Camp (matemàtica)

An matemàtica, un camp a l'é na strutura algébrica. Pì ëd precis, a l'é n'ansem anté ch'as peulo fesse d'adission, sotrassion, multiplicassion e division (për bon-a part dj'element).

Ij camp pì clàssich a son ël camp dij nùmer rassionaj (denotà ), ël camp dij nùmer reaj (denotà ), ël camp dij nùmer compless (denotà ) e ël camp  dle class ëd resta mòdul p anté che p a l'é un nùmer prim.

La teorìa dij camp a l'é ciamà da cheidun teorìa ëd Galois; tutun, la teorìa ëd Galois a l'é bin ël métod dë studi ch'as àplica an particolar ai camp, lòn ch'a na forma l'esempi stòrich, ma a së spantia ëdcò a motobin d'àutri setor, dont lë studi dj'equassion diferensiaj (teorìa ëd Galois diferensial), o dj'arvestiment.

 Definission e esempi 
Definission
Un camp a l'é n'ansem K dotà ëd doe operassion, denotà soens + e ×, ch'a sodisfo le proprietà sì-da press: 
 (K, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
 (K - {0}, ×) a forma un grop comutativ (cheidun ant la definission ëd camp a ciama nen che la multiplicassion a sia comutativa; d'àutri, ant ës cas-sì, a parlo ëd còrp);
 la multiplicassion a l'é distributiva rëspet a l'adission, visadì 


As parla antlora dël camp (K, +, ×).

Ij prim camp ëstudià a son ëstàit j'ansem ëd nùmer (rassionaj, réaj, compless, algébrich).

Esempi ëd camp 
 L'ansem dij nùmer rassionnaj,  a l'é un camp.
 L'ansem dij nùmer reaj  a l'é un camp.
 L'ansem dij nùmer compless  a l'é un camp.
 An aritmética modular, l'ansema  anté che p a l'é un nùmer prim a l'é un camp.
 L'ansem ëd tute le fonsion rassionaj reaj a l'é 'n camp, rëspet a j'operassion d'adission e multiplicassion ëd fonsion.

Un sot-camp d'un camp K a l'é 'n sot-ansem nen veuid L ëd K, stàbil rëspet a + e , tal che L con j'operassion ardità da K a sia ancor un camp.

 Caraterìstica 
S'a-i é n'antregh natural n>0 tal che  (con n termo) a l'é zero, as dis che la caraterìstica dël camp ël pì cit antegr nen nul ch'a l'ha costa proprietà. S'a-i na i-é gnun, as dis che ël camp a l'é ëd caraterìstica zero (o infinìa).

Ël camp  a l'ha caraterìstica zero, mentre che ël camp  a l'é ëd caraterìstica p. As dimostra ch'un camp a l'ha tavòta caraterìstica 0 opura un nùmer prim.

 Camp finì 
Costi a son ij camp dont ël nùmer dj'element a l'é finì. Lë studi dij camp finì a l'é rivà tard ant lë studi dij camp. As dimostra che un ant un còrp finì la multiplicassion a l'é tavòta comutativa, e che soa cardinalità a l'é un nùmer prim.

 Camp e anel 
L'ansema  a l'é pà un camp përchè la pì part dj'element ëd  a son nen anvertìbij: për esempi, a-i é gnun antegr relativ n tal che 2n = 1, donca 2 a l'é nen anvertìbil.

Pì an general, n'ansem A dotà ëd doe operassion + e × taj che:
 (A, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
 (A-{0}, ×) a forma un monòid;
 la multiplicassion a l'é distributiva për l'adission (a snistra tanme a drita); 
a l'é n'anel unitari.

Se l'anel a l'é 'n domini d'antegrità, visadì a l'é comutativ e
 , 
l'anel a l'é scasi un camp përchè a-j manca mach pì l'anvertibilità për la multiplicassion. As a dimostra antlora che as a peul mojé l'anel an sò camp dle frassion, che a l'é ël pì cit camp ch'a conten l'anel.

Esempi :  a l'é ël camp dle frassion ëd .

