Metóda integrovania per partes

Metóda integrovania per partes sa využíva na integrovanie súčinu funkcií. Integrovanie touto metódou sa v preklade nazýva aj integrovanie (integrácia) po častiach.

Základné pravidlo je takéto:

kde u a v sú funkcie derivované na intervale (a; b).

 Odvodenie 
Pravidlo vychádza z derivácie súčinu:



Zintegrovaním oboch strán vznikne výraz:



V tomto výraze možno jednotlivé strany prepísať nasledovne:





Spojením týchto výrazov vznikne nasledovný výraz:



Odčítaním druhého členu pravej strany rovnice vznikne žiadaná rovnosť:



 Príklady 

 Postup 
Riešenie integrálov metódou per partes by sa dalo označiť za proces viac skusmý ako čisto mechanický. Zvyčajne sa na začiatku daná funkcia opatrne rozdelí na súčin dvoch funkcií u(x)v(x). A to tak, aby výsledný integrál, ktorý vznikne postupom per partes, bolo možné vyriešiť jednoduchšie ako pôvodnú funkciu v celku. Nižšie uvedený vzorec popisuje najefektívnejší postup:

Možno si povšimnúť, že na pravej strane je u derivované a v integrované. Je teda výhodné zvoliť za u funkciu, ktorá sa derivovaním zjednoduší alebo za v vybrať funkciu, ktorá sa zase zjednoduší integrovaním. Ako jednoduchý príklad uvažujme:

Pretože derivácia ln(x) je , označíme (ln(x)) ako u. A nakoľko integrál z  je ,  označíme ako dv. Situácia je teraz nasledovná:

Integrál z  možno nájsť pomocou pravidla mocniny, čo sa bude rovnať .

Možnou alternatívou je aj voľba u a v takým spôsobom, že výsledok u (∫v dx) sa zjednoduší vykrátením. Uvažujme napríklad tento integrál:

Ak zvolíme u(x) = ln(|sin(x)|) a v(x) = 1/cos2x, potom derivované u bude 1/tan x použitím reťazového pravidla a v sa integruje na tan x. Výsledok teda bude

Integrand sa vykráti na 1, teda integrál bude rovný x. Hľadanie kombinácií vhodných na zjednodušenie si často vyžaduje istú dávku experimentovania.

V niektorých prípadoch nemusí byť potrebné, aby bol integrál, ktorý vznikol pomocou per partes, v čo najjednoduchšom tvare. Napríklad v numerickej matematike môže postačovať, že má malú veľkosť, a teda k výslednému odhadu prispieva len malou chybou. Niektoré iné špeciálne techniky sú predvedené na nižšie uvedených príkladoch.
 Polynomické a goniometrické funkcie
Pre výpočet

nech:


potom:

kde C je integračná konštanta.

Pre vyššie mocniny x v tvare

možno integrál vyčísliť opakovaným použitím metódy per partes. Každým použitím tejto metódy sa mocnina x zníži o jeden stupeň.
 Exponenciálne a goniometrické funkcie
Často využívaný príklad spôsobu integrovania per partes je

V tomto príklade je integrovanie per partes použité dvakrát. Najprv nech


potom:

Teraz, na vyčíslenie zvyšnej časti integrálu použijeme opäť integrovanie per partes:


Teda:

Čo v celku dáva nasledovné:

Na oboch stranách rovnice si môžeme všimnúť rovnaký integrál, po ktorého pričítaní na obe strany rovnice dostaneme

čo možno upraviť do tvaru

kde C (a C' = C/2) je integračná konštanta.

Podobná metóda sa uplatňuje aj pri hľadaní integrálu tretej mocniny sekansu.
 Funkcie vynásobené jednotkou
Dva ďalšie široko známe príklady možno nájsť pri integrovaní funkcie vyjadrenej ako násobok seba samej a jednotky. Funguje to v prípade, ak je známa derivácia tejto funkcie a integrál tejto derivácie vynásobený x je takisto známy.

Prvým príkladom je ∫ ln(x) dx. Napíšeme ho ako

Nech


potom

kde C je integračná konštanta.

Druhým príkladom je funkcia "inverzná" k tangensu, a to arctan(x):

Integrál upravíme na

Teraz, nech



potom

pričom integrál

bol vyčíslený substitučnou metódou.

 Pravidlo LIATE 
Toto pravidlo, ktoré navrhol Herbert Kasube, vraví, že akákoľvek z funkcií integrálu, ktorá sa v nasledujúcom zozname objaví ako prvá, by mala byť označená ako u:
 L - Logaritmické funkcie:  atď.

 I - Inverzné goniometrické funkcie:  atď.

 A - Algebraické funkcie:  atď.

 T - Goniometrické funkcie:  atď. (T značí Trigonometric functions, je to teda anglický pojem pre goniometrické funkcie)

 E''' - Exponenciálne funkcie:  atď.
Funkcia označená ako dv je teda tá, ktorá sa vo vyššie uvedenom zozname objaví ako druhá v poradí. A to z toho dôvodu, že funkcie umiestnené nižšie v zozname su jednoduchšie integrovateľné, ako funkcie nad nimi. Toto pravidlo je občas označované aj ako „DETAIL“, kde písmeno D znamená dv.

Na ukážku využitia pravidla LIATE uvažujme integrál

Podľa pravidla LIATE, u = x a dv = cos(x)dx, teda du = dx a v = sin(x). Výsledný integrál bude teda nasledovný:

čo vo výsledku dáva

Vo všeobecnosti sa teda usilujeme zvoliť u a dv takým spôsobom, aby výraz du bol jednoduchší ako u a výraz dv jednoducho integrovateľný. Ak by namiesto toho bola za u zvolená funkcia cos(x) a x.dx ako dv'', dostali by sme integrál

ktorý by po opakovanej aplikácii metódy per partes jednoznačne vyúsťoval do nekonečného počtu ďalších integrálov.

Napriek svojim výhodám má pravidlo LIATE aj isté obmedzenia. Častou alternatívou je zoradenie pravidiel do postupnosti „ILATE“. A taktiež, v niektorých prípadoch, mnohočleny je potrebné rozdeliť netradičnými spôsobmi. Napríklad, aby sme integrovali

zvolíme

teda

Potom

Napokon, výsledok bude


 Referencie 

Kategória:Integrálny počet