Anel

Definission 
As ciama anel na strutura algébrica , anté che:
 (A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o ;
  a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion)  a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j';
 a son vàlide le doe distributività:  e  për tuti j'.

J'element a,b dl'anel A as diso përmutàbij si ab=ba.
Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi.
Nanel comutativ a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa:  për tuti j'.

Nanel con unità a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o , ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì  për minca .
An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che  a l'é un monòid.

 Esempi d'anej 
 Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant  për minca . Antlora  a l'é n'anel.
 L'ansem dle class ëd congruensa con soe operassion a l'é n'anel.
 Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop , con l'adission f+g an E definìa da
.
Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca  e ,
[f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e
[(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x).
Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G.
 N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj:
,
,
,
.
 L'ansem  dle fonsion reaj ëd variàbil real a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(fg)(x)=f(x)g(x).
 J'anej ëd Boole.

 Chèiche propietà elementar 
Ch'as consìdera n'anel A.
Da la definission as peulo dimostresse vàire propietà elementar.
  për minca .
An efet,  e .
Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse  da minca banda dla prima equassion e  da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa.
 (-a)b=a(-b)=-(ab) për minca .
An efet, .
 Për minca nùmer natural n e minca  a valo j'ugualianse (na)b=n(ab)=a(nb).
An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab).
Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab).
 Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca , a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz.
An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz.
Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz.

A l'é possìbil che an n'anel con unità , ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che .
An efet, pijà qualsëssìa , i l'oma che .

 Sot-anej 
Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis stàbil, o sarà, si  për qualsëssìa .
Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A.

Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che  e  për minca .
Na condission equivalenta a l'é che  e  për minca .

Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ.

 Esempi 
 Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe  e A midem, ch'a son dit sot-anej impròpi. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit pròpi.
 Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A.
 Si B e C a son sot-anej d'A e , antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B.
 Dàita na famija nen veuida  ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d': as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d' (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d' a l'é nen un sot-anel.
 Ant l'anel  dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel.
 Për minca nùmer natural n, l'ansem  dij mùltipl antregh d'n a l'é 'n sot-anel ëd . Për  i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për , as trata 'd sot-anej sensa unità.
 Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma . As agiss d'un sot-anel d'A. An efet:
;
pijà  e  i l'oma  e ; donca .
Ël sot-anel  a l'é dit ël sènter ëd l'anel A.
 Ch'as consìdera l'anel  con j'operassion definìe për componente:
,
.
As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem  a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0).

 Anej prodot 
Ch'as consìdera na famija nen veuida  d'anej.
Lanel prodot diret a l'é otnù dal prodot cartesian  an definend j'operassion për componente:
 (a+b)(i)=a(i)+b(i),
 (ab)(i)=a(i)b(i).
Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da , për minca  e l'opòst -a ëd l'element  a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca .
Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca  a-l l'é.
Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent.

Si për minca  i pijoma un sot-anel  d', i otnoma un sot-anel  dël prodot diret.

 Divisor ëd zero 
An n'anel A, n'element x diferent da  as dis divisor ëd zero a snistra s'a esist n'element y an A, diferent da  tal che .
Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita.
Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e  a l'é tal che , antlora y a l'é divisor ëd zero a drita.

As dis che an n'anel a val ël prinsipi d'anulament dël prodot si l'ùnica manera për un prodot d'esse  a l'é che almanch un dij doi fator a sia , visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero.

 Esempi 
 Ant l'anel  dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa.
 Fissà 'n nùmer natural , l'ansem dle matris quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si , ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà  la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si  i l'oma che  a l'é la matris con tuti 0.

Propietà. An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero.Dimostrassion. Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da  taj che .
Antlora , ma .
Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita.
Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita).
Antlora a-i son d'element , con  e , taj che xy=xz.
A-i na ven che  e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero.

Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che  a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop .

N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis domini d'antegrità.

 La caraterìstica 'd n'anel 
Consideroma n'anel A e n'element .
A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che .
Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit caraterìstica d'x.
S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa).

La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che  për tuti j'.
S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa).

Propietà.
An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità.Dimostrassion.Si la caraterìstica d' a l'é m>0, pijà un qualsëssìa  i l'oma
.
Si nopà la caraterìstica d' a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila.

Propietà.
An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica.Dimostrassion.Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'ipòtesi che la caraterìstica d'x a sia m>0.
Antlora: .
Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse ; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x.
An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse.

 Esempi 
 J'anej  dj'antregh,  dij rassionaj,  dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1.
 J'anej  dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0.
 J'anej  dle class ëd resta mòdol  a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd  a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema.

 Ideaj 
Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ideal ësnistr si ; a l'é dit ideal drit si .
N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ideal bilateral, o bele mach ideal (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess).
An minca anel, l'ideal nul  e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ideaj banaj; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit pròpi.
N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a.
J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop.

Propietà. Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel.Dimostrassion. Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca  i l'oma .

