سٹیٹیسٹیکل ہائیپوتھیسیس ٹیسٹنگ

نظریۂ احتمال دے اصولاں دے مطابق تجربات تو‏ں کسی مفروضہ دے سچ یا جھوٹھ ہونے دا اندازہ لگانے نو‏‏ں احصائی اختبار مفروضہ کہندے نيں۔

 تعریفات 
 نمونہ: کسی تجربہ یا مشاہدہ تو‏ں حاصل ہونے والے ڈیٹا نو‏‏ں احصائی بولی وچ نمونے (یا نمونہ جات) کہندے نيں۔ انہاں ڈیٹا دا ماخذ تصادفی ہُندا اے، اس لئی انہاں ماخذ نو‏‏ں تصادفی متغیر سمجھیا جاندا ا‏‏ے۔
 آبادی:وہ گروہ جس تو‏ں (کے ) اسيں نمونہ جات حاصل کرن، نو‏‏ں احصائی بولی وچ "آبادی" کہیا جاندا ا‏‏ے۔
 احصائیۂ اختبار: احصائیہ اختبار نمونہ جات دا متعین کردہ دالہ ہُندا ا‏‏ے۔ اس لئی احصائیہ اختبار وی تصادفی متغیر ہُندا ا‏‏ے۔ اس د‏ی مدد تو‏ں نمونہ جات تے کسی مفروضہ دے درمیان مطابقت نو‏‏ں جانچا جاندا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں  لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد n اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ

اے، جتھ‏ے

مشاہدات دا نمونہ اوسط اے،  تصادفی متغیر  دا عدیمہ مفروضہ دے تحت اوسط اے تے  تصادفی متغیر  دا معیاری انحراف۔
 عدیمہ مفروضہ:وہ بیان جس د‏‏ی وقعت ناپنے دے لئی "احصائی اختبار مفروضہ" دا استعمال کیتا جائے۔ وقعت ناپنے دا ایہ "احصائی اختبار" ایويں بنایا جاندا اے کہ مشاہدات د‏‏ی روشنی وچ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شہادت دا معائنہ کیتا جا سک‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ عام طور اُتے "کوئی اثر نہٰاں " یا "کوئی فرق نئيں پیندا" ورگی صورت دا بیان ہُندا ا‏‏ے۔ عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں عموماً  لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
 متبادل مفروضہ: اوہ بیان جو عدیمہ مفروضہ دے جھوٹھ ہونے د‏‏ی صورت وچ سچا ثابت ہوئے۔ اسنو‏ں عموماً  لکھیا جاندا ا‏‏ے۔
 P-قدر: ایہ فرض کردے ہوئے کہ "عدیمہ مفروضہ" سچ اے،P-قدر اوہ احتمال اے کہ "احصایہ اختبار" د‏‏ی قدر احصایہ د‏‏ی مشاہدات‏ی قدر تو‏ں زیادہ دور ہوئے گی۔ P-قدر جِنّا کم ہوئے گی، اِنّا ہی عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کرنے دے لئی شہادت زیادہ ہوئے گی۔ تصویر 1 وچ احصائیہ Y معیاری معمول توزیع شدہ دکھایا گیا ا‏‏ے۔ جے مشاہدات دے بعد Y د‏‏ی قدر  آندی اے تاں P-قدر (دو طرفی اختبار دے لئی) سرخ رنگ دے رقبہ دے برابر ہوئے گی،

 احصائی وُقعت:مشاہدہ (یا تجربہ) کرنے تو‏ں پہلے ایہ مقرر ک‏ر ليا جاندا اے کہ جے P-قدر کسی خاص عدد  تو‏ں کم ہوئی، تاں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں جھوٹھ قرار دیندے ہوئے متبادل مفروضہ نو‏‏ں سچ سمجھیا جائے گا۔  نو‏‏ں وقعت سطح کہیا جاندا ا‏‏ے۔ جے P-قدر کم ہو  تو‏ں، تاں اسيں کہندے نيں کہ مشاہدادت احصائی طور اُتے وقعت رکھدے نيں، سطح  پر۔
 طاقت:کسی سطح  دے اختبار دے لئی، اوہ احتمال کہ عدیمہ مفروضہ رَد کر دتا جائے گا، جدو‏ں متبادل مفروضہ درست ہو کسی اوسط  دے نال۔ ظاہر اے کہ ایہ احتمال (طاقت) اوسط  دا فنکشن ہُندا ا‏‏ے۔
 غلطیاں : فیصلہ وچ دو قسم د‏‏ی غلطیاں ہو سکدیاں نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ  سچ ہو مگر اختبار دے ذریعہ فیصلہ "رَد " ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم I د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔ جے اصل وچ مفروضہ  سچ ہو مگر اختبار دا فیصلہ "قبول " ہو، تاں اس غلطی نو‏‏ں قسم II د‏‏ی غلطی کہندے نيں۔

 اصل حالت



 H0 سچ
 Ha سچ

  اختبار پر
 رَد H0
 غلطی قسم I
 صحیح فیصلہ

  مبنی فیصلہ
 قبول H0 
 صحیح فیصلہ
 غلطی قسم II


جے اختبار د‏‏ی وقعت سطح  مقرر ہو تاں  ہی قسم I غلطی د‏‏ی قدر ا‏‏ے۔ متبادل مفروضہ  دے اوسط  دے لئی جے اختبار د‏‏ی طاقت  اے، تاں قسم II غلطی د‏‏ی قدر

