Množina

Množina je súhrn dobre rozlíšiteľných entít, ktorý chápeme ako celok. Presnejšie definície sa rôznia. Množinami sa zaoberá teória množín.

Algebrické množiny označujeme veľkými písmenami latinskej abecedy. Entity, ktoré množina obsahuje sa nazývajú prvky množiny. Označujeme ich malými písmenami latinskej abecedy.

Každá množina má svoju mohutnosť (kardinalitu), čo je  zovšeobecnenie pojmu počet prvkov množiny. Napríklad mohutnosť množiny  je . Mohutnosť množiny sa zvyčajne označuje . Mohutnosť prázdnej množiny je 0.

 Triedenie množín 
Podľa vlastností, ktorými disponuje konkrétna množina poznáme:

 prázdna množina, ktorá neobsahuje žiaden prvok a označuje sa  alebo , ale nikdy nie  pretože takýto zápis naznačuje, že množina  obsahuje jednu prázdnu množinu  a teda  už nemôže byť prázdna množina,
 neprázdna množina, ktorá obsahuje aspoň jeden prvok, napríklad , platí ,
 jednoprvková množina, zriedkavejšie označovaná aj ako singleton, obsahuje len jeden prvok, pri určovaní takejto množiny sa niekedy neuvádzajú zložené zátvorky, takéto značenie sa však nedoporučuje, napr. ,
 neusporiadaná množina, v ktorej na poradí jednotlivých prvkov množiny nezáleží,
 usporiadaná množina, v ktorej záleží na poradí prvkov, takéto množiny sa používajú hlavne v štatistike, geodézii, ekonómii a pod., 
 konečná množina, pri ktorých sa dá vyjadriť počet ich prvkov, napríklad počet obyvateľov vo všetkých okresných SR, medzi konečné množiny patrí aj prázdna množina pretože počet jej prvkov je rovný nule takže sa dá vyjadriť,
 nekonečná množina, ktorá obsahuje nekonečný počet prvkov, napr. ,  alebo ,
 spočítateľná (nekonečná) množina, ktorá obsahuje prvky, ktoré sa dajú spočítať, napr.  alebo ,
 nespočítateľná (nekonečná) množina, ktorej prvky sa nedajú spočítať, napr. .
 potenčná množina  alebo potenčný systém množiny je v matematike množina všetkých podmnožín množiny M a označuje sa  alebo . Napríklad všetky podmnožiny množiny  sú  (prázdna množina je vždy podmnožinou každej množiny), ,  a . Počet všetkých podmnožín každej množiny  je  kde  je počet prvkov v množine.

 Určenie množín 
Prvky množiny sa určujú nasledovnými spôsobmi:

Vymenovaním všetkých prvkov, napríklad  (všetky cifry používané v zápise šestnástkovej číselnej sústavy). Pri takomto určovaní, ak sú z kontextu jednoznačne známe všetky prvky množiny, je možné použiť aj skrátený spôsob . 

Určením vlastností, ktorými bez výnimky disponujú všetky prvky množiny. Napríklad  pre všetky prirodzené čísla väčšie alebo rovné 5 a zároveň menšie alebo rovné 26.  

Kombináciou vymenovania a určenia vlastností. Napr.  je množina všetkých prirodzených čísel a štyroch matematických konštánt.

Dedičnosťou respektíve kombináciou určení, ktorá vzniká pri množinových operáciách. Napríklad

.

Niektoré množiny čísel majú v matematike svoje ustálené značenia:
  je množina prirodzených čísel.
 Pre množinu čísel  sa niekedy používa označenie ,  alebo , v tomto značení exponent neznamená mocninu. Tiež je možné sa stretnúť s označením  (z anglického whole).
  je množina celých čísel.
 Pre množinu čísel  sa niekedy používa označenie , v tomto značení exponent neznamená mocninu.
  je množina racionálnych čísel (patria sem zlomky).
  alebo  je množina  iracionálnych čísel (napr. niektoré odmocniny, π).
  je množina všetkých algebraických čísel.
  je množina reálnych algebraických čísel.
  je množina reálnych čísel.
  je množina komplexných čísel (napr. odmocniny záporných čísel).
  sú kvaterniony (hyperkomplexné čísla).
  sú oktoniany (hyperkomplexné čísla).
  sú sedeniony (hyperkomplexné čísla).
  sú trigintaduoniny (hyperkomplexné čísla).
  je množina všetkých prvočísel.
Množinové vzťahu uvedených množín čísel je možné vyjadriť napríklad zápisom:

. 

 Vzťahy medzi množinami 
Základné vzťahy medzi dvoma (alebo viacerými) množinami sú
+značenie(definícia a) popispríkladRovnosť množín  a .Nerovnosť množín  a .Množina  je vlastná podmnožina množiny .Množina  je podmnožina množiny .Množina  nie je vlastná podmnožina množiny .Množina  nie je podmnožina množiny .
UPOZORNENIE. Pri učovaní vzťahov medzi dvoma množinami panuje nekonzistentnosť prameniaca z historického vývoja. V minulosti (v staršom systéme) sa symboly  a  používali pre vzťah s akoukoľvek podmnožinu/nadmnožinu množiny a symboly  a  sa používali pre vzťah s vlastnou podmnožinou/nadmnožinou množiny. V novšom systéme sa symboly  a  používajú pre vyjadrenie vzťahu s vlastnou podmnožinou (tzv. ostrá inklúzia) a pre obecné podmnožiny sa používajú znaky  a  (istá analógia so symbolmi  a ). Vo vyššie uvedenej tabuľke je použitá novší systém značenia.

 Grafické znázornenie množín 
 Oválový diagram – znázornenie množiny pomocou uzavretej čiary, pričom prvky patriace množine znázorníme bodmi vnútri oválu a prvky nepatriace množine bodmi mimo oválu
 Vennov diagram – U je množina obsahujúca všetky prvky, ktoré uvažujeme

 Množinové operácie 

 Karteziánsky súčin 
Karteziánsky súčin množiny  a množiny  je množina všetkých usporiadaných dvojíc , kde prvky  sú prvky z množiny  a prvky  sú prvky z množiny . Karteziánsky súčin množín  a  sa bežne označuje znakom . Formálne sa Karteziánsky súčin definuje vzťahom

.

Napríklad

,

ale

..

Karteziánsky súčin teda nie je komutatívna  a nie je ani asociatívna množinová operácia.

 Zjednotenie 
Zjednotenie množín A a B je množina všetkých prvkov z množiny U, ktoré patria aspoň do jednej z množín A a B (A U B) 

150px

Pre viac informácií o zjednotení množín, pozrite článok Zjednotenie.

 Prienik 
Prienik množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A a zároveň do množiny B (A ∩ B)

150px

Pre viac informácií o prieniku množín, pozrite článok Prienik.

 Rozdiel 
Rozdiel množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria množine A, ale nepatria množine B (A – B)

150px

Pre viac informácií o rozdiele množín, pozrite článok Rozdiel množín.

 Doplnok (komplement) 
Doplnok (komplement) množiny  je množina všetkých prvkov 
patriacich množine , ktoré nepatria množine ,
označuje sa 

Pre viac informácií o doplnku množiny, pozrite článok Doplnok.

 Referencie 

 Externé odkazy 
 Množina na  pohodovamatematika.sk 

Kategória:Teória množín
Kategória:Logika