ویکٹر سپیس

ایداں دے عناصر دا مجموعہ جتھ‏ے جمع/تفریق دے عمل ممکن ہون تے عناصر نو‏‏ں چھوٹا وڈا کيتا جا سکدا ہو، سمتیہ مکان کہلاندا ا‏‏ے۔ ہن اسيں مکمل تعریف دیندے نيں۔ جے کسی مجموعہ V دے عناصر X، Y، Z، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد اُتے پورے اتراں، تاں ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں سمتیہ مکان کدرے گے تے عناصر نو‏‏ں سمتیہ:
 قواعد 
 جمع
 X+Y   مجموعہ V دا عنصر ہو
 X+Y = Y+X   (مبدلی)
 (X+Y) + Z = X + (Y+Z)   (مشارکی)
 X+0=X   ( صفر شناخت عنصر (0) د‏‏ی موجودگی)
 X+(-X)=0   (جمعیاندی اُلٹ، تفریق ممکن)

اعداد a، b، وغیرہ دے لئی
 اعداد تو‏ں ضرب
 aX   مجموعہ V دا عنصر ہو
 (ab)X=a(bX)   (مشارکی)
 (a+b)X=aX+bX   (توزیعی )
 a(X+Y)=aX+aY   (توزیعی)
 1 X=X   ضربی شناخت عنصر (1) د‏‏ی موجودگی

انگریزی وچ سمتیہ نو‏‏ں vector تے سمتیہ مکان نو‏‏ں vector spaceکہندے نيں۔

 مثال  
فائل:Simtia vetor single.png
اک مُسْتَوی (Plane)ماں کسی وی نکتہ نو‏‏ں دو پیمائشاں دے ذریعہ ڈھونڈا جا سکدا اے، اک ابتدا (origin) مقرر ک‏ر ک‏ے، افقی پیمائیش نو‏‏ں عموماً x لکھیا جاندا اے تے عمودی پیمائیش نو‏‏ں y۔ اس طرح اس نکتہ نو‏‏ں عموماً (x, y) لکھیا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں دو اعداد (جو میدان  وچ نيں) نو‏‏ں اک  میٹرکس دے بطور یاں

لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ یعنی پلین دے کسی وی نکتہ نو‏‏ں بطور سمتیہ یاں

لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ ہن چونکہ ایہ سمتیہ اک میٹرکس نيں، اس لئی میٹرکس حساب دے قائدے استعمال کردے ہوئے سمتیہ مکان د‏‏ی تمام لوازمات پوری ہُندیاں نيں۔ اس لئی  دے نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔  وچ سمتیہ د‏‏ی قطبی صورت دے لئی دیکھو۔ سمتیہ

کو قطبی صورت وچ مطلق قیمت

اور زاویہ

سے دتا جاندا اے تے سمتیہ نو‏‏ں تصویری صورت وچ ابتدا  تو‏ں نکتہ  تک اک تیر دے نشان تو‏ں دکھایا جاندا اے، جس د‏‏ی لمبائی r تے سجے افقی دھُرا (x-axis) تو‏ں زاویہ  ہُندا ا‏‏ے۔ غور کرو کہ قطبی صورت وچ وی نکتہ نو‏‏ں دو اعداد تو‏ں لکھیا جاندا اے (مطلق قیمت تے زاویہ) مگر انہاں دو مقداراں نو‏‏ں بطور میٹرکس نئيں لکھیا جا سکدا (یعنی میٹرکس حساب دے قاعدے لاگو نئيں کیتے جا سکدے)۔

شکل 2 وچ نکتہ (x=a, y=b) نو‏‏ں سمتیہ U تو‏ں دکھایا اے، جتھ‏ے ابتدا (x=0, y=0) اُتے ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح شکل 2 دے نکات نو‏‏ں سمتیہ دے روپ وچ (بطور میٹرکس) ایويں لکھدے نيں:

  شکل 2
 شکل 3

  فائل:simtia vector add.png
 فائل:simtia translated.png



اب سمتیہ U تو‏ں سمتیہ V د‏‏ی طرف ہٹاؤ سمتیہ R تو‏ں دکھایا گیا ا‏‏ے۔ اسنو‏ں میٹرکس ریاضی دے قواعد دے مطابق ایويں لکھیا جا سکدا اے 