 Camp e spassi vetoriaj 
An ancaminand con ël camp , a l'é natural d'anteressesse a , l'ansem dj'n-uple ëd reaj. As peulo definisse ëd fasson natural n'adission e na multiplicassion për un real. La strutura definìa parèj (n'adission anterna ch'a dà a l'ansem na strutura ëd grop comutativ e na multiplicassion esterna ch'a l'ha dle proprietà ëd distributività e d'assossiatività) a l'é ciamà spassi vetorial ansima a . A ven antlora natural defini lòn ch'a l'é në spassi vetorial ansima a un camp K qualsëssìa.

 Camp e equassion algébriche 
Lë studi dij polinòmi a coefissient ant un camp e l'arserca ëd soe rèis a l'ha motobin dësvlupà la nossion ëd camp. Si f a l'é un polinòmi ëd gré n ansima a un camp K, l'equassion f(x) = 0 a l'é n'equassion algébrica an K. Se, an dzorpì, f a l'é un polinòmi ireduvìbil, l'equassion as dis ireduvìbil. Cand n a l'é ugual o pì grand che doi, trové le solussion ëd n'equassion parèj a ciama ëd butesse ant un camp pì grand che K, visadì n'estension ëd camp.

Për esempi, l'equassion  a l'é ireduvìbil an  ma a l'ha 'd rèis an  o, con pì precision, an . L'equassion  a l'ha nen ëd solussion an  ma a 'n n'ha an  o, con pì precision, an .

Ël camp dë s-cianch d'un polinòmi a l'é un camp minimal ch'a conten K e na rèis df. 

Ël camp ëd dëscomposission ëd f a l'é ël pì cit camp ch'a conten K parèj che tute le rèis d'''f.

Lë studi dij camp ëd dëscomposission d'un polinòmi e dël grop ëd përmutassion ëd soe rèis a forma la branca dla matemàtica ch'as ciama la teorìa ëd Galois.

 Camp ordinà 
Un camp ordinà' a l'é un camp K dotà ëd na relassion d'órdin  ch'a sodisfa le condission:
,
.
Da sòn a-i ven ëdcò che
.
An dzorpì, për minca element x, un a l'ha .
An efet,  e  cand x>0; si nopà x<0, antlora 0<-x e donca da x<0 un a oten , dont .
'Me conseguensa,  e, si x>0, ëdcò x+1>0 dagià che 0<1<x+1.

Për tut camp ordinà K a-i é, e a l'é ùnica, n'iniession  ch'a rispeta la strutura, visadì:
,
,
.
L'órdin ëd tut camp ordinà a l'é satì e a l'ha ni element mìnim, ni màssim.

 Esempi 
Ël camp ëd le fonsion rassionaj reaj a l'é ordinà da la relassion
.
As trata d'un camp nen archimedien.

 Àutre branche dë studi 
As artreuva la teorìa dij camp ant lë studi ëd chèiche fonsion tanme le fonsion rassionaj o le fonsion elìtiche.

 Stòria 
Fin-a al sécol ch'a fa XIX, j'ansem ëd nùmer a smijavo tant naturaj che gnun a l'era preocupasse ëd dèje un nòm, e gnanca ëd defini con precision soa strutura. Tutun, con lë s-ciòde dlë studi dij nùmer algébrich, a son ëspontà ansem ëd nùmer diferent daj rassionaj, ij reaj e ij compless. A l'é vnuje da manca ëd precisè la strutura ëd camp, peui la nossion d'antegr ansima a's camp e, për finì, la nossion d'anel. Coste nossion a son euvra dla scòla alman-a. A l'é sàit Richard Dedekind che a l'ha definì për la prima vira la strutura ëd camp (Körper an alman) e costa a l'é la rason për che soens ij camp a son denotà K''. 
La strutura ëd camp a rintra an na gerarchìa ch'a comprend ij monòid, ij grop, j'anej, ij còrp e a l'é a l'adoss dla definission dë spassi vetorial, e d'àlgebra.

Camp matemàtica