Prosté zobrazenie

Prosté zobrazenie alebo injektívne zobrazenie alebo injekcia je také zobrazenie množiny X do množiny Y, že každý prvok množiny Y je obrazom najviac jedného prvku z množiny X. Pojem injektívneho zobrazenia si nemožno pomýliť s bijektívnym zobrazením, ktoré je zároveň injekciou a surjekciou. K bijekcii, teda prostému zobrazeniu množiny X na Y (injekcia a surjekcia) existuje inverzné zobrazenie.

 Na rozdiel od zobrazenia na (surjekcia), prosté zobrazenie nemusí byť definované pre všetky obrazy a vzory, teda môžu existovať prvky cieľovej množiny, ktoré nemajú svoj vzor.

 Definícia 
Nech  a  sú množiny. Zobrazenie  nazývamé prostým zobrazením, či injektívným zobrazením alebo injekciou, ak navzájom rôznym prvkom  množiny  sú priradené rôzne prvky  množiny . 

Symbolicky píšeme:

.

Dané tvrdenie je logicky ekvivalentné s transponovanou implikáciou:

.

 Príklady 

 Identické zobrazenie  také, že pre každé  platí  je injektívne (dokonca aj bijektívne, inverz je opäť identickým zobrazením).

 Lineárna funkcia , kde , pričom konštanty  sú reálne,  je prostá, pretože ak platí , platí i , teda  pre ľubovoľné reálne .
 Kvadratická funkcia , kde , pričom konštanty  sú reálne, prostá nie je, pretože .
 Mocninová funkcia  taká, že , kde  je prostá len pre nepárne hodnoty exponentu , pretože ak by , tak .
 Exponenciálna funkcia  definovaná ako  je prostá. Obrazom zobrazenia  je interval , teda dané zobrazenie nie je surjektivne.
 Prirodzený logaritmus  definovaný priradením  je prostou funkciou.
 Spojité reálne funkcie  sú prosté práve vtedy, keď každá horizontálna priamka (rovnobežná s osou ) pretína graf funkcie  v nanajvýš jednom bode. Dané tvrdenie nám umožňuje určiť to, či je funkcia prostá, len z jej grafu.
 Ak je spojitá reálna funkcia  rýdzo monotónna, tak je prostá.
 Vlastnosti 
náhľad|Kompozícia injektívnych zobrazení je tiež injektívnym zobrazením.
Nech  sú množiny a nech  a  sú ľubovoľné zobrazenia, potom platia nasledujúce výroky:

 Ak  a  sú injekciou, potom aj  je injekciou.
 Ak  je injekciou, potom aj  je injekciou.
 Ak sú množiny  konečné, potom zobrazenie  je injekciou vtedy a len vtedy, keď je aj surjekciou (teda  je bijekciou).
 Ak sú množiny  konečné a zároveň , potom každé injektívne zobrazenie  je permutáciou množiny .

 Referencie 

 Pozri aj 
 Zobrazenie na
 Bijekcia
 Prostá funkcia

Kategória:Teória množín
Kategória:Vlastnosti matematických funkcií