Serie ëd Taylor

Ch'as considera na fonsion f, real ò complessa, e un nùmer .
La serie ëd Taylor d'f ant ël pont x, sentrà an  a l'é la serie ëd potense

anté che  a denòta la derivà d'órdin k an .
Për che costa serie a sia definìa a venta che f a l'abia derivà ëd minca órdin an .
La serie ëd Taylor sentrà ant l'orìgin as ciama serie ëd Maclaurin.

Ij troncament dla serie ëd Taylor as ciamo polinòmi ëd Taylor: ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n d'f sentrà an  a l'é ël polinòmi 

Për ch'a sia definì a venta che la fonsion f a sia derivàbil an a fin-a a l'órdin k.
Si f a l'é definìa an x, la diferensa 



a l'é la resta d'órdin n an x.

An general, bele si f a l'é definìa an x e a l'ha derivà ëd minca órdin an , la serie ëd Taylor a podrìa converge nen.
E ëdcò cand a convergg, l'arzultà a podrìa esse diferent da f(x).
N'esempi a l'é la fonsion definìa da 

f(0)=0 e .

Costa fonsion a l'é tant piata ant l'orìgin che 



për minca k e donca la serie ëd Taylor associà a val 0 daspërtut e a convergg a f(x) mach për x=0.

 Dësvlupabilità an serie ëd Taylor 
Cand la serie ëd Taylor ëd na fonsion a convergg an n'antërval e an minca pont ëd s'antërval soa soma a l'é 'l valor ëd la fonsion, as dis che la fonsion a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor con pont d'achit  ant l'antërval.

Teorema. Për che na fonsion f, derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) dont ël pont  a aparten-a, a sia dësvlupàbil an serie ëd Taylor a venta e a-i basta che për minca  la resta  a sia infinitésima.

Da sòn a-i ven na condission suficenta për la dësvlupabilità.

Teorema. Si la fonsion f a l'é derivàbil për qualsëssìa órdin ant l'antërval (a,b) e s'a-i son doi nùmer reaj L,M taj che për qualsëssìa antregh  e për minca  a val la disugualiansa
,
antlora f a l'é dësvlupàbil an serie ëd Taylor ant l'antërval (a,b), për qualsëssìa pont d'achit .

Dimostrassion. La forma ëd Lagrange dla resta d'órdin n a smon
,
anté che  a l'é 'n valor convenient antra  e x, visadì , con .
Da j'ipòtesi a-i ven antlora che
.

 Esempi ëd dësvlup 
Da 's darié criteri, a-i ven pr'esempi che le fonsion  a son dësvlupàbij an qualsëssìa antërval ch'a conten-a l'orìgin pijà tanme pont d'achit.
Ij dësvlup a resto:
,
,

Serieedtaylor