Алгебра

Алгебра диэн структураны, сыhыаны уонна ахсааны үөрэтэр математика салаата. Геометрияны, анаалиhы, комбинаториканы уонна ахсаан теориятын тэҥэ алгебра математика бас салааларыттан биирдэстэрэ буолар.

 Классификацията 
Алгебраны бу категорияларга арахсар:
 Элементарнай алгебра
 Линейнай алгебра
 Сурааhын алгебра
 Универсальнай алгебра
 Алгебра ахсаан теорията
 Алгебра геометрията
 Алгебра комбинаториката

 Элементарнай алгебра 
Элементарнай алгебра диэн алгебра сүрүн өйдөбүллэрин үөрэтэр салаа. Үксүн бастаан арифметканы үөрэтэн баран биирдэ элементарнай алгебраҕа түһүнэллэр.Арифметикаҕа бастатан туран  чыыһылалар уонна борустуой (+, −, ×, ÷) дьайыылар чыыһылалары кытары. Алгебраҕа чыыһылалар буукубаларга  (a,b,c,x,y уонна да атын) уларыйаллар. Маннык туттуу ордук, тоҕо диэтэххэ:

 Арифметика сүрүн сокуоннарын тургэнник ылынарга көмөлөһөр (холобур, a+b=b+a), ити сокуон бастакы хардыыта буолар действительнай чыыһыла субуойустубаларын үөрэтэргэ.
 Биллибэт чыыһыланы буларга көмөлөһө (холобур, x чыыһыланы буларга, 3x+1=10, атыннык ax+b=c, ити холобуру көрөн чыыһыла чыыһыланы кытта алтыһан эппиэтэ тахсар).
 Көстүү (функция) диэн өйдөбүлү быһаарар (холобур,"Эһиги x билет атыылаабыккыт, барыскыт маннык буолар 3x-10 солкуобай, эбэтэр f(x)=3x-10, онно f - көстүү (функция), уонна x - чыыһыла").

 Линейнай алгебра 
Линейнай алгебра диэн алгебра вектордары, векторнай эбэтэр линейнай куйаардары, линейнай көрдөрүүлэри уонна линейнай суоттааһын систематын үөрэтэр. Линейнай алгебраҕа өссө быһаарааччы (определение) теориятын, матрицалар теорияларын, быһыылар(форма) теорияларын (холобур, түөрт муннуктаах), инвариантнай теорияны (сорҕотун). Аныгы алгебра векторнай куйаары ордук бэлиэтиир.

Линейнай, эбэтэр векторнай куйаар V (F) F хонуу үрдүгэр - бу аата түөрт бэрээдэктэммит бэлиэлэр (V,F,+, ,) онно:

V - вектор;

F - скаляр;

V x V -> V - элеменнэри хас биирдии паараҕа тэҥниир вектордар уустуктара x,y  V  бэлиэ суос-соҕотох элемена, бэлиэтэнэрэ x+y;

F x V -> V - хас биирдии элемени кытта тэҥниир тас очуостары төгүллээһин λ∈F уонна хас биирдии элеменна x, V множествоҕа суос-соҕотох элемент V, бэлиэтэнэрэ λx;

сороҕор эпэрээссийэлэри маннык аксиом — линейнэй (векторнай) өйтөн астыналлар:

 x + y = y + x ханнык баҕар x,y ∈ V (коммутативнай холбооһун);
 x + (y + z) = (x + y) + z ханнык баҕар x,y,z ∈ V (ассоциативнай холбооһун);
 Маннык элемент баар θ ∈ V, x + θ = x ханнык баҕар x ∈ V, чуолаан V  кураанах буолбатах;
 ханнык ба5ар x ∈ V маннык элемент баар -x ∈ V, x + (-x)=0;
 α(βx) = (αβ)x (скаляр ассоцитивностька төгүллэнэрэ);
 1 , x = x ( унитарнай буолуу);
 (α + β)x = αx + βx;
 α(x + y) = αx + βx.

Евклид куйаара, аффиннай куйаардар, уонна даҕаны атын геометрияҕа бэриллэр куйаардар, векторга олоҕуран быһаарыллаллар. Векторнай автоморфиза куйаардара хонуу үрдүнэн төгүллээһин туһунан туспа бөлөх олохтууллар.

Линейнай алгебраҕа туттуллар n-най векторнай куйаардар  муҥура суох линейнэй куйаарга көһөллөрө функциональнай анализ сорох салааларыгар бэйэтин күлүүһүн булла. Айымньылаах биһилэххэ модулга линейнэй алгебра сүрүн темалара толоруллубаттар. Кольца үрдүнэн суурадаһыннары уонна модуллары уопсай бас билиилэрэ алгебраическай К- теорияҕа үөрэтиллэр. 