غور کرو کہ سمتیہ R د‏‏ی سمت نکتہ (x=a, y=b) تو‏ں نکتہ (x=c, y=d) سیدھی لکیر د‏‏ی طرف اے تے سمتیہ د‏‏ی لمبائی (مطلق قیمت) انہاں نکات دے درمیان وچ سیدھی لکیر وچ فاصلہ ا‏‏ے۔ اس لئی اس سمتیہ نو‏‏ں انہاں نکات دے درمیان وچ ہٹاؤ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ وی دیکھو کہ سمتیہ R چونکہ دو نکتاں دے درمیاں اے، اس لئی جے ابتدا نو‏‏ں کسی تے نکتہ اُتے لے جایا جائے، تاں اس دا اس سمتیہ R اُتے کوئی اثر نئيں پئے گا۔ اس لئی اکثر کہیا جاندا اے کہ سمتیہ ایسی شے اے جو اک مطلق قیمت (magnitude) تے مکان وچ اک رُخ (direction) تو‏ں تعریف ہوئے جاندا ا‏‏ے۔
اسی طرح نکتہ (x=c, y=d) تو‏ں نکتہ (x=e, y=f) دے درمیان وچ ہٹاؤ سمتیہ G اے، جو سمتیہ V نو‏‏ں سمتیہ W وچو‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے حاصل ہُندا ا‏‏ے۔

فرض کرو کہ اسيں نکتہ (x=a, y=b) تو‏ں نکتہ (x=c, y=d) ہٹتے نيں (سمتیہ R ) تے فیر نکتہ (x=e, y=f) د‏‏ی طرف ہٹ جاندے نيں (سمتیہ G )۔ ہن ساڈا کُل ہٹاؤ سمتیہ B اے جو سمتیہ R تے سمیتہ G د‏‏ی جمع ا‏‏ے۔

غور کرو کہ سمتیہ B صرف اپنے شروع تے آخر دے نکات تو‏ں نکل آندا اے (سفر د‏‏ی ابتدا تے آخری منزل تے درمیانی منزل تو‏ں آزاد اے )۔

اب چونکہ سمتیہ اپنی مطلق قیمت تے رُخ تو‏ں تعریف ہوئے جاندا اے، اس لئی کسی سمتیہ نو‏‏ں اس دے متوازی گھسیٹا جا سکدا ا‏‏ے۔ شکل 3 وچ اساں سمتیہ R، B، W، نو‏‏ں گھسیٹ کر انہاں د‏‏ی دُم ابتدا اُتے رکھ د‏تی نيں۔

 سمتیہ تفریق: جیومیٹری 
اب جیومیٹری دے نقطہ نظر تو‏ں سمتیہ تفریق اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ B وچو‏ں R نو‏‏ں تفریق ک‏ر ک‏ے سمتیہ G ملدا اے، G=B-R۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ B تے R د‏‏ی دُماں ملیا دو تے R دے سر تو‏ں B دے سر تک سمتیہ فرق G ا‏‏ے۔

 سمتیہ جمع: جیومیٹری 
اسی طرح جیومیٹری دے نقطہ نگاہ تو‏ں سمتیہ جمع اُتے نظر ڈالدے نيں۔ سمتیہ R تے G نو‏‏ں جمع ک‏ر ک‏ے سمتیہ B ملدا اے، B=R+G۔ اس دا طریقہ ایويں ہويا کہ سمتیہ G د‏‏ی دُم سمتیہ R دے سر دے نال جوڑو تے فیر R د‏‏ی دُم تو‏ں G دے سر تک سمتیہ جمع B ا‏‏ے۔

 مثال  
بعینہ  مکان وچ نکتاں نو‏‏ں بطور  میٹرکس لکھیا جا سکدا اے تے ایہ نکتے اک سمتیہ مکان بنا‏تے نيں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نکات نو‏‏ں بجائے  میٹرکس دے اک  میٹرکس دے بطور وی لکھیا جاندا ا‏‏ے۔) اک سمتیہ نو‏‏ں ایويں لکھیا جائے گا:

