Zlomok (matematika)

náhľad|Grafické znázornenie výpočtu 

Zlomok označuje v matematike spôsob zápisu racionálneho čísla. 

Zlomok sa zapisuje v tvare  alebo , kde  a  sú celé čísla, pričom , pretože nulou sa deliť nesmie. Číslo  sa nazýva čitateľ, číslo  sa nazýva menovateľ a čiara medzi nimi sa nazýva zlomková čiara.

Zápis pomocou zlomkov je vhodný na prevádzanie elementárnych úprav zložitejších výrazov.

 Vlastnosti 
Zlomok, ktorý má v menovateli nulu nie je v matematike definovaný.

Hodnota zlomku, ktorý má v čitateli nulu je vždy nulová, napr. .

Zlomok, ktorý má v menovateli jednotu sa rovná výrazu v čitateľovi. Napríklad

 a pod.

Zlomok, ktorý má v čitateli jednotu je prevrátená hodnota výrazu v menovateli. Napríklad

 a pod.

Pokiaľ je v zlomku  čitateľ menší ako menovateľ  hovoríme o tzv. pravom zlomku, pre ktorý platí .

Pokiaľ je v zlomku  čitateľ väčší ako menovateľ  hovoríme o tzv. nepravom zlomku, pre ktorý platí .

Pokiaľ sú v zlomku  hodnoty čitateľa a menovateľa rovnaké  hovoríme o tzv. jednotkovom zlomku, pre ktorý platí . Napríklad

.

Dva zlomky  a  majú rovnakú hodnotu vtedy a len vtedy, keď  (tzn. ich podiel je 1).

Hodnota zlomku so záporným čitateľom aj záporným menovateľom je vždy kladná, napr. .

Hodnota zlomku so záporným čitateľom a kladným menovateľom (alebo kladným čitateľom a záporným menovateľom) je vždy záporná, napr. .

Ako základný tvar zlomku sa označuje zlomok, ktorý sa nedá viac krátiť bez toho, aby v menovateli alebo v čitateli nevznikli čísla s desatinným rozvojom respektíve základný tvar zlomku je taký zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ nemajú spoločného celočíselného deliteľa. Napríklad  alebo .

Ako dyadické zlomky sa označujú zlomky v tvare  kde , čiže v menovateli sa nachádza mocnina čísla dva.

 Počítanie so zlomkami 
So zlomkami sa dá pracovať ako s inými racionálnymi číslami, dajú sa teda sčítať, odčítať, násobiť a deliť, odmocňovať a umocňovať atď.

Sčítanie a odčítanie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

, ,

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

, .

Násobenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké, sa vykonáva podľa vzorca

, 

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

, .

Delenie zlomkov, ak sú menovatele oboch zlomkov rovnaké podľa vzorca

, .

ak sú menovatele rozdielne tak podľa vzorca

, .

Odmocňovanie celého zlomku je možné rozpísať ako samostatné odmocniny čitateľa a menovateľa

, .

Umocňovanie celého zlomku je opäť možné rozpísať ako samostatné mocniny čitateľa a menovateľa

, .

Ak sa exponent  potom platí .

 Krátenie a rozširovanie zlomkov 
Každý zlomok je možné krátiť alebo rozširovať konštantou  pričom sa nemení hodnota zlomku. Teda pre krátenie platí

a analogicky pre rozširovanie platí

 .

Krátenie alebo rozširovanie zlomkov sa dá využiť na odstránenie čísel s desatinným rozvojom nachádzajúcich sa v zlomku a jeho prevedenie do základného tvaru. Napríklad

.

 Porovnávanie zlomkov 
Porovnať dva zlomky a určiť, ktorý z nich je menší resp. väčší resp. či sú rovnaké je  možné porovnaním ich čitateľov za predpokladu, že ich menovatele sú rovnaké. V prípade, že menovatele nie sú rovnaké je nutné jeden zo zlomkov upraviť tak, aby mal v menovateli rovnakú hodnotu ako druhý. Samotná zmena menovateľa sa robí podľa vzorca

kde  je hodnota nového menovateľa. Napríklad

.

Z vyššie uvedeného teda vyplýva, že  platí len a iba vtedy ak platí aj , vice versa.

Pri prevádzaní zložitejších operácií na zlomky sa zlomok  správa ako , takže napríklad



 Referencie 

Kategória:Aritmetika