Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina (pomenovaná po matematikovi Benoîtovi Mandelbrotovi) je jeden z najznámejších fraktálov. Je definovaná ako množina komplexných čísel c, pre ktoré platí 
, 
kde postupnosť  je definovaná rekurzívnym predpisom

Bod c teda patrí do Mandelbrotovej množiny práve vtedy, ak uvedená limita neexistuje, alebo je konečná (napr. c = 0).

Je možné jednoducho dokázať, že postupnosť ide do komplexného nekonečna pre všetky , takže ak ktorýkoľvek člen postupnosti prekročí túto absolútnu hodnotu, potom  nie je prvkom Mandelbrotovej množiny.

 Vlastnosti 
250px|thumb|right|Časť mandelbrotovej množiny

 Celá množina leží vnútri kruhu so stredom v počiatku sústavy súradníc a polomerom 2.
 Množina je súvislá (ako dokázali roku 1982 Adrien Douady a John H. Hubbard), je dokonca jednoducho súvislá. Predpokladá sa, že je tiež oblúkovo súvislá, ale nie je to dokázané.
 Hausdorffova dimenzia hranice množiny je 2, ide teda o fraktál.
 Množina je kompaktná, teda uzavretá, tým skôr borelovská a je možné jej teda priradiť Lebesgueovu mieru, jej plocha je približne 1,5065918 .
 Množina pozostáva zo spočítateľne nekonečného množstva podobjektov, podobných kardioidám a kruhom, ktoré sa vzájomne dotýkajú.

 Súvislosť s Juliovou množinou 
Mandelbrotova množina tvorí akúsi mapu Juliových množín. Každému bodu odpovedá Juliova množina. Pre body vnútri Mandelbrotovej množiny odpovedajú súvislé Juliove množiny, bodom mimo zas nesúvislé a pre hraničné body sú na hranici spojitosti. Vizuálne najzaujímavejšie sú body v okolí hranice Mandelbrotovej množiny.
Tvar Juliovej množiny pripomína okolie korešpondujúceho bodu v Mandelbrotovej množine.

 Praktická implementácia 
Pri praktickej implementácii sa pre každý bod rovnica opakovane vyčísľuje a vo chvíli, keď |zn| > 2, je zrejmé, že pre daný bod bude rovnica divergovať (a pri grafickom zobrazovaní sa táto hodnota n, pre ktorú bod túto hranicu prekročil, spravidla prevádza na farbu). Ak ani po dopredu zvolenom počte iterácii k prekročeniu tejto hranice nedôjde, je bod považovaný za súčasť Mandelbrotovej množiny. Nastavenie tejto hranice ovplyvňuje výsledný obrázok: pre príliš malú hodnotu budú niektoré body nesprávne označené ako patriace do množiny, ale veľký počet iterácii vyžaduje dlhší čas výpočtu.

Výpočet je možné urýchliť tiež tým, že sa rýchlo detegujú body, ktoré do množiny evidentne patria, pretože sa nachádzajú vnútri hlavných častí množiny – kružnice a kardioidy.

140pxStart140pxkrok 1140pxkrok 2140pxkrok 3140pxkrok 4140pxkrok 5140pxkrok 6140pxkrok 7140pxkrok 8140pxkrok 9140pxkrok 10140pxkrok 11140pxkrok 12140pxkrok 13140pxkrok14

 Umenie a Mandelbrotova súprava 
Niektorí ľudia radi nachádzajú zaujímavé geometrické tvary v súprave Mandelbrot. Tu je niekoľko príkladov krásnych oblastí v tejto odrode:

170px
170px
170px
170px
170px

 Iné projekty 

 Externé odkazy 
 Tutoriál ku komplexným číslam a Mandelbrotovej množine - Virtuálne laboratórium fyziky a matematiky 
 Prieskumník Mandelbrotovej množiny, založený na mapovom rozhraní Google Maps (anglicky)

Kategória:Fraktály