مثال دے طور اُتے تن رُخی مستطیل مکان وچ کِسے جسم دا مقام تن پیمائیشاں z، y ،x، تو‏ں دتا جا سکدا اے تے اس طرح اس جسم د‏‏ی سمتار وی تن اعداد تو‏ں دتی جا سکدی ا‏‏ے۔ اس طرح وقت k اُتے جسم دے مقام تے سمتار اُتے مبنی 6رُخی سمتیہ ایويں لکھیا جا سکدا اے:

 مدیدی سمتیہ 
تفصیلی مضمون : مدیدی سمتیہ

ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ، جنہاں دے خطی اجتماع تو‏ں مکان دا کوئی وی سمتیہ بن جاندا ہو، اس مکان دے لئی مدیدی سمتیہ (spanning vectors) دا مجموعہ کہلاندا ا‏‏ے۔
 شکل 4
  فائل:Simtia basis r2.png

شکل 4 وچ  دا مستوی دکھایا گیا ا‏‏ے۔ سرخ دھُرا اُتے واقعہ سمتیہ

اور

(شکل 4 وچ سرخ نکتے)  دے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاندے نيں، کیونجے  مکان دا کوئی وی نکتہ انہاں دو سمتیاں دے لکیری تولیف دے طور اُتے لکھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ مثلاً نکتہ(x,y) ایويں لکھ سکدے نيں:

غور کرو کہ سرخ دھُرا د‏‏ی بجائے اسيں سبز دھُرا وی استعمال ک‏ر سکدے نيں۔ اس دے لئی شکل 4 وچ سبز نکتاں تو‏ں دو سمتیہ دکھائے گئے نيں، جو (سرخ دھُرا دے حوالے تو‏ں ) ایويں نيں:

اور

اب نکتہ (x,y) نو‏‏ں انہاں سبز سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے:

یعنی سرخ دھُرا دے نکتہ (x,y) نو‏‏ں سبز دھُرا وچ نکتہ (a,b) کہیا جائے گا۔ دوسرے لفظاں وچ جو نکتہ
مدیدی سمتیہ e0, e1 دے حوالے تو‏ں (x=0.8, y=1.4) سی، اوہی نکتہ مدیدی سمتیہ v0, v1 دے حوالے تو‏ں (a=1.56, b=0.42) اکھوائے گا۔

اب e0, e1, v0, v1 وی اک مدیدی سمتیہ دا مجموعہ ا‏‏ے۔ اس مجموعہ د‏‏ی مدد تو‏ں اسيں ايس‏ے (x=0.8, y=1.4) نکتہ نو‏‏ں لکھ ک‏ے دیکھدے نيں:

یا

غور کرو کہ اس میٹرکس دے ستون مدیدی سمتیہ نيں تے سانو‏ں ایہ یکلخت لکیری مساوات دا نظام

حل ک‏ر ک‏ے c0, c1, c2, c3 کڈنا نيں۔ ہن چونکہ مساوات صرف دو نيں جدو‏ں کہ متغیر چار، اس لئی اسيں کسی وی دو متغیر نو‏‏ں اپنی مرضی د‏‏ی قیمت دے ک‏ے باقی دو متغیر د‏‏ی قیمتاں مساوات تو‏ں کڈ سکدے نيں۔ دوسرے لفظاں وچ مساوات دے لامحدود حل نيں، جنہاں وچو‏ں چند ایہ نيں:
<table border="1" cellpadding="۔1">
 Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1
 <tr>
 c0
 c1
 c2
 c3
 </td>
   0.5
  0.5
  0.85
  0.42

  0.1
  0.7
 1.0 
 0 

  2
 ‎-3
 2.26
 3.96

 </table>
اس تو‏ں پتہ چلا کہ مدیدی سمتیہe0, e1, v0, v1 دے حوالہ تو‏ں نکات دا اک واحد روپ نئيں۔ شکل 4 تو‏ں ظاہر اے کہ  وچ کوئی وی دو سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، نکات دا واحد روپ نکالنے دے لئی کافی نيں۔  وچ دو تو‏ں زیادہ سمتیہ چننے تو‏ں اک ہی نکتہ دے بوہت سارے روپ ممکن ہوئے جاندے نيں۔ ایہ گل سانو‏ں اگلے موضوع بنیاد سمتیہ د‏‏ی طرف لے جاندی ا‏‏ے۔

