Prinsipi dij tiroj ëd Dirichlet

Ël prinsipi dij tiroj ëd Dirichlet, o prinsipi dla colombera, a fortiss che si n oget a son piassà an k scàtole, andoa n e k a son d'antregh positiv e n>k, antlora almanch na scàtola a conten pì che n'oget.

Cost prinsipi a peul esse formolà an fortend che minca iniession  ëd n'ansem finì andrinta a chiel-midem a l'é ëdcò na suriession.

 La dimostrassion 
A basta prové che, për tuti ij nùmer naturaj m , minca iniession  a l'é na suriession.
La dimostrassion as fa për andussion ansima a m.

 Base 
La base dl'andussion a ven dlongh: si m=0 o m=1 a-i é mach na fonsion g possìbil, e a l'é na bijession.

 Pass d'andussion 
Admetoma l'arzultà për chèich m>0 e dimostroma che minca iniession  a l'é n'iniession.
A-i son tre cas da consideré.

 Prim cas 
Ël nùmer m a l'é nen ant la plancia ëd g.
Ch'as consìdera la restrission h ëd g a {0,...,m-1}.
Costa a l'é n'iniession e soa plancia a l'é contnùa an {0,...,m-1}.
Për l'ipòtesi d'andussion, as oten che la plancia d'h a l'é {0,...,m-1}.
Ma sòn a l'é impossìbil, dagià che ëdcò g(m)<m e g a l'é n'iniession.

 Scond cas 
g(m)=m.
Antlora la restrission h ëd g a {0,...,m-1} a l'é torna n'iniession e donca na bijession.
Donca ëdcò g a l'é na bijession.

 Ters cas 
Ël ters cas, ël pì anteressant, a l'é cand a esisto dij nùmer u,v<m taj che
g(u)=m, g(m)=v.
Antlora, ch'as definissa la fonsion  për mojen dj'equassion

Antlora h a l'é n'iniession, përchè a va d'acòrd con g ansima a tuti j'argoment gavà u, anté ch'a pija ël valor v; d'àutra part  për tut j<m.
L'ipòtesi d'andussion a spòrz antlora che la plancia d'h a l'é tut {0,...,m} e da sòn a-j ven che ëdcò g a l'é surietiva.

 D'àutre formolassion 
Na formolassion alternativa dël prinsipi a l'é che minca suriession  da n'ansem finì an chiel-midem a l'é n'iniession.

Categorìa:Combinatòria