 Уопсай алгебра 
Уопсай алгебра араас алгебра систиэмэтин үөрэтиинэн дьарыктанар. Онно объектар операцияларын ис дьиҥиттэн тутулуга суох объектарга көрөллөр. Кини бөлөх теориятын бастакы уочаратыгар уонна колец теориятыгар киирэр. Алгебра систиэмэтин икки көрүҥэр майгынныыр уопсай дьиэлэр: эрэһээҥкэ, категориялаах, универсальнай алгебра, моделлары, полугруппалары уонна квазигруппалары көрүүгэ тириэртилэр. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре

Уопсай алгебра чопчу кыраныыссата быһаарылла илик. Киниэхэ хонуу теориятын, конечнай бөлөхтөрү, биллэн турар, алгебра Ли киллэриэххэ сөп.

 Бөлөх теорията 
Кураанах буолбатах G буукубаҕа киниэхэ бэриллибит бинарнай эпэрээссийэлээх G x G ->G бөлөх диэн ааттанар, балар бары толоруллубут буоллахтарына:

 ассоциативнай буолуу: Ɐ(a,b,c ∈ G) : (a , b) , c = a , (b , c)
 тутулуга суох элемент баар буоллаҕына:Ǝe ∈ G   Ɐa ∈ G : (e , a = a , e = a);
 Таҥнары элемент баар буоллаҕына:Ɐa ∈ G   Ǝa-1 ∈ G : (a , a-1 = a-1, a = e)

Бөлөх өйдөбүлэ геометрическай объектарга эквиватизациялааһын формальнай дьүһүнүнэн үөскээбитэ.Галуа теориятыгар, кини уонна бөлөх өйдөбүлүн биэрэн, бөлөхтөр хас биирдии силистээх- мутуктаах тэҥнэбиллэри ойуулуурга туһаналлар.Бөлөхтөр математикаҕа уонна естественнэй наукаларга туһаныллаллар, объектар ис симметрияларын (автоморфизмнар бөлөхтөрүн) ис симметриятыгар үгүстүк туһаналлар. Уопсай алгебра структуралара бары кэриэтэ чааһынай бөлөхтөр. 

 Төгүрүктэр теориялара 
Төгүрүктэр R симбалынан бэлиэтэнэллэр икки бинэрнэй эпэрээсийэлээх: + уонна х (эбии уонна төгүллээһин), аныгыскы дьүһүннээх:

 Ɐa,b ∈ R (a + b = b + a) - коммутатибынас уустуктара;
 Ɐa,b,c ∈ R (a + (b + c)) = ((a + b) + c) - ассоциатиибынас уустуктара;
 Ǝ0 ∈ R Ɐa ∈ R(a + 0 = 0 + a = a) = тутулуга суох элэмиэн уустугу кытта сыһыана;
 Ɐa ∈ R Ǝb ∈ R (a + b = b + a = 0) син биир уустугурдар элеменнэр баар буолуулара;
 Ɐa,b,c ∈ R (a x b) x c = a x (b x c) - төгүллээһин ассоциатыыбынаһа;
 Ɐa,b,c ∈ R {a x (b + c) = a x b + a x c} { (b + c) x a = b x a + c х a} - дистрибутиибынас.

 Универсальнай алгебра 
Универсальнай алгебра сүрүн алгебра анал салаата буолар, дьаныһан туран дьарыктанар алгебра систиэмэтин дьаныһан туран дьарыктанар. Алгебраическай система сүһүөхтэн тутулуга суох үгүс өрүттээх (кыаллар, муҥура суох сыһыылаах) наборунан конечной операциянан уонна конечно сыһыаны көрдөрөр.

 Түн былыргы ойуулааһын 
Алгебра историята былыргы кэмнэргэ бараллар. Арифметика дьайыылара бэйэлэрин кыра математическай текстэригэр көрсүһэллэр. Өссө 1650 сыллаахха биһи үйэбит иннинэ Египет суруйааччылара бастакы степеннээх тэҥнэбиллэри уонна иккис степеннээх тэҥнэбиллэри быһаарыахтарын сөп этэ, олорго өссө 26 уонна 33 Ринда папируһуттан уонна 6 задача Московскай папирустар сыһыаннаһаллар. Сыал- сорук сымыйа балаһыанньатын быраабылатыгар олоҕурара сабаҕаланар. Бу быраабыла, кырдьык, олус сэдэхтик вавилоняненнар туһаммыттар

