ډيرۍ پوهنه

ډيرۍ پوهنې بايد خپل ځاي په شمېرپوهنه او همدا ډول په نورو پيدايښتي- يا طبيعى پوهنو کې نيولي وي، نو له دې امله د لنډ تير وخت را په دې خو په پرمختللو هيوادونو  او اوس هم په افغانستان کې د ښوونځيو په ليکلوست کې پيل شوه، ځکه چې بي له ډيريپوهنې شميرپوهنه بي مفهومه ده او ناشونې۰  دا به له دې ليکنې څخه همدا اوس څرگنده شي، چې پيدايښتي يا طبيعي گڼونه يا - اعداد او هرڅه د گڼونو په څيره کې ، چې موږ ته څرگند وي هغه ټولې ډيرۍ دي او بل څه نه دي۰

ډيريپوهنې  په شپيتمو کالونو کې  په پرمختللو هيوادونو کې هم د ميندو او پلرونو لپاره ستونځې پيدا کړي، ځکه، چې دوي د ډيري پوهنې سره بلد نه وو او د خپلو کوچنيانو سره يې مرسته نه شوه کولى۰

د ډيرۍ کلمه له گڼونو پخوانۍ ده، که څه هم پخوا انسانانو په خپله خوښه نه ښووله لکه اوس۰

په تراوس ورسره بلد ډول هم ډيرۍ پيژندل کيږي، لکه د ښوونځى نجونې او هلکان، يا په يوه ټولگى کې ميزونه او چوکى، يا لکه هغه نيزوړي، چې نيز راوړي او د سپين په پټي کې يې ډيرۍ ډيرۍ اچولي يا د هسکې مېنې د ښوونځي په  لسم ټولگى کې د زده کوونکو، کتابونو، کتابچو پنسلونو، څوکيو او ميزونو ډيرۍ۰

موږ په افغانستان کې هم د ډيرۍ له کليمې سره اوس بلد شوي يو که څه هم تربيلو بيلو پرديو نومونو لاندې، چى زما په اند به زده کوونکو او ښوونکو ته يواځې ذهني غوره والي لري، زه غواړم، چى د ډيرۍ څو مختلف پيژندونه يا تعريفونه ورکړم، چې ښه مو ورته پام راوگرځي، دا له دې امله هم، چى د ډيريپوهنې غوره والى ته مو نور هم پام راوگرځي۰

ډيرۍ  پوهنه د شميرپوهنې سټه جوړوي او د شميرپوهنې ټولې څانگې په ډيرۍ پوهنه ودانې دي۰ نن شميرپوهنه بې له ډيرۍ پوهنې داسې وده نه شي کولى او سټۀ يې وزي۰

يادونه: دا دلته اړيېنه ده، چې په کوته شي، چې هغه شمېرپوهنطز ډوله ليکنه دلته ده هشي کېدی. زه نه پهېږم، چې د ډېريو توکو ترمنځ ايکې او دډېرۍ سره یې اړيکې ]نگه وليکل شي، چې په ټيکه توگه جال ته پورته شي

پيژند ٢ ۰ ١ الف  : ډيرۍ د ټاکلو شيانو يا کلمو ټولگۀ( يوځايوالى، مجموعه) ده، چې پخپله خوښه د يوې ټاکلې    بنسټډيرۍڅخه ، چې د پيژندلشويو اصولو يا کرکتريين  له مخې ټاکل شوې وي

ب : د الماني شميرپوه کانتور(George Cantor  1845 – 1918  ( پيژند:

زموږ د خيال يا ليد څرگند ټاکلو، ټيک يو له بل توپيرکيدونکو شيانو ټولگې ( يوځايټولولو يا مجموعې )  ته ډيرۍ   وايي او هر شي ته، چې ډيرۍ يې جوړه کړې يا ډيرۍ ترې جوړه شوې وي، د ډيرۍ توکى وايي

Set and elements of set ډيرۍ او د ډيرۍ توکي

پ : د مختلفو شيانو ټولگې يوه يوون( واحدEinheit, unite )   ته په شميرپوهنه کې ډيرۍ وايى

يادونه : د واحد لپاره، چې تراوسه ورسره بلد يو يوون يا يووالى ښه نومه ونې دي۰ دا که څو واره وويل شي، نو باورلرم، چې ورسره بلديږو۰

ت : څرگند شيان د گډو نخښو پربنسټ، چې تر څيړنې لاندې نيول کيږي او د دې نخښو له امله يوځاي   ټوليږي يا   ټولگه جوړوي، ډيرۍ تشکيلوي۰ گډې نخښى کيدى شي ښکلا، کوچنيوالى او داسې نور وي۰

يادونه: د گرانو لوستونکو دې دې ته پام وي، چې په پورته پيژندونو کې  يې غوره  او د پام وړ پيژند ياتعريف د جورج کانتور پيژند  دى۰

بيلگه : گڼونه ، نومونه، او توري کيدى شي د ډيريو بيلگو په توگه راوړل شي۰

گورو، چې د ډيرۍ کلمه په شميرپوهنه کې بل ډول ده لکه په ولسي ژبه کې، چې دلته ډيرۍ د ځنو شيانو زيات يوځاي کول موخه ده، د ځانگړو شرايطو لاندې په شميرپوهنه کې ډيرۍ په لويو لاتين تورو ليکل کيږي لکه  A,B,..

