Rovnica (matematika)

Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.

Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".

Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.

 Znak rovná sa 
Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je: 

Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.

 Základné definície 
 Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x1, x2…xn (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
 Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a0, a1…an (často označované ako a, b, c…)
 Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
 Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
 Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.

 Premenná, neznáma, parameter 
Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:
 neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
 parametre = ostatné premenné
Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.

 Delenie podľa počtu neznámych 
 rovnica s jednou neznámou
 rovnica s viacerými neznámymi

 Delenie podľa riešiteľnosti 
 všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
 riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
 neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)

Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x2 = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.

 Delenie podľa typu zobrazení F a f 
 algebrická rovnica
 nealgebrická rovnica (transcendentná rovnica)

 Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice 
Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych xT = (x1, x2…xn) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor aT = (a0, a1…an), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a0x0 + a1x1 +…+ anxn = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako 
aTx = b.

Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
A = 

a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto:
Ax =b

Vysvetlivky
 tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
 T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)

 Riešenie rovnice 
Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:
 Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
 Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.

Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.

 Príklady počítania rovníc 
Príklad č.1:

Postup:

 Prenesieme konštantu na pravú stranu a zmeníme jej znak: 
 Vydelíme obidve strany rovnice číslom -7: 
 Konečné riešenie a výsledok rovnice je: 

Príklad č.2:

Postup:

 Prenesieme premennú na ľavú stranu a zmeníme jej znak: 
 Vydelíme obe strany rovnice číslom -3: 
 Riešenie  zapíšeme v parametrickej forme: 
 Konečné riešenie a výsledok rovnice je: 

Príklad č.3:

Postup:

 Do premenných  a  dosadíme ľubovoľné kladné čísla, v tomto prípade použijeme  a .
 Čísla si dosadíme do vzorca:  Ďalej: 
 Ďalej:  a . 
 Číslo 25 zložíme následujcou rovnicou: 
 Konečné riešenie a výsledok rovnice je: 

Príklad č.4:

Postup:

 Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: 
 Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak:  
 Obe strany rovnice vydelíme číslom -94: 
 Riešenie  zapíšeme v parametrickej forme: 
 Konečné riešenie a výsledok rovnice je: 

Príklad č.6:

Postup:

 Rovnicu zjednodušíme násobením do kríža: 
 Prvú zátvorku vynásobime číslom 3: 
 Druhú zátvorku vynásobime číslom 4: 
 Premennnú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: 
 Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak: 
 Časť  zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: 
 Vypočítame súčet: . Ďalej vynásobime obe strany rovnice číslom -1: 
 Konečné riešenie a výsledok rovnice je: 

Príklad č.7:

Postup:

 Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: 
 Premenné  a  prenesieme na pravú stranu a zmeníme ich znaky: 
 Časť  zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: 
 Obe strany rovnice vydelíme číslom -2: 
 Riešenie  zapíšeme v parametrickej forme: 
 Konečné riešenie a výsledok rovnice je: 

Kategória:Algebra