Régola dla caden-a

Dàite le fonsion reaj ëd variàbil real  con  derivàbil an  e  derivàbil an , la régola dla caden-a a fortiss che la fonsion  a l'é derivàbil an  e soa derivà a l'é
.

La dimostrassion
Da j'ipòtesi i soma che
 e ,
andoa .
Pijà antlora , i trovoma che
g(f(x+h))=g(f(x))+g'(f(x))f'(x)h+σ(h)h,
anté ch'a l'é butasse
.
Dagià che  e  a l'é continua, e a val 0 an 0, a-i na ven che .
Sòn a conclud la dimostrassion.

Chèich esempi d'aplicassion
Ch'as consìdera la fonsion .
Costa a l'é la composission  dle fonsion  e .
Dagià che f'(x)=-2x e , an dovrand la régola as oten
.
La régola dla caden-a a peul esse dovrà ëdcò për dle composission ëd pì che doe fonsion. Për esempi, consideroma la fonsion .
As agiss dla composission dle fonsion
φ(x)=3x,
ψ(y)=cosy, dont na prima aplicassion dla régola dla caden-a a smon ,
.
N'àutra aplicassion dla régola dla caden-a an dà
.

Generalisassion a dimension pì grande
La régola ëd derivassion dle fonsion componùe a peul esse generalisà a dimension pì grande.
Consideroma, për esempi, na fonsion  e suponoma che f a sia tut afàit diferensiàbil ant ël pont , che donca a resta a l'anterior d'E.
Si  a son fonsion derivàbij an , e a pijo ij valor , antlora la fonsion  a l'é derivàbil an  e i l'oma:
.

An dovrand le notassion ëd Leibniz, costa relassion a peul esse scrivùa .

Dimostrassion.
Dagià che φ e ψ a son continue an , për Δt an n'anviron forà ëd 0 i l'oma che .
Antlora, si , a-i na ven che

,
andoa  e σ a l'é infinitésim për  e donca ëdcò për .
I na otnoma che

.
Dagià che
,
as peul conclude che
.

Regola dla caden-a