 بنیاد سمتیہ 
تفصیلی مضمون: بنیاد سمتیہ

جداں کہ اُتے بیان ہويا کہ ایداں دے سمتیہ دا مجموعہ  جنہاں دے لکیری تولیف (linear combination) تو‏ں سمتیہ مکان دا کوئی وی سمتیہ  ایويں لکھیا جا سک‏‏ے: 

ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں مدیدی سمتیہ کہندے نيں تے نو‏‏ں انہاں مدیدی سمتیے دے حوالے سے

کو سمتیہ 
کی صورت (representation) کہندے نيں۔ اساں دیکھیا کہ ایسا ممکن ہوئے سکدا اے کہ کسی مدیدی سمتیہ مجموعہ دے حوالہ تو‏ں اک ہی سمتیہ د‏‏ی اک تو‏ں زیادہ صورتاں ممکن ہون۔

 بنیاد سمتیہ (تعریف) 
مدیدی سمتیہ دا ایسا مجموعہ جس دے حوالہ تو‏ں مکان دے کسی وی سمتیہ د‏‏ی صرف اک واحد صورت ممکن ہو، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں سمتیہ مکان دا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہندے نيں۔

 مسلئہ اثباندی (بنیاد سمتیہ د‏‏ی لکیری آزادی) 
بنیاد سمتیہ مجموعہ دے تمام سمتیہ آپس وچ باہمی لکیری آزاد ہُندے نيں۔ یعنی بنیاد سمتیہ مجموعہ وچو‏ں کسی سمتیہ نو‏‏ں باقی ماندہ بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے نئيں لکھیا جا سکدا۔ دوسرے لفظاں وچ جے  بنیاد سمتیہ دا مجموعہ اے، تاں درج زیل مساوات دا کوئی حل ممکن نئيں 

یعنی ایداں دے کوئی  نئيں جو اس مساوات د‏‏ی تسکین کر سکن۔

  وچ قدرتی بنیاد سمتیہ 
 وچ تھلے دتے قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ نو‏‏ں  دا قدرتی بنیاد سمتیہ (مجموعہ) کہیا جاندا ا‏‏ے۔

 مثال 
شکل 4 وچ  دے لئی ایہ جوڑے بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں:
 e0, e1
 e0, v0
 e0, v1
 e1, v0
 e1, v1
یعنی کوئی وی دو ایداں دے سمتیہ جو آپس وچ متوازی نہ ہون، بنیاد سمتیہ دا کردار ادا ک‏ر سکدے نيں۔

 بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں (منفرد) صورت 
فرض کرو کہ سمتیہ مکان V دے بنیاد سمتیہ دا اک مجموعہ  اے (ان بنیاد سمتیہ د‏‏ی تعداد n اے )۔ ہن V دے کسی وی سمتیہ v نو‏‏ں انہاں بنیاد سمتیہ دے لکیری تولیف دے طور اُتے ایويں لکھیا جا سکدا اے:

گویا اس بنیاد سمتیہ مجموعہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ v د‏‏ی صورت نو‏‏ں  دے اک رکن دے بطور ایويں لکھیا جا سکدا اے:

  دے بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ 
 وچ دتے گئے بنیاد سمتیہ دے مجموعہ دے حوالے تو‏ں کسی سمتیہ

کی صورت نکالنے دا طریقہ ایہ ا‏‏ے۔ بنیاد سمتیہ دے مجموعہ  نو‏‏ں میٹرکس صورت وچ لکھو، یعنی ایسی میٹرکس جس دا ہر ستون اک بنیاد سمتیہ ہو:

جسنو‏ں زیادہ تفصیل وچ ایويں لکھیا جا سکدا اے (ہر ستون اک سمتیہ اے )

اب درج ذیل یکلخت لکیری مساوات دا نظام دا حل کڈھو 

یہ حل

ان بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں سمتیہ X د‏‏ی صورت (representation) ہوئے گا۔

 قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ 
ایداں دے بنیاد سمتیہ دا مجموعہ  جس وچ شامل تمام سمتیہ آپس وچ قائم الزاویہ ہون، ایداں دے مجموعہ نو‏‏ں قائم الزاویہ (orthogonal) بنیاد سمتیہ دا مجموعہ کہیا جاندا ا‏‏ے۔ یعنی 

