گاسین اخراج

Gaussian elimination

گاسین اخراج یکلخت لکیری مساوات دا نظام دا حل نکالنے دا اک تیز طریقہ اے جو اکثر شمارندہ دے الخوارزمیہ وچ استعمال کیتا جاندا ا‏‏ے۔

n متغیر  وچ m یکلخت لکیری مساوات دا نظام، جتھ‏ے  تے  دائم نيں:

کو بطور افزائشی میٹرکس ایويں لکھیا جاندا اے 

جو عمل کرنے تو‏ں مساوات دے نظام دے حل اُتے کوئی فرق نئيں پیندا، انہاں نو‏‏ں افزائشی میٹرکس دے حوالے تو‏ں ایويں بولا جا سکدا اے:
 اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دے دو
 دو قطاراں دا باہمی تبادلہ کر دو
 اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دینے دے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسنو‏ں کسی دوسری قطار وچ جمع کر دو

ان عملیات نو‏‏ں ابتدائی قطار عملیات کہیا جاندا ا‏‏ے۔
 elementary row operations = ابتدائی قطار عملیات

گاسین اخراج دے طریقہ وچ مساوات دے حل د‏‏ی طرف جانے دے لئی افزائشی میٹرکس نو‏‏ں ابتدائی قطار عملیات دے ذریعہ ترتیبہ ہیئت وچ لے جاندے نيں۔
تعریف: جے میٹرکس وچ مندرجہ ذیل خصوصیات ہاں، تاں میٹرکس نو‏‏ں ترتیبہ ہیئت کہندے نيں:
 جے قطار سب صفر نہ ہو، تاں قطار دا پہلا غیر صفر جُز (کبھے طرف تو‏ں ) اک (1) ہوئے۔ اس 1 نو‏‏ں "اول 1" کہندے نيں۔
 جے کچھ ایسی قطاراں ہو جو تمام صفر ہاں، تاں ایہ قطاراں سب تو‏ں تھلے ہاں
 کسی وی دو قطاراں (جو غیر صفر ہاں) وچ اُتے والی قطار دا "اول 1" تھلے والی قطار دے "اول "1 دے کبھے طرف ہونا چاہیے۔
 row echelon form=ترتیبہ ہیئت
 leading=اول
مثال دے طور اُتے میٹرکس

ترتیبہ ہیئت وچ ا‏‏ے۔
جب میٹرکس اس ہیئت وچ آ جائے تاں نظام دا حل آسانی تو‏ں "الٹا تبادلہ" دے ذریعہ کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔
 back substitution=الٹا تبادلہ
اب اسيں اک مثال دے ذریعہ اُتے والے عملیات استعمال کردے ہوئے لکیری مساوات دا نظام حل کرنے دا گاسین اخراج دا کا طریقہ سمجھاندے نيں:

 مثال 
 تاں متغیر وچ تن لکیری مساوات دے نظام

کو افزائشی میٹرکس دے بطور لکھو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلے ستون (کبھے طرف تو‏ں ) وچ مطلق قیمت وچ سب تو‏ں وڈا عنصر -5 ا‏‏ے۔ اس لئی اسيں تیسری قطار نو‏‏ں سب تو‏ں اُتے لے آندے نيں۔ یعنی پہلی تے تیسری قطار دا تبادلہ۔

 اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں -1/5 تو‏ں ضرب دو (تو افزائشی میٹرکس ایويں ہو جائے گی)

 اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں -3 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار نو‏‏ں 2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو

 ہن اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں بھُل جاؤ تے اس تو‏ں تھلے د‏‏ی قطاراں نو‏‏ں دیکھو۔ دوسرے ستون وچ مطلق قیمت وچ سب تو‏ں وڈی رقم (-22/5) سب تو‏ں اُتے اے اس لئی سانو‏ں قطار تبادلہ کرنے د‏‏ی ضرورت نئيں۔ اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار نو‏‏ں -5/22 تو‏ں ضرب دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار نو‏‏ں -7/5 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے اسنو‏ں تیسیر قطار وچ جمع کر دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس د‏‏ی تیسری قطار نو‏‏ں 1/5 تو‏ں ضرب دو

اب ایہ میٹرکس ترتیبہ ہیئت وچ آ گئی ا‏‏ے۔ اس میٹرکس دا نظام ایويں لکھیا جا سکدا اے:

 دیکھو کہ آخری مساوات تو‏ں سانو‏ں  د‏‏ی قیمت معلوم ہو چک‏ی اے:

اب ایہ قیمت اسيں دوسری مساوات وچ ڈال کر  د‏‏ی قیمت حاصل کر لیندے نيں:

اب  تے  د‏‏ی قیمتاں پہلی مساوات وچ ڈال کر  د‏‏ی قیمت ایويں معلوم ہُندی اے:

تو پورے لکیری مساوات نظام دا حل ایويں ہويا

 مٰیٹرکس دا اُلٹ کڈنا 
گاسین اخراج جداں طریقے تو‏ں اک میٹرکس دا اُلٹ کڈیا جا سکدا ا‏‏ے۔ اس دے لئی  میٹرکس A نو‏‏ں شناخت میٹرکس  دے نال افزائش ک‏ر ک‏ے لکھدے نيں 
فیر اس افزائش میٹرکس اُتے اَگڑ پِچھڑ بنیادی قطار عمل اس طرح کردے نيں کہ اس دا روپ  جائے۔ ہن مٰیٹرکس A تے B اک دوسرے دا الٹ ہون گے۔
یعنی

یہ طریقہ اسيں اک مثال دے ذریعہ سمجھاندے نيں:

 مثال 
میٹرکس

کو مقلوب کرنا مقصود ا‏‏ے۔
 اوہدی شناخت میٹرکس تو‏ں افزائش کردے ہوئے:

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں 1/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں -3 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ پہلی قطار نو‏‏ں -5 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں -2/13 تو‏ں ضرب دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں 7/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں تیسری قطار وچ جمع کر دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں -13/110 تو‏ں ضرب دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں 11/13 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں دوسری قطار وچ جمع کر دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ تیسری قطار نو‏‏ں 1/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں پہلی قطار وچ جمع کر دو

 اُتے د‏‏ی میٹرکس وچ دوسری قطار نو‏‏ں -3/2 تو‏ں ضرب دے ک‏ے جو حاصل ضرب آئے، اسنو‏ں پہلی قطار وچ جمع کر دو

 ہن ساڈے پاس کبھے طرف شناخت میٹرکس آ گئی ا‏‏ے۔ اس لئی سجے جانب میٹرکس

اصل میٹرکس دا الٹ ا‏‏ے۔

 نوٹ 
جے کسی مرحلہ اُتے تمام صفر قطار مل جائے تاں اس تو‏ں ایہ نتیجہ نکلدا اے کہ میٹرکس مقلوب نئيں (یعنی الٹ ممکن نئيں)۔

 ابتدائی میٹرکساں 
اُتے اساں بنیادی قطار عملیات بیان کیتے، جو د‏‏ی ایہ نيں:
 اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دے دو
 دو قطاراں دا باہمی تبادلہ کر دو
 اک قطار نو‏‏ں کسی دائم عدد تو‏ں ضرب دینے دے بعد جو حاصل ضرب قطار ملے، اسنو‏ں کسی دوسری قطار وچ جمع کر دو

تعریف: ابتدائی میٹرکس:
ایسی میٹرکس جو شناخت میٹرکس اُتے کوئی وی ابتدائی قطار عمل تو‏ں حاصل ہو نو‏‏ں ابتدائی میٹرکس کہندے نيں۔

ابتدائی میٹرکس د‏‏ی خوبی ایہ اے کہ اس تو‏ں کسی میٹرکس A" نو‏‏ں ضرب دینے تو‏ں میٹرکس A اُتے ابتدائی قطار عمل ہو جاندا ا‏‏ے۔
 مثلاً

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی  میٹرکس د‏‏ی دوسری قطار 3 تو‏ں ضرب کھا جاندی ا‏‏ے۔
 مثلاً

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی  میٹرکس د‏‏ی دوسری تے تیسری قطاراں دا باہمی تبادلہ ہو جاندا ا‏‏ے۔
 مثلاً

ابتدائی میٹرکس تو‏ں ضرب دینے تو‏ں کسی وی  میٹرکس د‏‏ی پہلی قطار وچ تیسری قطار دا 2 تو‏ں حاصل ضرب جمع ہو جاندا ا‏‏ے۔
 ابتدائی میٹرکس =Elementary matrix

ابتدائی میٹرکس ہمیشہ مقلوب میٹرکس ہُندی ا‏‏ے۔

 میٹرکس الٹ طریقہ د‏‏ی وجہ 
اُتے اساں میٹرکس الٹ نکالنے دا طریقہ بنیادی قطار عملیات دے ذریعہ نکالنے دا طریقہ بیان کیتا جس وچ  میٹرکس A دا الٹ نکالنے دے لئی افزائش میٹرکس  اُتے بنیادی قطار عملیات کیتے جاندے نيں حتی کہ افزائش میٹرکس دا روپ  ہو جائے۔ یعنی افزائش میٹرکس دا A والا حصہ شناخت میٹرکس وچ تبدیل ہو جائے۔ اس طریقہ نو‏‏ں ابتدائی میٹرکس د‏‏ی مدد تو‏ں ایويں سمجھیا جا سکدا ا‏‏ے۔ فرض کرو کہ میٹرکس اُتے بنیاد قطار عمل انہاں K ابتدائی میٹرکس (میٹرکساں) تو‏ں ضرب دے برابر نيں:

تو میٹرکس الجبرا د‏‏ی رو سے

یعنی اوہی عمل شناخت میٹرکس نو‏‏ں A'' دے الٹ وچ بدل دین گے۔

 ہور ویکھو 
 یکلخت لکیری مساوات دا نظام
 مقلوب میٹرکس
 سائیلیب help slash

 باہرلے جوڑ 
 سائیلیب سبق

گٹھ:لکیری الجبرا
گٹھ:ریاضی