අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යාවල ගුණ

අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා කුලකය ගැණිය නොහැකි අපරි‍මිතයකි. සාධනය සරලය. නිඛිලමය සංගුණකවලින් යුත් බහු පද ගැණිය හැකි නිසා හා එවැනි එක් එක් බහු පදයට මූලයන් පරිමිත සංඛ්‍යාවක් ඇති නිසා වීජීය සංඛ්‍යා ද ගැණිය හැකි විය යුතුය. නමුත් කැන්ටර්ගේ විකර්ණ තර්කය මඟින් තාත්වික සංඛ්‍යා (එමනිසා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ද) ගැණිය නොහැකි බව ඔප්පු කරයි. එම නිසා සියලු අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා කුලකය ද ගැණිය නොහැකි විය යුතුය.

අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා කිසි විටෙක පරිමේය නොවන නමුත් සමහරක් අපරිමේය සංඛ්‍යා අත්‍යුත්තර නොවේ. උදාහරණ ලෙස 2හි වර්ගමූලය අපරිමේය වේ නමුත් එය x2 − 2 = 0 බහුපදයේ විසඳුමයි. එමනිසා එය අත්‍යුත්තර නොව වීජීය වේ.

ඕනෑම තනි විචල්‍යයක නියත නොවන වීජීය ශ්‍රිතයක් , අත්‍යුත්තර ස්වායත්ත විචල්‍ය අගයක් යෙදු විට අත්‍යුත්තර අගයක් ලබා ගනී. එම නිසා උදාහරණයක් ලෙස π අත්‍යුත්තර ලෙස දන්නා විට අපට ඉතා ඉක්මණින් 5π, (π − 3)/√2, (√π − √3)8 and (π5 + 7)1/7 වැනි සංඛ්‍යා අත්‍යුත්තර බව අපෝහණය කළ හැක.

කෙසේ නමුත්, විචල්‍ය කිහිපයක් ඇති වීජීය ශ්‍රිතයක් අත්‍යුත්තර සංණ්‍යාවකට යෙදූ විට, එම සංඛ්‍යා වීජීය වශයෙන් ස්වායත්ත නොවේ නම් ශ්‍රිතය ලබා ගන්නේ වීජීය සංඛ්‍යාවකි. උදාහරණ ලෙස π හා 1 − π යන ද්විත්වය අත්‍යුත්තර වේ. නමුත් π + (1 − π) = 1 එසේ නොවේ. තවදුරටත් උදාහරණ ලෙස π + e යන්න අත්‍යුත්තර යයි නොදනී. එසේ වුවත් π + e හා πe යන  2න් එකක් අත්‍යුත්තර විය යුතු වේ. වඩාත් සාමාන්‍ය ලෙස, a හා b  අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා 2 සඳහා අඩු තරමින් a + b හා  ab යන දෙකෙන් එකක් වත් අත්‍යුත්තර විය යුතුය. මෙය නිරීක්ෂණය සඳහා  (x − a) (x − b) = x2 − (a + b)x + ab  බහු පදය සලකන්න.  (a + b) හා ab  යන දෙකම වීජීය වේ නම් මෙය වීජීය සංගුණක ඇති බහු පදයක් විය යුතුය. වීජීය සංඛ්‍යා වීජීය වශයෙන් සංවෘත ක්ෂේත්‍රයක් ඇතිකරන නිසා මෙමගින් අදහස් වන්නේ බහුපදයේ මුල a හා b වීජීය  විය යුතු බවයි. නමුත් මෙය පරස්පර විරෝධීතාවකි. ඒ අනුව සංගුණක දෙකෙන් එකක් වත් අත්‍යුත්තර විය යුතුය.

සියලු වීජීය සංඛ්‍යා ගණනය කළ හැකි නිසා ගණනය නල නොහැකි සියලු සංඛ්‍යා ද අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා වේ. 

සියලු ලියුවිල් සංඛ්‍යා අත්‍යුත්තර වේ. එසේ වුවත් සියලු අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා ලියුවිල් සංඛ්‍යා නොවේ. ඕනෑම ලියුවිල් සංඛ්‍යාවක සන්තත භාග ප්‍රසාරණයේ අපර්යන්තගත ආංශික ලබ්ධි පැවතිය යුතුය. බැඳුණු ආංශික ලබ්ධි ඇති නමුත් ලියුවිල් අංක නොවන අත්‍යුත්තර සංඛ්‍යා පවතින බව ගණන තර්කයකින් පෙන්වා දිය හැක.

e හි ප්‍රකාශිත සන්තත භාග ප්‍රසාරණය යොදා ගෙන e ලියුවිල් සංඛ්‍යාවක් නොවන බව පෙන්විය හැක. (එහි සන්තත භාග ව්‍යාප්තියේ ආංශික ලබ්ධි අපර්යන්තගත වූවත්) 1953 දී කර්ට් මාලර් π ද ලියුවිල් සංඛ්‍යාවක් නොවන බව පෙන්වා දුනි. පර්යන්තගත පද ඇති අවසානයේ දී ආවර්තික නොවන සියලු අපරිමිත සන්තත භාග අත්‍යුත්තර බව අනුමාන කර ඇත. (අවසානයේ දී අවාර්තික සන්තත භාග වර්ගජ අපරිමේයයන්ට අනුරූප වේ)

ප්‍රවර්ගය:ගණිතය