අවකල ජ්‍යාමිතිය

අවකල සමීකරණ අවකල සමීකරණය යනු , ශ්‍රිතයේ අගයන් හා එහි විවිධ ගණවල ව්‍යුත්පන්න සම්බන්ධ කරන , විචල්‍ය එකක්‍ හෝ කිහිපයකින් යුක්ත නොදන්නා ශ්‍රිතයක් සඳහා වු ගණිතමය සමීකරණයකි. අවකල සමීකරණ , ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ , භෞතික විද්‍යාවේ , ආර්ථික විද්‍යාවේ හා තවත් ‍ක්ෂේත්‍ර තුළ ප්‍රමුඛ ස්ථානයක් හිමි කරගනී. අවකල සමීකරණ විද්‍යා හා තාක්ෂණයේ විවිධ ක්ෂේත්‍රවල ඉදිරිපත් වේ. ඒ නිර්නායක සම්බන්ධතාවයකින් , සමහරක් නිරතුරු වෙනස්වන රාශි (ශ්‍රිත මගින් ආදර්ශිත) හා ඒවායේ දන්නා හෝ උපකල්පිත වෙනස්වීම් සීඝ්‍රතා (ව්‍යුත්පන්න ලෙස ප්‍රකාශිත) අඩංගු වන අවස්ථාහිදීය. මෙය වස්තුවක් චලනය කාලය විචලනය වන විට එහි පිහිටීම හා ප්‍රවේගය විස්තර කරන සම්භාව්‍ය යාන්ත්‍ර විද්‍යාව මගින් හොඳින් පැහැදිලි වේ. නිව්ටන්ගේ නියම මගින් පිහිටීම , ප්‍රවේගය, ත්වරණය හා වස්තුව මත ක්‍රියා කරන විවිධ බල එකිනෙක සම්බන්ධ කිරීමට හා වස්තුවේ නොදන්නා පිහිටීමකට මෙම සම්බන්ධය අවකල සමීකරණයක් කාලයේ ශ්‍රිතයක් ලෙස ප්‍රකාශ කිරීම ඉඩ සකසා දේ. බොහෝ අවස්ථාහි දී, චලිත නියමය ලබා දෙමින් මෙකී අවකල සමීකරණ පැහැදිලිව විසඳිය හැක. අවකල සමීකරණ , විවිධ දෘෂ්ටිකෝණවලින් ගණිතමය වශයෙන් අධ්‍යයනය කරන අතර ඒවායේ විසදුම් ද බොහෝය. සරලතම අවකල සමීකරණ පමණක් ප්‍රකාශිත සූත්‍ර මගින් ලබා දෙන විසදුම්වලින් යුක්තය. දෙනු ලබන අවකල සමීකරණයක විසදුම්වල බොහෝ ගුණ , නියම ස්වරූපය නොසොයාම නිශ්චය කිරීමට හැකිය. විසදුමක් සඳහා සර්ව සාධාරණ සූත්‍රයක් නොමැති නම් , විසදුමක් පරිගණක භාවිතයෙන් සංඛ්‍යාත්මකව ආසන්න කිරීමක් සිදුකල හැක. ගතිකමය පද්ධති පිළිබඳ නියමය , විසදුම් නිර්ණයට බොහෝ සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම දියුණු කරන අතරතුර අවකල, සමීකරණ මගින් විස්තර කරන පද්ධතිවල ගුණාත්මක විශ්ලේෂණය වැදගත්කම අවධාරණය කරයි. සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ ගණිතයේ දී එක් ස්වායත්ත විචල්‍යයක සහ ඊට සාපේක්ෂව එහි ව්‍යුත්පන්නයක සම්බන්ධය ඇතුළත් ශ්‍රිත සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණයකට අයත් වේ. 

සරල උදාහරණයක් ලෙස m ස්කන්ධයක් ඇති අංශුවක චලිතය සඳහා නිව්ටන්ගේ චලිතය පිළිබඳ දෙවැනි නියමයෙන් ලැබෙන අවකල සමීකරණය සලකන්න. පොදුවේ F බලය t මොහොතේ අංශුවේ පිහිටීම x(t) මත රඳා පවතින අතර එබැවින් F(x(t)) අංකනය මඟින් පැහැදිලි වන පරිදි x(t) නොදන්නා ශ්‍රිතය අවකල සමීකරණයේ දෙපසම දැකිය හැකිය. සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ, ආංශික ව්‍යුත්පන්න ඇතුළත් ස්වායත්ත විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත ආංශික අවකල සමීකරණවලින් වෙන් කර හඳුනාගත යුතුය. ජ්‍යාමිතිය, යාන්ත්‍ර විද්‍යාව, තාරකා විද්‍යාව සහ පහත ආදර්ශනය ආදී විවිධ ක්ෂේත්‍ර ආශ්‍රිතව සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ ලැබීම සිදුවේ. නිව්ටන්, ලිබ්නිස්, බර්නූලි පවුල, රිකාටි ක්ලෙයරට්, ඩී. ඇලම්බර්ට් සහ ඉයුලර් ආදී බොහොමයක් සුප්‍රසිද්ධ ගණිතඥයන් අවකල සමීකරණ අධ්‍යයනය කර ඇති අතර අවකලන ක්ෂේත්‍රය සඳහා දායකත්වය ද සපයා ඇත. සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණවල විසඳුම් පිළිබඳ දැඩි පර්යේෂණ සිදු කර ඇත. සමීකරණය ඒකජ වේ නම් එය විෂ්ලේෂණ ක්‍රම මඟින් විසඳිය හැක. නමුත් අවාසනාවක් ලෙස බොහෝ පොළඹවන සුළු අවකල සමීකරණ ඒකජ නොවන අතර කිහිපයක් හැරුණු විට අනෙක්වා සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳිය නොහැකිය. පරිගණක සන්නිකර්ෂණ ඇසුරින් මේවා සඳහා සන්නිකර්ෂිත විසඳුම් ලබා ගැනේ.