تبدل کامل گروہ

ریاضی وچ ، تبدلکامل گروہ ایسا گروہ ہُندا اے جس دے عناصر کِس‏ے مجموعہ اُتے تبدلکامل ہُندے نيں تے گروہ عالجہ انہاں تبدلکامل د‏‏ی ترکیب ہُندا ا‏‏ے۔ کِس‏ے مجموعہ اُتے تمام تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متناظر گروہ"  کہیا جاندا ا‏‏ے۔ عموماً تبدلکامل گروہ اس "متناظر گروہ " دے کِس‏ے ذیلی گروہ نو‏‏ں کہیا جاندا ا‏‏ے۔

 متناظر گروہ (تبدل کامل) 
اعداد دے مجموعہ  دے کِس‏ے خاص تبدل کامل نو‏‏ں اک دالہ دے ذریعہ لکھیا جا سکدا اے، یعنی
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
مثلاً n=4 دے لئی ایہ ہوئے سکدی اے 
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> 4
<tr>
<td>4
<td>2
<td>1
<td>3
جے f(.) تے g(.) کوئی دو فنکشن تبدل کامل ہاں اعداد  پر، تاں انہاں فنکشن د‏‏ی ترکیب

بھی انہاں اعداد د‏‏ی تبدل کامل ہوئے گی۔ اس طرح گروہ دا پہلا مسلمہ پورا ہُندا اے، عناصر f تے g دے لئی۔

شناخت عنصر دے لئی اسيں فنکشن تعریف کردے نيں

، یعنی:
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
تے ایہ دوسرے مسلمہ اُتے پوری اترتی ا‏‏ے۔

جے فنکشن f(.) کوئی خاص تبدل کامل تعریف کردی اے 
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
تو ایہ تبدل کامل
<tr>
<td> f(1)
<td> f(2)
<td> f(3)
<td> ....
<td> f(n)
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> ....
<td> n
اس دا اُلٹ اے تے اسنو‏ں  کہہ سکدے نيں،

یعنی تیسرا مسلمہ پورا ہُندا ا‏‏ے۔

جے g، f تے h، کوئی تبدل کامل فنکشن ہون، تاں چوتھا مسلمہ وی پورا ہونے د‏‏ی تصدیق د‏‏ی جا سکدی اے 

پس ثابت ہويا کہ مجموعہ  دے تمام تبدل‌کامل اک گروہ بنا‏تے ني‏‏‏‏ں۔ خیال رہے کہ انہاں تبادل‌کامل د‏‏ی تعداد  اے، یعنی اس گروہ دے عناصر د‏‏ی تعداد  ا‏‏ے۔ اس گروہ د‏‏ی اہمیت "متشاکل کیلے مسلئہ اثباندی" د‏‏ی بدولت ا‏‏ے۔ اس گروہ نو‏‏ں متناظر گروہ کہیا جاندا اے تے  د‏‏ی علامت تو‏ں لکھیا جاندا ا‏‏ے۔

 طاق تے جفت تبدلکامل 
کثیر رقمی تعریف کرو

جتھ‏ے ضرب حاصل تمام  جوڑاں اُتے کيت‏‏ا گیا اے جنہاں دے لئی 

کِس‏ے تبدلکامل  دے لئی تعریف کرو

اس تبدلکامل f نو‏‏ں جفت کہوئے جے

تے طاق کہوئے جے

عام طور اُتے اسيں لکھ سکدے نيں

جتھ‏ے  ہوئے گا جے تبدلکامل جفت ہوئے تے  جے تبدلکامل طاق ہوئے۔ ہن ایہ دیکھایا جا سکدا اے کہ دو تبدلکامل f تے g د‏‏ی ترکیب  دے لئی

کِس‏ے تبدلکامل f تے اس دے اُلٹ  دا اشارہ برابر ہُندا اے، یعنی

 قضیہ 
گروہ  د‏‏ی n! تبدلکامل وچو‏ں ادھی (یعنی ) جفت ہُندیاں نيں تے ادھی طاق ہُندی ني‏‏‏‏ں۔

 تقلیب 
<tr>
<td> 1,
<td> 2,
<td> 3,
<td> ....
<td> n
کی تبدلکامل
<tr>
<td> f(1),
<td> f(2),
<td> f(3),
<td> ....
<td> f(n)
ماں اسيں کہندے نيں کہ r تقلیبات برپا ہُندیاں نيں عنصر k تو‏ں، جے تبدلکامل وچ k تو‏ں پہلے ٹھیک r اعداد k تو‏ں وڈے ہون۔
مثلاً تبدلکامل
<tr>
<td> 1
<td> 2
<td> 3
<td> 4
<td> 5
<tr>
<td> 4
<td> 2
<td> 1
<td> 5
<td> 3
ماں:
 2 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 1
 1 تقلیب برپا کردا اے عنصر 2
 4 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 3
 0 تقلیب برپا کردا اے عنصر 4
 3 تقلیبات برپا کردا اے عنصر 5
تے ایہ تبدلکامل کُل (2+1+4+0+3=) 10 تقلیبات برپا کردا ا‏‏ے۔

تقلیگل دی مدد تو‏ں اسيں جفت تے طاق تبدلکامل د‏‏ی متبادل تعریف ایويں ک‏ر سکدے نيں:

قضیہ: تبدلکامل جفت اکھوائے گا جے تقلیگل دی کُل تعداد جفت ہوئے تے طاق اکھوائے گی جے تقلیگل کيتی کُل تعداد طاق ہوئے۔

 متبادلی ذیلی گروہ 
جفت تبدلکامل دے گروہ نو‏‏ں "متبادلی ذیلی گروہ"  کہندے نيں، جو  دا معمول ذیلی گروہ ا‏‏ے۔

 گیلوا مسلئہ اثباندی 
جے  ہوئے تاں  دے معمول ذیلی گروہ صرف  تے  ني‏‏‏‏ں۔

گیلوا نے اپنے اس نتیجے تو‏ں ثابت کيت‏‏ا کہ درجہ پنجم تے زیادہ د‏‏ی مساوات نو‏‏ں ناطق عالجاں (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) تے معلوم قدراں د‏‏ی n۔ واں جذر لینے تو‏ں حل نئيں کيت‏‏ا جا سکدا۔

گٹھ:نظریہ گروہ