Вавилон математиктара кыбадыраатынай тэҥнэбиллэри сатаан суоттууллар этэ. Тэҥнэбиллэрин- тэҥнээхтэрин билбэттэрин курдук, үчүгэй коэффициеннаах уонна тэҥнээх эрэ дьыалалаахтар. Араас реконструкцияларынан кавилоҥҥа квадратка быраабылатын билэллэрэ эбэтэр сууманы, араастаһыытын, ону сэргэ силиһин ааҕыы ньымата аныгы формулаҕа толору сөп түбэһэр. Үһүс степенньээх тэҥнэбиллэр эмиэ баар буолаллар. Ону таһынан Вавилоҥҥа ураты тиэрмини киллэрбиттэрэ, ол аата урут биллибэт мүччүргэннээх клинописнай бэлиэлэри, бастакы биллибэт («уста»), иккис биллибэт («кэтитэ»), үһүс биллибэт («дириҥэ»), ону таһынан араас производственнай кээмэйдэри («уста» уонна «туора» айымньылар«,» кээмэйдэр«,» кээмэйдэр «уста», «кэтирин» уонна «түгэхтэр») бэлиэлэринэн туттуллубуттара, атыннык эттэххэ, көннөрү тылга туттуллар буолан, көннөрү тылларга туттуллар. Геометрическай соруктар, терминнэр төһө да кэлбиттэрин иһин, «иэнэ» уонна «уһуна» биир уустаах ааҕыллар. Кыбадыраатынай тэҥнэбиллэри быһаарарга алгебраическай уларыйыылары, биллибэт килбиэннэри эпэрээссийэлиир наада этэ. Инньэ гынан алгебра ньыматынан туһанар бүтүн кылаас соруга анаммыта.

Икки өттүттэн хайа да өттүнэн халыып аһыллыбытын кэннэ, греческай математика кризиһи тулуйбута, геометрияны математика төрдүн быһыытынан талан, геометрическай кээмэйдэргэ алгебраическай эпэрээссийэни быһааран биэрбитэ. Геометрическай алгебра иккис кинигэтигэр Евклида, Архимед уонна Аполлоний үлэлэрин билиһиннэрбитэ. Маннык өйдөбүлү үөскэтэр сокуон төһө кыалларынан элбээн, квадратнай суумаҕа тириэрдиэн сөп. Алгебра аан бастаан планиметрияҕа олоҕурбута уонна квадратнай тэҥнэбиллэри быһаарарга аналлаах оҥоһулунна. Маны сэргэ алгебра тэҥнэбиллэригэр куба икки төгүл улаатта уонна үс сиэксийэни тутуу- хабыы, сөптөөх элбэх муннугу тутуу соруктара туруорулуннулар.Кубическай тэҥнэбиллэри быһаарыытын Архимед үлэтигэр («О шаре и цилинре» уонна «коноидах и сфероидах") суруллубут,уопсай тэҥнэбили чинчийбит киһи x3 + ax + b = 0. Туспа садаачалар коническай сеченияларынан суоттаналлар.

Арифметикаҕа олоҕурбут алгебра соһуччу көһүү, чопчу бэлиэтээһиннэри киллэрбит Диофан үлэтигэр таҕыста: биллибэт чыыһыланы кини  — «чыыһыла» диэн ааттаабыт, биллибэт истиэпэн иккиһин  — «түөрт муннук», үссүһүн  — «куб», төрдүһүн  — «квадрато-квадрат», бэссиһин — «квадрато-куб», алтыһын — «кубо-куб». Ону тэҥэ көҥүл чилиэнин, мэлдьэһиилээх чыыһыланы (эбэтэр ааҕыы) уонна тэҥниир бэлиэтин көрдөрбүтэ. Диофант ааҕааччы биир өттүттэн тэҥнэбиллэри атын уонна тэҥ кээмэйдэри аҕыйатыы быраабылатын билэрэ уонна туһанара. Үһүс уонна төрдүс степеннээх тэҥнэбиллэри чинчийэн. Онус үйэҕэ Диофант суруйбут «Арифметиката», арабскай тылга тылбаастаммыта, онтон уон алтыс үйэҕэ арҕаа Европаҕа, Ферм уонна Виет үлэлэригэр дьайбыта. Диофант толкуйун Эйлер, Якоби уонна Пуанкаре курдук учуонайдар үлэлэригэр көрүөххэ сөп, уонна сүүрбэһис үйэ саҕаланыытыгар дылы кини суола эмиэ көстөр.