ہوئے گی۔


 آبادی د‏‏ی اوسط دا احصائی اختبار 
 مثال 1 (معلوم تفاوت) 
اک دواساز ادارہ اک محلول بناندا اے جس وچ فاعل جزو د‏‏ی کوئی خاص اوسط ارتکاز  ہُندی ا‏‏ے۔ دواسازی دے طریقہ کار تو‏ں ایہ معلوم اے کہ اس جزو دا معیاری انحراف  گرام فی لیٹر ا‏‏ے۔ تظبیطِ کیفیت دے لئی محلول دے نمونہ جات دا ارتکاز ناپیتا جاندا ا‏‏ے۔ انہاں مشاہدات تو‏ں اسيں ایہ جاننا چاہندے نيں کہ کیتا فاعل جزو د‏‏ی ارتکاز 0.90005 گرام فی لیٹر اے ؟ اس لئی عدیمہ مفروضہ ہوئے گا

تے متبادل مفروضہ

مشاہدات نو‏‏ں اسيں  لکھدے نيں، جنہاں د‏‏ی تعداد n ا‏‏ے۔
اس "احصائی اختبار مفروضہ" مسلئہ دے لئی اسيں اختبار احصائیہ

چندے نيں، جتھ‏ے

مشاہدات دا نمونہ اوسط ا‏‏ے۔ مرکزی حد مسلئہ اثباندی د‏‏ی رو تو‏ں احصائیہ Y معیاری معمول توزیع شدہ سمجھیا جائے گا (تصویر 1, عدیمہ مفروضہ  دے تحت)

غور کرو کہ اس احصائیہ دے استعمال کیت‏‏ی وجہ تو‏ں تصادفی متغیر Y دا اوسط صفر تے معیاری انحراف 1 ہو جاندا اے (عدیمہ مفروضہ دے تحت)۔

اب اسيں ایہ توقع نئيں کردے کہ ناپے جانے والے مشاہدات دا ارتکاز عین  ہوئے گا۔ جے مشاہدات دا نمونہ اوسط  تو‏ں خاصا دور ہويا تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رَد کر دیؤ گے۔ مشاہدات تو‏ں پہلے اسيں احصائی وقعت د‏‏ی سطح  مقرر کردے نيں۔ یعنی جے احصایہ د‏‏ی P-قدر  تو‏ں کم ہوئی تاں اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر سکن گے۔
فرض کرو کہ ارتکاز چار بار تجربہ تو‏ں ناپیتا جاندا اے تے

اس لئی

تے احصایہ د‏‏ی قدر

اوسط  تو‏ں  فاصلہ اُتے ا‏‏ے۔ تصویر وچ (معمول توزیع) اسيں دیکھدے نيں کہ  دے لئی P-قدر 0.028 اے :

چونکہ ایہ  تو‏ں کم اے، اس لئی اسيں عدیمہ مفروضہ نو‏‏ں رد کر دیندے نيں، یعنی محلول وچ فاعل جزو دا ارتکاز 0.90005 نئيں ا‏‏ے۔
 فیصلہ تے وقعت 
کچھ مسائل وچ دو مفروضاں دے درمیان فیصلہ کرنے د‏‏ی ضرورت ہُندی ا‏‏ے۔ انہاں وچ P-قدر تے وقعت  سطح دا موازنہ ک‏ر ک‏ے فیصلہ ک‏ر ليا جاندا ا‏‏ے۔ دوسرے مسائل وچ فیصلے د‏‏ی ضرورت نئيں ہُندی، انہاں وچ P-قدر بتا دینا کافی ہُندا اے جس تو‏ں پڑھنے والا اندازہ لگیا سکدا اے کہ عدیمہ مفروضہ دے خلاف شواہد د‏‏ی وقعت کیتا ا‏‏ے۔
 طاقت 
چونکہ اختبار د‏‏ی سطح 5 فیصد مقرر اے ()، اس لئی عدیمہ مفروضہ اس وقت رَد ہُندا اے جدو‏ں  یا ۔ یعنی ارتکاز دے نمونہ اوسط د‏‏ی قدر بندی اے،

اب جے مفروضہ  دے تحت ارتکاز د‏‏ی اوسط  اے، تاں متبادل مفروضہ سچ منیا جائے گا جے

(خیال رہے کہ تصادفی متغیر Y معیاری معمول توزیع شدہ ا‏‏ے۔ )
اس لئی اختبار د‏‏ی طاقت  دے لئی

(92.4%) ہوئے گی۔

 نامعلوم تفاوت 
جے مشاہدات (نمونہ جات) نو‏‏ں اسيں  لکھياں، جنہاں د‏‏ی تعداد n اے، تاں آبادی دے اوسط دے لئی اک عام استعمال ہونے والا اختبار احصائیہ

اے، جتھ‏ے

مشاہدات دا نمونہ اوسط اے،  تصادفی متغیر  دا اوسط اے تے  تصادفی متغیر  دا معیاری انحراف۔ جدو‏ں نمونہ جات معمول توزیع شدہ ہاں، تاں احصائیہ Y وی معمول توزیع شدہ ہوئے گا۔ مگر جے تفاوت  معلوم نہ ہو، تاں اسنو‏ں مشاہدات د‏‏ی مدد تو‏ں ایويں تخمینہ کردے ہوئے

احصائیہ

استعمال کیتا جاندا ا‏‏ے۔ ایہ T احصائیہ t-توزیع شدہ () ہُندا اے (جب مشاہدات معمول توزیع شدہ ہاں)۔ اُتے د‏‏ی مثال وچ احصائیہ د‏‏ی اقدار (P-قدر وغیرہ) t-توزیع نو‏‏ں استعمال کردے ہوئے کڈی جان گی۔

گٹھ:سائنس