Zhodné zobrazenie

Zhodné zobrazenie alebo izometria je izomorfizmus metrických priestorov, ktoré zachováva vzdialenosti. V prípade transformácie nejakého metrického priestoru sa často používa aj termín zhodnosť.

Zhodné zobrazenia sú špeciálnym prípadom podobných zobrazení s koeficientom 1.

 Školská definícia 
Zobrazenie euklidovského priestoru na seba sa nazýva zhodnosť (pojem zhodné zobrazenie je všeobecnejší pojem ako zhodnosť), ak pre každé dva body (vzory) X,Y a ich obrazy X',Y’ platí:
|X,Y| = |X’,Y'|. (Vzdialenosť každých dvoch bodov sa rovná vzdialenosti ich obrazov).

Z definície zhodnosti vyplýva:
Zhodnosť zachováva veľkosti uhlov.
Zhodnosť zachováva veľkosti obsahov útvarov. 
Všetky zhodnosti s operáciou skladanie zhodností vytvárajú grupu.

Platí: Každá zhodnosť v euklidovskej rovine (E2) sa dá zložiť z najviac troch osových súmerností.

Posúvanie (špeciálne - identita) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rovnobežné. 
Otáčanie (špeciálne - stredová súmernosť) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rôznobežné.  
Posunuté zrkadlenie sa dá zložiť z troch osových súmerností.

Platí: Každá zhodnosť v euklidovskom priestore (E3) sa dá zložiť z najviac štyroch  rovinových súmerností.

Platí (zovšeobecnenie predchádzajúcich tvrdení): Každá zhodnosť v euklidovskom n-rozmernom priestore (En) sa dá zložiť z najviac (n+1)   súmerností podľa (n-1)-rozmerných podpriestorov (nadrovín).

 Prehľad zhodností euklidovského priestoru (až po E3) 
 E1
 súhlasné zhodnosti (→ súhlasná (nesprávne - priama) zhodnosť):
 Identita
 Posúvanie (translácia)
 nesúhlasná zhodnosť:
 Stredová súmernosť
 E2
 súhlasné zhodnosti:
 Identita
 Posúvanie (translácia)
 Otáčanie (rotácia)
 nesúhlasné zhodnosti:
 Osová súmernosť
 Posunuté zrkadlenie

 E3
 Identita
 Posunutie (translácia)
 Otáčanie okolo osi (rotácia)
 Otáčanie okolo osi a posunutie v smere osi
 Rovinová súmernosť
 Posunuté rovinové zrkadlenie (rovinová súmernosť a posunutie v niektorom smere roviny)
 Rotácia okolo osi o uhol iný ako priamy a rovinová súmernosť s rovinou kolmou na os rotácie 
 Stredová súmernosť

Poznámka: 
Podľa matematického slovníka sa zobrazenia nazývajú otáčanie, posúvanie a nie otočenie, posunutie.

 Referencie 

 Externé odkazy 
 Duplak, J.: Zobrazenia a Kužeľosečky - Online text zaraďujúci zhodné zobrazenia do širšieho kontextu teórie afinných zobrazení.

Kategória:Geometria