Determinatëssa

La determinatëssa a l'é un soget dë studi ant la teorìa descritiva dj'ansem.

Për minca sot-ansem A d' as costruiss un gieugh  giugà da doi giugador I e II parèj: a l'ancamin I a gieuga un nùmer natural ; apress II a rëspond an giugand un nùmer natural ; peui I a sern un nùmer natural ; ël giugador II a sern  e via fòrt.
Ël gieugh a chita apress ω mòsse.
Si la sequensa  a l'é an A, antlora I a vagna; dësnò a l'é II a vagné.

Le definission
Pijà , ch'as consìdera ël gieugh corëspondent .

Na partìa a l'é qualsëssìa sequensa .
Për minca ,  a l'é la mòssa nùmer n dël giugador I e  a l'é la mòssa nùmer n dël giugador II.

Stategìe e strategìe ch'a vagno
Na strategìa (për I o për II) a l'é na régola ch'a dis al giugador che mòssa fé, an dipendensa dle mòsse già giugà da tuti doi.
Na strategìa a l'é na strategia ch'a vagna s'ël giugador corëspondent, an andasendje dapress, a vagna sempe.

Donca, na strategìa për I a l'é na fonsion σ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd nùmer naturaj ëd longheur cobia e ij valor a son dij nùmer naturaj.
Ël giugador I a gieuga  conforma a la strategìa σ si  e via fòrt.
Parèj, si I a gieuga conforma a σ, antlora la partìa a l'é determinà da σ e da la sequensa  dle mòsse ëd l'àutr.
Sa partìa as denòta .
Na strategìa σ për ël giugador I a l'é na strategìa ch'a vagna si , visadì cand tute le partìe che I a gieuga conforma a σ a son an A.

Ant l'istessa manera, na strategìa për II a l'é na fonsion τ dont ël domini a l'é l'ansem dle sequense ëd naturaj ëd longheur dëscobia e ij valor a son ëd nùmer naturaj.
Assignà  e na strategìa τ për II, con  as denòta la partìa anté che I a gieuga a e II a rëspond conforma a τ.
Na strategìa τ për II a l'é na strategìa ch'a vagna si .

Ëd tansantan as consìdero ëdcò dij gieugh  anté che le mòsse a son nen ëd nùmer naturaj ma element ëd chèich ansem S.
Na partìa a l'é antlora na sequensa  e l'arzultà dla partìa a dipend se  o  (ambelessì A l'é un sot-ansem d').

L'assiòma ëd determinatëssa
Ël gieugh  as dis determinà si un dij doi giugador a l'ha na strategìa ch'a vagna.
Un dj'arzultà pi amportant ant la teorìa descritiva dj'ansem a l'é la dimostrassion ëd Martin che  a l'é determinà për minca sot-ansem borelian d'.
Ës teorema a l'é dël 1975; dël 1985, Martin a l'ha publicà na dimostrassion simplificà.

L'assiòma ëd determinatëssa (AD, proponù da Mycielski e Steinhaus dël 1962) a fortiss che për qualsëssìa  ël gieugh  a l'é determinà.
Cost assiòma as peul limitesse a dle famije particolar d'ansem.
Për esempi, l'assiòma ëd determinatëssa projetiva (PD, projective determinacy) a l'é l'assiòma ch'a fortiss che  a l'é determinà për minca ansem projetiv.

An dij travaj dal 1963 al 1966, Mycielski a l'ha smonù na tratassion aprofondìa dle conseguense dl'assiòma ëd determinatëssa e ëd problema duvert lià.

Dagià che la quantità dë strategìe a l'é , un rasonament diagonal a fa vëdde che l'assiòma ëd determinatëssa a l'é incompatìbil con l'assiòma ëd selession:

Teorema. Sota l'assiòma ëd selession, a-i é , tal che ël gieugh  a l'é nen determinà.
Cost teorema a l'é stàit dimostrà da Gale e Stewart dël 1953.

Dimostrassion. Pijoma d'enumerassion  ëd tute le strategìe për I e për II.
Për andussion, as costruisso doi ansem : dàit  për minca , pijé  ëd fasson che  për chèich b e ; ant l'istessa manera, serne  con  për chèich a e .
J'ansem X e Y a son disgionzù, për minca α a-i é b tal che  e a-i é a tal che .
Donca nì I nì II a l'han na strategìa ch'a vagna ant ël gieugh  e parèj  a l'é nen determinà.

D'àutra part, l'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica na forma débola dl'assiòma ëd selession:

Teorema. L'assiòma ëd determinatëssa a ìmplica che minca famija numeràbil d'ansem nen veuid ëd nùmer reaj a l'ha na fonsion ëd selession.

Dimostrassion. Pijoma na famija  ëd sot-ansem nen veuid d' për trovene na fonsion f ëd selession.
Consideroma ël gieugh sì-dapress: si I a gieuga  e II a gieuga , II a vagna si e mach si . Ël giugador I a peul nen avèj na strategìa ch'a vagna, dagià che si chiel-sì a ancamin-a an giugand , II a peul vagné an pijand qualsëssìa  e an giugand ij sò element un a la vira.
Donca, për l'ipòtesi ëd determinatëssa, a l'é II ch'a l'ha na strategìa ch'a vagna τ e as peul definì la fonsion ëd selession f parèj: .

Categorìa:Lògica matemàtica