او يا M,N, X,Y,….  د ډيريو توکي د لاتين په کوچنيو تورو ليکل کيږي، لکه a,b,c,… اوm,n,x,v,…

د دې لپاره، چې وپوهيږو، چې ايا توکى a  د ډيرۍ A توکى دۍ که نه نو ليکو:


aÎA

يا

5 Î N

په پورته کې توکى   a  د ډيرۍ  A  توگى دۍ:   a A   ( )

يا

a Ï A

دلته a  د ډيرۍ A  توکى نه دۍ

1/2  Ï  N

دا پورته ليکدود له ښى وکيڼ لور ته هم ليکلى شو، چې پرلپسى لړۍ يې ساتلې پاتې شي۰ زه يې په څټ ليکنو سره ليکنيزې ستونځى لرم۰

ډيرۍ A دې له  a,b,c,d,e,f,g,h, توکو جوړه وي، چې  په لاندې توگه يى ليکو

A = { a,b,c,d,e,f,g,h}

گورو، چې { }  د ډيرۍ نخښه ده

يادونه : دا د ډيرۍ کلمه موږ په افغانستان کې سټ بولو ، چې انگريزي ده، په فارسي کې يې مجموعه بولي، چى ډيرۍ د شيانو مجموعه يا ټولگه  ده او په الماني کې ورته مينگې وايې۰ هغه بنسټيزه خبره يې په پيژند يا تعريف کې ده، که موږ يې هرڅنگه وبولو، خو د يو بل څخه کره توپيرکيدونکو شيانو ټولگى ته ۰۰۰ وايو د ټکو پر ځاي ، چى هر څه ليکى، خو موږ گورو، چې په پښتو يې هغۀ مناسبه نوموه ونه  ډيرۍ ده، دا د کوټى کوټى څخه يا راپنډ او داسې نورو څخه ماته ښه ښکاريږي او زموږ ولس د دې نامه سره بلد دۍ، چې په پوهنه او لا نور ښه په شميرپوهنه کې بايد وکارول شي۰ زه  بيا په دې ټينگار کوم، چې دا خپل ، چې ما ټاکلى يا بل څوک يې که بل ډول بولى د انگريزي يا الماني يا بل پردي نوم څخه ښه او پوهوړ  دى۰ د سټ مانا که په ډکشنري کى وگورۍ ،نو پوه به شو، چې له دې نوم څخه مو خپل د پښتو نوم ښه او مناسب  دۍ۰

بيلگه ٢ ۰ ١

الف )  M  ايندکس ١ ( دا به په لاندې نخښونه کې روښانه شي پام دې وي، چې index(indeces) ايندکش پيژند نخښې   ته وايي) دې د لومړيو گڼونو ډيرى وي، نو باور لري:

7 C M1,   8 C/ M1  ;  7     M1 ; 8M2,

) M   ايندکس ٢  دې د لاندې برابرونونو يا مساواتو د اوبيونو(حلونو) ډيرۍ وي

                      (x+1)(x-2) =  0

نو باور لري -1  M2, 2  M2 ; 1  M 2

يادونه: که وليکو، چى ايندکس ؟ نو موخه ترې هغه گڼ يا تورى دۍ، چې د بل توري، که لوي وي، که وړوکى ، هغه له هغه څرگند شي څخه روښانه کيږي تر پښى يا سر يا بل ځاي کې ليکل کيږي او دا تورى ترې روښانه کيږي، چې په ليکنه کې يې نه شم راوستلى مگر په پوهيدنه کې به کومې سونځى ونه لري۰

بيلگه ٢ ۰ ٢ :

الف ) د برابرون (x+1)(x-2) = 0      داوبيونى - يا حل ډيرۍ  M2   ده

{M2= { -1,2

ب ) د جوړه (جفت) گڼونو ډيرى M3   ده:   {......M3={0,2,-2,4,-4

ډيرۍ لکه، چې ومو ويل د توکو د خويونو او د خويونو له لارې هم څرگنديدى شي يا ورکول کيدى شي۰

x}  د خوويونو ۰۰۰ سره  M = { x |

(لوستل: M د ټولو توکو  x  ډيرۍ ده له خويونو ۰۰۰۰۰ سره )

بيلگه ٢ ۰ ٣

الف )     } چيرته ، چې x  يو لومړنى گڼ دۍM = { x |

b )        M =  { x | (x+1)(x-2) = 0 }

c)         M { x |   R , 0< x <1 }

تشډيرۍ: ډيرۍ، چې کوم توکى ونه لري تشډيرۍ يا خاليډيرۍ بلل کيږي او داسى يې ليکو:

{} =  Ø
دا دې د يوې ډيرۍ سره، چې يواځى له صفر جوړه ده نه بدليږي يانې

{} =  Ø  |=   {0}

بيلگه ٢ ۰ ٤

   {x | x  Z ; x<2>+x-3/4 = 0 }= {}

ځکه، چې د برابرون يا مساوات x²+x-3/4 = 0  اوبيډيرۍ يا حلډيرۍ

{x|x²+x-/4= 0 } = { 1 / 2  , -3کوم ټولگڼ خوندي نه لري۰

د  ټولگڼونو پيژند ته دې پام  وي، چې د راشنلگڼونو برخډيرۍ ده۰ د ريمه  برخه دې وکتل شي۰

وېشنيزه:شمېر پوهنه