فرق مساوات

اگر کسی متوالیہ  دا رکن  دوسرے اراکین دے دالہ دے طور اُتے مساوات د‏‏ی صورت لکھیا جا سکدا ہو، تاں اس مساوات نو‏‏ں فرق مساوات کہندے نيں۔

 لکیری فرق مساوات (درجہ اول) 
پہلے درجے د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایويں ہُندی اے 
‎
‎جہاں  دائم اعداد نيں۔ ناں وجہ دیکھݨ دے لئی مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں
‎‎
یعنی متوالیہ دے دو اَگڑ پِچھڑ ارکان دا فرق، پہلے رکن دے نسبی جوڑ دے طور اُتے منحصر ا‏‏ے۔ اس مساوات دا حل دیکھݨ دے لئی متوالیہ دے کچھ ارکان لکھدے نيں، ایہ سمجھدے ہوئے کہ  سانو‏ں معلوم اے:

‎‎

آخری متوالیہ د‏‏ی جمع جاݨدے ہوئے، مساوات دا حل یاں:

اس تو‏ں واضح اے کہ
‎

‎

 مثال 
فرض کرو کہ چائے د‏‏ی گرم پیالی میز اُتے رکھی ا‏‏ے۔ کمرے دا درجہ حرارت  اے تے چائے دا درجہ حرارت  اے، منٹ  اُتے ۔ علم حرارت دے قانون دے مطابق چائے دا درجہ حرارت اس فرق مساوات دے زیر اے 

‎‎

فرض کرو کہ وقت صفر اُتے چائے دا درجہ حرارت  سی، یعنی ۔ اک منٹ بعد درجہ حرارت  نوٹ کيتا گیا، یعنی  ۔
اس طرح سانو‏ں دائم k د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے:

درجہ حرارت د‏‏ی مساوات نو‏‏ں معیاری ہیئت وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے:
‎
فائل:diff plot.png
‎
اور اس دا حل کچھ سادگی دے بعد:
‎‎

چائے دا درجہ حرارت  ڈگری تو‏ں گردا ہويا  ڈگری تک جاندا اے، چونکہ ۔ پلاٹ تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ تقریباً  منٹ وچ چائے ٹھنڈی ہو ک‏ے کمرے دے درجہ حرارت دے نیڑے پہنچ جاندی اے، جہاں

فرق مساوات دا وقتی دائم کہلاندا ا‏‏ے۔

پہلے درجے د‏‏ی اس مساوات
‎‎
کو n د‏‏ی منفی جانب وی ودھایا جا سکدا اے، جس دے لئی اسيں اس مساوات نو‏‏ں ایويں لکھدے نيں:

اُتے والے طریقے تو‏ں اس دا حل ایہ نکل آندا اے:

ایتکاں ایہ واضح اے کہ:

پہلی درجہ د‏‏ی فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایويں لکھی جا سکدی اے، جتھے  کوئی وی دتا گیا متوالیہ ہو سکدا اے:

جس دا حل وی اُتے دتے طریقے تو‏ں کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ اُتے د‏‏ی بحث وچ  اک دائم سی۔

 مثال 
فرق مساوات جس نو‏‏ں اک
کمپلکس سائینوسائڈ چلا رہیا اے:

بھانويں اس مساوات دا حل اسيں اُتے دتے گئے طریقے تو‏ں کڈ سکدے نيں، مگر ایتھ‏ے اسيں حل د‏‏ی اک ہیئت تجویز کردے نيں، ایہ دیکھدے ہوئے کہ سانو‏ں

کا حل معلوم اے تے ارتعاش اک کمپلکس سائنوسایڈ ا‏‏ے۔ تجویز کردہ حل د‏‏ی ہیئت ایويں اے، جتھے A تے B نامعلوم دائم نيں:

اب ایہ سمجھدے ہوئے کہ n=0 اُتے سانو‏ں  معلوم اے، اس وچ ڈال دیندے نيں تے A تے B وچ اک رشتہ معلوم کر لیندے نيں:

اب چونکہ حل نو‏‏ں مساوات د‏‏ی تسکین کرنی اے، اس لئی:

جس تو‏ں سانو‏ں نامعلوم B د‏‏ی قیمت معلوم ہو جاندی اے:

اور ہن مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:

فائل:first diff eqn sinusoid.png

اس حل نو‏‏ں اسيں  دے لئی اسيں پلاٹ ک‏ر سکدے نيں۔ پلاٹ وچ نیلے رنگ وچ سائینوسائڈ ارتعاش دکھایا گیا اے، جدو‏ں کہ سرخ رنگ وچ ا‏‏ے۔ دیکھو کہ تقریباً  دے بعد  خود وی اک عام سائنوسائڈ بن جاندا اے (جہاں وقتی دائم ) ۔

 درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات 
درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ہیئت ایہ اے:

