Deliteľnosť

Deliteľnosť je možnosť rozkladať celok na časti.

V matematike je deliteľnosť vlastnosť celých čísel. Celé číslo p je deliteľné nenulovým celým číslom q (číslo q delí p), ak existuje také celé číslo k, pre ktoré platí, že: p = kq.

Napr. číslo 27 je deliteľné tromi, lebo 27 = 9 · 3. Alternatívne je p deliteľné q, ak zvyšok po delení  je nula.

 Všeobecne 
 číslo p sa nazýva delenec,
 číslo q sa nazýva deliteľ,
 číslo k sa nazýva podiel čísla p pri delení číslom q, 
 v obore celých čísel majú čísla p a −p tie isté delitele,
 čísla 1, −1, p a −p sa nazývajú triviálne delitele čísel p a −p,
 ak existujú ešte ďalšie delitele, nazývajú sa netriviálne,
 delitele čísla p menšie ako p sa nazývajú vlastné delitele čísla p
 každé celé číslo je deliteľom nuly, nula ale nie je deliteľom žiadneho celého čísla rôzneho od nuly.

 Párne a nepárne čísla 
Celé číslo deliteľné dvomi sa nazýva párne. Ak číslo nie je párne, nazýva sa nepárne.

 Prvočísla 
Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré má iba triviálne delitele (je deliteľné iba jednotkou a samo sebou), sa nazýva prvočíslo. Prirodzené číslo väčšie než 1, ktoré nie je prvočíslom, sa nazýva zložené číslo.

 Prvočiniteľ 
Prvočíslo, ktoré delí číslo p, sa nazýva prvočiniteľ. Každé zložené číslo možno napísať ako súčin prvočiniteľov. Tento zápis (pokiaľ neberieme do úvahy poradie prvočiniteľov) je pre každé číslo jedinečný (pozri faktorizácia).

Dve čísla sa nazývajú súdeliteľné, keď majú spoločného deliteľa väčšieho než 1. 
Pokiaľ takého deliteľa nemajú, nazývajú sa nesúdeliteľné.

 Vlastnosti deliteľnosti 
  - Ak a delí b, potom a delí akýkoľvek násobok b

  - Ak a delí b a b delí c, potom a delí c, , deliteľnosť je tranzitívna relácia. 

  - Ak a delí dve čísla, potom a delí aj ich súčet a rozdiel.
Ak  a , potom  alebo .
Ak  je prvočíslo a  potom  alebo .

 Kritéria deliteľnosti 
Nasledujúca tabuľka obsahuje kritéria deliteľnosti v desiatkovej číselnej sústave.

 q  kritérium  príklad2ak je posledná číslica párna, alebo je na poslednom mieste číslica 0128, 1002, 10 3ak je ciferný súčet deliteľný 3228 (2+2+8=12)4ak je posledné dvojčíslie deliteľné 4612,1008, 2116 5ak je na poslednom mieste 5 alebo 035, 105406ak je číslo deliteľné 2 a súčasne aj 3924, 292507ak je siedmimi deliteľný súčet vypočítaný tak, že sa prvá až n-tá číslica odzadu vynásobí postupne číslami (periodicky sa opakujúcimi): 1, 3, 2, 6, 4, 5Je 138309241 deliteľné 7? 1*1+4*3+2*2+9*6+0*4+3*5+8*1+3*3+1*2=105 (číslo deliteľné 7), 138309241 je teda deliteľné 78ak je posledné trojčíslie deliteľné 8125049ak je ciferný súčet deliteľný 91683 (1+6+8+3=18)10ak je na poslednom mieste 01220, 218011ak je rozdiel súčtu číslic na párnom a nepárnom mieste deliteľný 115357 ((5+5)-(3+7)=0)12ak je číslo deliteľné 3 a súčasne aj 4 65 412 (6+5+4+1+2=18 → deliteľné tromi); 65 412 (12/4=3 → OK)13ak je rozdiel súčtu nepárnych a párnych trojíc cifier deliteľný trinástimi2022046 (002-022+046 = 26)17ak je výsledok nasledujúceho postupu deliteľný sedemnástimi: striedavo sa odčítajú a pripočítajú dvojice cifier vynásobené 2 a medzivýsledky sa vždy delia dvomi. Konečný výsledok sa potom vynásobí násobkom desať tak, aby vyšlo celé číslo.51153 ((53-(2*11))/2 + 2*5 = 25.5 a 255 je deliteľné 17)25ak je posledné dvojčíslie deliteľné 25125, 15475100ak sú posledné dve číslice 0 (00)15400, 700

 Všeobecné kritérium deliteľnosti 
Ľubovoľné kritérium deliteľnosti možno zapísať ako ciferný súčet s váhami — číslo x je deliteľné prvočíslom n práve keď Σk αkak je deliteľné n, kde x   =   a0 + 10a1 + 100a2 + 1000a3 + …+10nan, alebo je zapísané v pozičnej sústave so základom 10.

Jednotlivé váhy v cifernom súčte sú riešenia jednoduchých kongruencií . Riešením sú teda zvyšky po delení 10k/n.

Napríklad číslo x je deliteľné 17 práve keď a0 − 7a1 − 2a2 − 3a3 + 4a4 + 6a5 − 8a6 + 5a7 − a8 + 7a9 + 2a10 + 3a11 − 4a12 − 6a13
+ 8a14 − 5a15 + a16 … je deliteľné 17.

 Deliteľnosť v minulosti 
Podľa Anaxagora neexistuje nijaké nedeliteľné (ani odlišné od nuly, ani nulové veličiny); medzi malými vecami vždy je ešte niečo menšie a medzi veľkými vecami je vždy ešte niečo väčšie, takže je nemožné, aby súcno delením do nekonečna prestalo byť.LÁSKA, V.: Základy aritmetiky. In: Rozhledy matematicko-přirodovědecké, roč. 11, č. 3, 1931/32, s. R89 

 Referencie 

 Externé odkazy 

 Znaky deliteľnosti

Kategória:Teória čísel
Kategória:Aritmetika