy, jeden dvakrát dlhší než pôvodný Möbiov list a bez jej vlastností, druhý bude mať opäť jej vlastnosti. Ak sa bude v rozstrihovávaní pokračovať, vzniknuvšie pásky budú prepletené so všetkými predchádzajúcimi.

Ak necháme kráčať mravca po tejto páske, prvý okruh bude kráčať po vrchnej časti pásky a druhý po spodnej – bude sa nachádzať presne pod miestom, kde začal. Hoci pojem spodná strana a vrchná strana je relatívny, pretože vrchná plynulo prechádza do spodnej a opačne. Táto zvláštnosť sa môže využívať pri návrhoch hnacích remeňov. Hnacie remene v tvare Möbiovho listu sa opotrebúvajú na oboch stranách povrchu, čiže vydržia dvakrát tak dlho.

Ďalší problém vzniká, ak by sme chceli namaľovať každý povrch pásky inou farbou.

 Umenie a technológia 
Möbiov list inšpiroval viacerých umelcov. M. C. Escher vytvoril niekoľko obrazov s podobnou tématikou. Najznámejší z nich je Möbius Strip II, na ktorom kráčajú po Möbiovom liste mravce.

Podobne sa Möbiov list objavuje aj vo sci-fi literatúre.
 Arthur C. Clarke: The Wall of Darkness 
 A. J. Deutsch: A Subway Named Möbius 

Trojrozmerný ekvivalent listu – Möbiovu kocku – použil spisovateľ Dan Simmons vo svojom sci-fi románe Kantos Hyperionu ako úložisko schopné uzavrieť predmety alebo bytosti s veľkou energiou. 

V technickej praxi našiel Möbiov list uplatnenie najmä v podobe dopravníkových pásov ako nekonečná prehrávacia slučka s dvojnásobnou dĺžkou záznamu.

 Referencie 

 Pozri aj 
 Penroseov trojuholník
 Kleinova fľaša

 Iné projekty 

 Externé odkazy 
 Escherov obraz Möbius Strip II 

Kategória:Topológia
Kategória:Eponymické termíny v matematike