Zobrazenie (matematika)

Zobrazenie (iné názvy: jednoznačné zobrazenie, funkcia (v širšom zmysle), totálna funkcia (v širšom zmysle), priradenie) je predpis (presnejšie binárna relácia), ktorý priraďuje každému prvku jednej množiny (A) práve jeden prvok druhej množiny (B). 

 Terminológia 
Pojem viacznačné zobrazenie/viacznačná funkcia nie je (napriek svojmu názvu) nikdy zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem parciálna funkcia takisto (napriek svojmu názvu) nie je nevyhnutne zobrazenie/funkcia podľa vyššie uvedenej definície. Pojem (len) "zobrazenie" sa však ojedinele definuje tak, že zahŕňa aj parciálne funkcie.

Pojem jednoznačné zobrazenie je "opačný" pojem k pojmu viacznačné zobrazenie. Pojem totálna funkcia je "opačný" pojem k pojmu parciálna funkcia.

Z historických dôvodov sa hovorí v niektorých prípadoch zobrazeniam (hlavne, ak je definičný obor karteziánska mocina) operácie (napr. hovoríme o operácii sčítania či násobenia).

V minulosti mali viacerí známi matematici svoju vlastnú definíciu funkcie (vždy síce podobnú vyššie uvedenej ale odlišnú).

Výraz funkcia (totálna funkcia) v užšom zmysle je taká funkcia v širšom zmysle, u ktorej je B množinou čísiel (podľa iných zdrojov musí byť navyše A množina čísiel či skupín (usporiadaných n-tíc) čísiel).

 Význam 
Pojem zobrazenie patrí medzi najzákladnejšie v matematike. Pôvodne vznikol ako abstrakcia vzťahov a pozorovaných zákonitostí v prírodných vedách (napr. veľkosť gravitačnej sily, ktorou je priťahované teleso k inému telesu, závisí od ich hmotností; počet jedincov za určitých podmienok je závislý od času a i.). 

 Definícia pomocou množín 

Zobrazenie (funkcia)  z množiny A do množiny B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu , ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:
 ,
  ak, potom .

Prvá vlastnosť hovorí, že každému prvku množiny A musí zobrazenie  priradiť aspoň jeden prvok množiny B, kým druhá hovorí, že ho môže priradiť najviac jeden. Inými slovami, zobrazenie priradí každému prvku množiny A práve jeden prvok množiny B.

 Súvisiace pojmy 
Množine A hovoríme definičný obor (alebo len obor, niekedy aj doména), množine B koobor (alebo kodoména).

Obor hodnôt zobrazenia  je množina všetkých takých prvkov
množiny B, na ktoré sa v zobrazení  skutočne zobrazuje nejaký prvok množiny A. Obor hodnôt je teda podmnožina kooboru.

Ak označíme danú funkciu napr. f, tak číslo, ktoré funkcia f priraďuje prvku x z množiny A, sa nazýva hodnota funkcie f v bode x a zapisuje sa f(x).

 Zápis 
Fakt, že , často označujeme buď tzv. prefixovým zápisom:  alebo postfixovým zápisom: . Druhá forma sa používa hlavne v algebre.

V prípade, že zobrazenie nazývame operácia (pozri vyššie), nazývame symboly označujúce operáciu operátory. Pri binárnych operáciach používame najčastejšie na zápis poznatku  tzv. infixový zápis:   (napr. 3+4=7).

 Elementárne funkcie 

 Konštantná funkcia
 Lineárna funkcia
 Kvadratická funkcia
 Mocninná funkcia
 Racionálna funkcia
 Polynomická funkcia
 Racionálna lomená funkcia
 Goniometrická funkcia
 Exponenciálna funkcia
 Logaritmická funkcia
 Hyperbolická funkcia

Kategória:Matematické funkcie

 Externé odkazy 
 http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Zobrazenie