Geometrická postupnosť

Geometrická postupnosť je postupnosť nenulových čísel (väčšinou reálnych alebo komplexných), pričom hodnota n-tého člena sa rovná q-násobku predchádzajúceho člena. Číslo q, nazývajúce sa kvocient, môžeme určiť pomerom dvoch za sebou idúcich členov postupnosti. Vo všeobecnosti je geometrická postupnosť tvorená q-násobkami nenulového čísla a:

Ľubovoľný n-tý člen tejto postupnosti môžeme určiť nasledovne (ak označíme ):

Nekonečný súčet členov geometrickej postupnosti sa nazýva geometrický rad, ktorý v prípade absolútnej hodnoty kvocientu menšej ako 1 konverguje rovnomerne a absolútne, platí pritom

 Vlastnosti 
Uvažujme geometrickú postupnosť s nenulovým počiatočným členom  a takým kvocientom , ktorý nie je rovný nule ani jednotke. Potom pre ľubovoľný n-tý člen (kde n je prirodzené číslo alebo nula), ktorý vo všeobecnosti môže byť komplexným číslom, platí:

  pre 


  pre 


 Dôkaz 
Prvá vlastnosť je len definícia geometrickej postupnosti. Pri dôkazoch ostatných vlastností budeme využívať dôkaz matematickou indukciou. 

 Dôkaz druhej vlastnosti 
Dokážme druhú vlastnosť pomocou matematickej indukcie. Pre  platí

Vezmime ďalej  a predpokladajme, že tvrdenie pre  platí, potom

čo sme chceli ukázať.

 Dôkaz tretej vlastnosti 
Pri dôkaze tretej vlastnosti postupujeme obdobne. Vezmime  ľubovoľné, ale fixné prirodzené číslo. Potom pre  máme

Pre  za predpokladu pravdivosti pre  máme

 Dôkaz štvrtej vlastnosti 
V súlade s dôkazom matematickou indukciou ukážeme najprv platnosť pre :

Vezmime teraz  a predpokladajme platnosť pre :

 Dôkaz piatej vlastnosti 
Položme , tvrdenie je potom triviálne pravdivé. Nech teraz tvrdenie pre  platí a dokážme pravdivosť pre  :

 Geometrický rad 

 Definícia a konvergencia geometrického radu 
Nech máme postupnosť  čiastkových súčtov geometrickej postupnosti  s kvocientom  takým, že , pričom. Vo všeobecnosti považujme členy postupnosti a kvocient za komplexné čísla. Potom platí, že postupnosť  je konvergentná a navyše

Túto limitu nazývame geometrickým radom. Platí teda

 Dôkaz konvergencie 
Čiastkový súčet  môžeme na základe piatej vlastnosti z predchádzajúcej časti napísať ako

Vypočítajme limitu čiastkových súčtov

nakoľko  platí pre komplexné  s absolútnou hodnotou menšou ako 1.

 Rovnomerná a absolútna konvergencia geometrického radu 
Nech  je geometrický rad s kvocientom , pričom  a nech všetky uvažované čísla sú komplexné. Potom rad  konverguje absolútne na otvorenom kruhu v Gaussovej komplexnej rovine s polomerom 1 a rovnomerne vzhľadom na  na každom uzavretom kruhu s polomerom menším ako .

 Pozri aj 
 aritmetická postupnosť

Kategória:Algebra
Kategória:Postupnosti čísel

 Referencie