Vektorový súčin

Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

 Označenie 
Vektorový súčin vektorov  sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:

  - používaný vo frankofónnych krajinách
  - používaný v Rusku


 Definícia 
Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin , tak zložky vektora c možno určiť ako

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

 Vlastnosti 
 Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže

 Vynásobením vektorového súčinu číslom a dostaneme

 Platí distributívny zákon

 Ak pre dva nenulové vektory  je ich vektorový súčin nulový, čiže , sú vektory  rovnobežné.

 Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak

 V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako

 Výpočet 
Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a1, a2, a3]

a

b = [b1, b2, b3].

Potom
a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].
 Použitie 
Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily , ktorý je definovaný

kde  je polohový vektor pôsobiska sily.

 Externé odkazy  
 http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Vektorový súčin

Kategória:Vektory