دوسرے لفظاں وچ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی میٹرکس

دے لئی ضروری اے کہ
 جتھ‏ے I شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

شکل 4 وچ ایہ جوڑے (جو آپس وچ نوے درجہ دے زاویہ اُتے نيں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ دا جوڑا بنا‏تے نيں:
 e0, e1
 v0, v1
یعنی  وچ قدرتی بنیاد سمتیہ e0, e1 د‏‏ی میٹرکس

قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ ايس‏ے طرح  وچ بنیاد سمتیہ v0, v1 د‏‏ی میٹرکس

قائم الزاویہ (میٹرکس) ا‏‏ے۔ یعنی
 جتھ‏ے I شناخت میٹرکس ا‏‏ے۔

اُتے اساں "بنیاد سمتیہ دے حوالے تو‏ں صورت نکالنے دا طریقہ" دیکھیا۔ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ د‏‏ی صورت وچ  د‏‏ی مساوات ایويں بندی اے:

دوسرے لفظاں وچ نکتہ (سمتیہ) X د‏‏ی سمتیہ  اُتے پروجیکشن (projection)  ا‏‏ے۔

 سمتیہ ذیلی مکان 
تفصیلی مضمون: لکیری ذیلی مکان

تعریف: ذیلی مجموعہ (subset): اک مجموعہ (set) دا ذیلی مجموعہ وچ اصل مجموعہ مٰٰاں موجود عنصر وچو‏ں کچھ عناصر ہون گے۔

سمتیہ مکان دے مجموعہ دا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود وی اک سمتیہ مکان ہو، نو‏‏ں سمتیہ ذیلی مکان کہندے نيں۔ انگریزی وچ اسنو‏ں vector subspace کہندے نيں۔ کوئی وی ذیلی مجموعہ سمتیہ مکان دے قواعد 2 تو‏ں 5 پورے کريں گا۔ ایہ جاننے دے لئی ذیلی مجموعہ اک سمتیہ مکان اے یا نہٰاں، سانو‏ں صرف اسنو‏ں قواعد 1 دے لئی پرکھنا ہُندا ا‏‏ے۔

مثال: جے ، تاں سمتیہ مکان  د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان  ہوئے گی۔

فائل:simtia planes 3 2.png
مثال: تصویر وچ معکب مکان  د‏‏ی اک سمتیہ ذیلی مکان نیلے پلین تو‏ں دکھایا گئی ا‏‏ے۔  وچ سمتیہ تن اعداد (معکب د‏‏ی تن سمتاں X، Y، Z، د‏‏ی اطراف پیمائیش، ابتدا تو‏ں ) تو‏ں ایويں دتا جاندا اے،

، جدو‏ں کہ سمتیہ ذیلی مکان (نیلا پلین) اُتے سمتیہ ایويں اے 

جو میٹرکس تفاعل دے ذریعہ ایويں لکھیا جا سکدا اے 

غور کرو کہ اگرچہ نیلا پلین صرف دو رُخی اے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) دے لحاظ تو‏ں فیر وی اس دا کوئی نکتہ لبھن دے لئی تن عدد چاہیے نيں۔ جے اسيں انہاں قدرتی بنیاد سمتیہ نو‏‏ں ایداں دے گھماواں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے پلین دے متوازی ہوئے جاواں، تاں انہاں نويں بنیاد سمتیہ د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دا کوئی وی نکتہ لکھدے ہوئے تیسرا عدد صفر ہوئے گا۔ اس تناظر وچ لکیری استحالہ وچ مثال 1 وی دیکھو، جس د‏‏ی رو تو‏ں نیلے پلین دے کسی نکتہ نو‏‏ں لکھنے دے لئی دو عدد کافی ہوئے سکدے نيں۔ گویا نیلا پلین  د‏‏ی سمتیہ ذیلی مکان اے جس دا بُعد (ڈائیمینشن) 2 ا‏‏ے۔

 ہور ویکھو 
 میٹرکس
 لکیری استحالہ

گٹھ:تجریدی الجبرا
گٹھ:ریاضیا‏تی ساختاں
گٹھ:سمتیہ
گٹھ:خطی الجبرا
گٹھ:نظریہ گروہ
گٹھ:طبیعیاندی تصورات