Dvojčlen

Dvojčlen alebo binóm alebo mnohočlen s dvoma členmi je mnohočlen, ktorý má dva členy; súčet dvoch jednočlenov (monómov). Napr. .
Dvojčleny a vzorce s nimi spojené patria k základným matematickým nástrojom. Dvojčleny nachádzajú uplatnenie v rôznych výpočtoch počnúc kvadratickými rovnicami až po výpočet pravdepodobnosti. S dvojčlenmi súvisia vzorce pre skrátené násobenie, ktoré sa často používajú pri úpravách rôznych algebraických výrazov. V zhode s vyššie uvedenou definíciou sú dvojčleny výrazy  a , pričom  a  môžu byť čísla, parametre alebo algebraické výrazy.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako rozdielne môžu byť dvojčleny.
, , ,

V príklade  sú oba členy dvojčlenu súčiny, a to  (prvý člen dvojčlenu) a  (druhý člen dvojčlenu).
V poslednom príklade  je prvým členom výraz  a druhým členom je výraz .

 Stupeň dvojčlenu 

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek.
 ,  ,  sú dvojčleny stupňa 2.

 je dvojčlenom stupňa 3.
 je dvojčlenom stupňa 4.

 Dvojčleny druhého stupňa 

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. 
Tri zmienené vzorce:
 prvý vzorec
 druhý vzorec
 tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz  v tvare  a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:

Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

       zápis druhej mocniny ako súčinu
       vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek)
        sčítanie odpovedajúcich členov
        prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

       zápis druhej mocniny ako súčinu
       vynásobenie hodnôt v zátvorkách
        sčítanie odpovedajúcich členov
        druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne:
 vynásobenie hodnôt v zátvorkách
 sčítanie odpovedajúcich členov
        tretí vzorec

Porovnanie prvého riadku výpočtu tretieho vzorca s druhými riadkami výpočtu prvého a druhého vzorca ukazuje všetky možné kombinácie znamienok v zátvorkách, ktoré sa môžu vyskytnúť.

 Dvojčleny vyšších stupňov 

Vyššie uvedené vzorce odvodíme podobne ako prví až tretí vzorec. O výraze na pravej strane uvedených rovností hovoríme ako o rozvoji dvojčlenu.

Činitele pred jednotlivými výrazmi ,,, ,  (jednočleny) nazývame binomické koeficienty (koeficienty dvojčlenu, napr. koeficient  pred , koeficient  pred  a pod.

Ak zapíšeme rozvoj dvojčlena  so všetkými exponentami členov  a , dostávame 

Všimnite si:
1. Najvyšší exponent základu  i  je rovný stupni dvojčlenu, v tomto prípade .
2. Exponent základu  sa v každom nasledujúcom sčítanci znižuje o , od  v prvom sčítanci až na  v poslednom sčítanci.
3. Exponent základu  sa v každom nasledujúcom sčítanci zvyšuje o , od  v prvom sčítanci až na  v sčítanci poslednom.

Vzorce pre dvojčleny  dostaneme tak, že člen b nahradíme výrazom . Pre dvojčlen tretieho stupňa dostávame 

Podobne v prípade dvojčlena štvrtého stupňa

Všimnime si, že členy obsahujúce nepárne mocniny základu (-b) majú záporné koeficienty, takže sa odčítajú.

 Referencie 

 Pozri aj 
 Binomická veta
 Jednočlen

Kategória:Algebra