Guľa (matematika)

Guľa alebo presnejšie uzavretá guľa je množina všetkých bodov euklidovského priestoru, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (t.j. od tzv. stredu gule) nie je väčšia ako pevné reálne kladné číslo (t.j. ako tzv. polomer gule). Množina spomínaných bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu je práve rovná spomínanému pevnému reálnemu kladnému číslu, sa volá guľová plocha (iné názvy: hranica gule, sféra, sférická plocha).; Uzavretá guľa je teda inými slovami priestorové teleso "ukončené" guľovou plochou. Otvorená guľa alebo vnútro gule je uzavretá guľa bez guľovej plochy. 

V topológii znamená n-rozmerná guľa (obvykle sa značí ) topologický priestor, ktorý je homeomorfný s n-rozmernou guľou v euklidovskom priestore . 

 Objem a povrch všeobecnej gule v euklidovskom priestore 
N-rozmerná guľa s polomerom r v euklidovskom priestore  má objem (presnejšie, n-rozmernú Lebesguovu mieru) určený vzorcom

alebo tiež:

kde  je prirodzené zobecnenie výrazu  pre nepárne n (pozri Gama funkcia) a n!! je dvojitý faktoriál. Je zaujímavé, že jednotková guľa (t. j. guľa s polomerom jedna) má najväčší objem v dimenzii n=5 a vo vyšších dimenziach sa jej objem limitne blíži k nule.

Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru (pozri sféra). Veľkosť jej povrchu (t. j. jej (n-1)-rozmerný objem, presnejšie, (n-1)-rozmerná Hausdorfova miera) je

alebo

Všeobecne pre n-rozmernú guľu platí:

 Vzorce pre 3-rozmernú guľu 

Nasledujúce vzorce popisujú trojrozmernú guľu v 

 Vzorce pre guľu Obvod (najväčší)  Povrch   Objem  Projekčná plocha (plocha tieňa)  Objem guľového výseku  Povrch guľového segmentu  Polomer gule   Výška guľového segmentu   Moment zotrvačnosti (os prechádza cez stred gule)   Steradián 

 Pôvod vzorca pre výpočet objemu 
Každodenný vzorec pre výpočet objemu gule, teda pramení z integrálu 3D priestoru, zahrnujúc priestorové uhly:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

 Referencie 

 Pozri aj 
 kruh
 elipsoid
 teleso

 Iné projekty 

 Externé odkazy 
 Objem a povrch gule

Kategória:Matematika
Kategória:Priestorové útvary