Equassion algébrica

N'equassion algébrica a l'é n'ugualiansa dla forma , anté che  a l'é un polinòmi.
Ël gré dël polinòmi a l'é ëdcò ciamà gré dl'equassion.
Ij coefissient dël polinòmi a son ciamà coefissient ëd l'equassion.
Minca x ch'a sodisfa l'ugualiansa p(x)=0 a l'é ciamà solussion o rèis.

 Ël teorema fondamental dl'àlgebra 
Ël teorema fondamental dl'àlgebra a fortiss che minca equassion algébrica a coefissient compless ëd gré  a l'ha 'd solussion.
Parèj, si  a l'é l'equassion, con  e si  a n'é solussion, për ël teorema 'd Ruffini l'equassion a resta equivalenta a  anté che q(x) a l'é 'n polinòmi mònich ëd gré n-1.
Si n-1>0 as peul apliché torna 's rasonament fin-a a oten-e n'equassion equivalenta dla forma  anté che  a son le solussion distinte dl'equassion e  soe multiplissità (o órdin), con .
Da sòn a-i ven che përchè  a sia solussion ëd multiplissità  dl'equassion p(x)=0 a venta e a-i basta che , anté che  a son le prime  derivà ëd p.

Ch'as considera adess n'equassion algébrica p(x)=0 dont tuti ij coefissient a sio 'd reaj e dont  a sia solussion ëd multiplissità ; antlora ëdcò  a l'é solussion dël midem órdin .
Donca minca equassion algébrica a coefissient reaj ëd gré dispar a l'ha almanch na solussion real.

 Fórmole d'arzolussion 
J'equassion algébriche ëd gré fin-a al quart a admëtto fórmole algébriche për trové le solussion, visadì le solussion a son otnùe an fonsion dij coefissient an dovrand na quantità finìa d'adission, multiplicassion, sotrassion, division, estrassion ëd rèis.
Sòn a l'é già pì nen possìbil për j'equassion algébriche generaj ëd quint gré, 'me dimostrà da Abel dël 1824 (la dimostrassion a l'é stàita pùblicà an sël giornal ëd Crelle).

N'enonsià esplìcit ëd condission necessarie e bastèivoj për che n'equassion algébrica as peussa arzòlve ëd fasson algébrica a l'é stàit otnù da Galois.
An terminologìa moderna a fortiss che n'equassion algébrica a l'é arzolùbil për radicaj si e mach si lë strop ëd Galois associà a l'é në strop arzolùbil.

 Equassion ëd 1m gré 
Dàita n'equassion ëd prim gré ax+b=0 a coefissient ant un camp, con , l'ùnica solussion a l'é .

 Equassion ëd 2nd gré 
Përchè n'equassion ëd second gré  a coefissient ant un camp, con , a l'abia 'd solussion, a venta e a-i basta ch'a-i sia ant ël camp n'element  tal che .
Ant ës cas-sì le solussion a son .

 Relassion an tra coefissient e rèis 
Ant l'equassion algébrica  ëd gré n, la soma dij prodot dle solussion, arpetùe conforma a soe multiplissità, pijà a k a la vira, a resta ugual a .
An particolar la soma dle solussion a l'é  e sò prodot a l'é .

 Discriminant 
Ël discriminant dl'equassion algébrica  a l'é 'l nùmer

anté che  a son le solussion arpetùe conforma a soe multiplissità.
Për esempi, ël discriminant ëd n'equassion ëd second gré a rèis reaj  a l'é .
Donca, për che n'equassion algébrica a l'abia solussion mùltiple, a venta e a-i basta che sò discriminant a sia zero.
Ël determinant ch'a compariss ant la fórmola dël discriminant as ciama determinant ëd Cauchy-Vandermonde.

 Nùmer algébrich 
Ij nùmer compless ch'a son solussion ëd n'equassion algébrica a coefissient antregh as ciamo nùmer algébrich.
Tuti ij rassionaj a son algébrich, përchè solussion ëd n'equassion ëd prim gré a coefissient antregh.
Ij nùmer nen algébrich as diso trassendent.

L'ansem dij nùmer algèbrich a l'é numeràbil, antant che col dij nùmer trassendent a-l l'é nen.

 Stòria 
Ij prim esempi d'equassion algébriche ch'a son rivane as treuvo ant ël papir Rhind, apopré dël 1700 o 1650 aGC.

Categorìa:Àlgebra