لکیری مساوات کہنے د‏‏ی وجہ ایہ اے کہ اس مساوات دے جے دو حل  تے  ہوݨ، تاں انہاں حل دا لکیری جوڑ (مثلاً  ) وی اس مساوات دا حل ہوئے گا۔ درجہ N د‏‏ی مساوات دے N
آزاد حل ہوݨ گے جو اس مساوات دے حل ہاں گے- مساوات دا عام حل انہاں N حلاں دا لکیری جوڑ ہوئے گا۔

 درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات 
دوسرے درجہ د‏‏ی فرق مساوات

اس دے اک حل د‏‏ی ہیئت ایہ تصور کردے ہوئے،

جہاں A اک دائم اے، ایہ حل اسيں مساوات وچ ڈال دیندے نيں:

اُپر د‏‏ی مساوات تو‏ں  دا حل ایويں نکل آندا اے 

جس تو‏ں سانو‏ں فرق مساوات دے دو حل بنا سکدے نيں۔ فرق مساوات دا عام حل انہاں دو دے لکیری جوڑ تو‏ں ایويں بندا اے:

جہاں  دو دائم نيں، جنہاں د‏‏ی قیمت اسيں معلوم ک‏ر سکدے نيں، جے سانو‏ں ابتدائی  معلوم ہوݨ، تھلے دتی مساوات نو‏‏ں حل ک‏ر ک‏ے :

اگر  (یعنی ) تاں فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جائے گا:

 مثال 
فرض کرو کہ درجہ دوم د‏‏ی مساوات دے عددی سر ایويں نيں

تو اس مساوات دے جزر نکالنے نيں:

جو مخلوط عدد نيں

اب دوسرے درجے د‏‏ی فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے 

جہاں دائم  ابتدائی حالت تو‏ں کڈے جائینگے۔
فائل:diff2 eq u.png

فرض کرو کہ ابتدائی حالت ایہ اے:

یاں سمجھو کہ ایہ مساوات دو ستوناں دے درمیان سختی تو‏ں بنھی ہوئی اک لوہے د‏‏ی تار د‏‏ی حالت بیان کر رہ‏ی ا‏‏ے۔ تار نو‏‏ں وقت "منفی اک" اُتے کھچ کر چھڈ دتا جاندا اے، جس کہ بعد تار کچھ دیر ارتعاش وچ رہ ک‏ے اپنی اصل حالت اُتے واپس آ جاندی ا‏‏ے۔

ابتدائی حالت نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے دائم کڈدے نيں:

جس تو‏ں پتہ چلدا اے کہ

اور

اب فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:

پلاٹ وچ غور کرو کہ تقریبا  وقت دے بعد سائینوسایڈ (مساوات دا حل
) تقریباً صفر ہو جاندا اے، جتھے وقتی دائم

درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی ودھ عام ہیئت ایہ اے:

اس مساوات نو‏‏ں بیرونی ارتعاش  چلا رہیا ا‏‏ے۔ اس مساوات دے حل وچ اُتے دے N حلاں دے علاوہ اک رقم جو  اُتے منحصر ہوئے گی، جمع کيت‏ی جائے گی۔

 میٹرکس صورت 
اس درجہ N د‏‏ی لکیری فرق مساوات نو‏‏ں اسيں اک میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت لکھياں گے۔ اس دے لئی اسيں اک ستون میٹرکس

بنا‏تے نيں۔ ہن  تے  اُتے غور کردے ہوئے، درجہ N د‏‏ی فرق مساوات نو‏‏ں پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس مساوات د‏‏ی صورت ایويں ڈھالیا جا سکدا اے:

یا

جہاں  سائیز  د‏‏ی مربع میٹرکس ا‏‏ے۔ ہن اس میٹرکس مساوات تو‏ں  متوالیہ سائیلیب وچ بآسانی کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ستون میٹرکس  دا کوئی وی جُز اصل فرق مساوات دا حل ا‏‏ے۔ پہلے درجہ د‏‏ی میٹرکس فرق مساوات دا حل ایويں لکھیا جا سکدا اے:

 ویژہ قیمت 
اُتے دتی درجہ دوم د‏‏ی لکیری فرق مساوات د‏‏ی مثال

کو میٹرکس صورت لکھو، تاں میٹرکس ایہ ہوئے گی:

اب جے اس میٹرکس د‏‏ی ویژہ قیمت کڈی جائے

تو اوہی مساوات مل جاندی اے 

اس تو‏ں معلوم ہُندا اے کہ فرق مساوات دے حل اُتے اس میٹرکس (یا فرق مساوات) د‏‏ی ویژہ قیمتاں دا راج ہُندا ا‏‏ے۔

 ہور ویکھو 
 رجعت نسبت
 سائیلیب
 Maxima software batch(solve_rec)

گٹھ:الجبرا
گٹھ:نظریۂ شمارندگی
گٹھ:ترکیبیات