 Esempi 
 Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem  a l'é n'ideal bilateral d'A.
 L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2.
 Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' anulator ësnistr d'X a l'é l'ansem . As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet,  a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e  i l'oma . Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e  i l'oma che, për minca , . Ant l'istessa manera as definisso l'''anulator drit e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj' taj che  për minca ): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral.
 Considerà na famija nen veuida  d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession  a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal generà da S.
 Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da  a l'é lideal soma . An efet,  e pijà , i l'oma che . Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà , i l'oma che .
 Ant un prodot diret  d'anej, si për minca fator  i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) , ël prodot  a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral).
 La soma direta dla famija nen veuida d'anej  a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret.

 Ideaj massimaj 
N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit massimal si  e a-i é gnun ideal U tal che .
Për esempi, j'ideaj massimaj ëd  a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich nùmer prim.

Ant l'anel  dle fonsion continue da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal , anté che , a l'é massimal.
Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion .
Antlora, .
D'àutra part,  e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U.
A-i na ven che  e U=R.
As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo.

 Anel cossient 
Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element , dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I.
Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit anel cossient.
Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot  a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion
.
Për dimostré costa relassion a basta noté che, pijà qualsëssìa  i l'oma
.

Si A a l'é comutativ, ëdcò A/I a-l l'é.

 Esempi 
 Për minca nùmer natural , l'anel , cossient dj'antregh rëspet a l'ideal dij mùltipl d'n, a l'é l'anel dle class ëd resta mòdol n.
 Sa costrussion a peul generalisesse: pijà n'anel A e n'antregh n, l'anel A/nA as ciama lanel ridot d'A mòdol n.

 N'àutra costrussion dj'anej cossient 
Ch'as consìdera na relassion d'equivalensa  ansima a n'anel A e foma l'ipòtesi che  a sia compatìbil rëspet a j'operassion, visadì:
.
As peulo antlora definì d'operassion ëd soma e prodot ansima al cossient  përparèj:
,
.
Con coste operassion,  a ven a esse n'anel, ciamà anel cossient d'A rëspet a .
Si A a l'é comutativ, ëdcò  a-l l'é; si A a l'ha n'unità , antlora ëdcò  a-l l'ha e costa-sì a l'é .

Le doe costrussion a arzulto esse equivalente.
An efet, a val la propietà sì-dapress.Propietà.' Na relassion d'equivalensa σ a l'é compatìbil con j'operassion si e mach si la partission ch'a detèrmina a l'é cola dij lateraj ëd n'ideal bilateral.Dimostrassion. Dàita σ compatìbil, i l'oma che

e  a l'é n'ideal bilateral dont le class ëd σ a son ij lateraj.
Viceversa, dàit n'ideal bilateral I, la relassion

a l'é na relassion d'equivalensa compatìbil con j'operassion.
Le fonsion  a son anverse un-a dl'àutra.

 Morfism 
Considerà j'anej A e A', un morfism (o omomorfism) d'anej antra A e A' a l'é na fonsion  ch'a conserva j'operassion, visadì
f(x+y)=f(x)+f(y),
f(xy)=f(x)f(y),
për minca .
Un morfism surietiv as dis ëdcò epimorfism e un morfism inietiv monomorfism.

Si A,B,C a son d'anej e  a son ëd morfism, antlora soa composission  a l'é 'n morfism.

 Nos d'un morfism 
La nos d'f a l'é .
As trata 'd n'ideal.
An efet, a l'é la nos d'un morfism dë strop, donca a l'é 'n sot-ëstrop d'A.
An dzorpì, për tuti j' e tuti ij ,
 e ,
donca sia ab che ba a stan an kerf.

 Esempi 
 Pijà n'anel A e un sò ideal I, la projession  ch'a manda minca  an  a l'é 'n morfism.
 Ch'as consìdera la fonsion  ch'a manda mìnca nùmer antregh an soa class ëd resta. As trata 'd n'epimorfism. Noté che antant che an  minca nùmer diferent da 0 a l'ha caraterìstica zero e  a l'ha pa 'd divisor ëd zero, minca element ëd  diferent da zero a l'ha caraterìstica finìa e  a l'ha 'd divisor ëd zero.
 A-i é mach n'epimorfism . Noté che antant che 3 a l'é 'n divisor ëd zero an , soa plancia 1 a-l l'é nen an .
 Le projession canòniche  d'un prodot diret ansima ai sò fator a son d'epimorfism. J'iniession canòniche  definìe an manera che  a l'ha a tanme componenta d'ìndes h e tute j'àutre componente nule, a son ëd monomorfism. Pijà , la composission  a l'é l'identità cand h=k e ël morfism ch'a manda tut an  dësnò. Le projession canòniche rëstrenzùe a la soma direta a son ancor dj'epimorfism e la plancia ëd minca iniession canònica a l'é un sot-ansem dla soma direta.

 Chèiche propietà sempie 
 Dàit un morfism d'anej  e un sot-anel B d'A, f(B) a l'é sot-anel d'A'. An particolar, la plancia d'f a l'é 'n sot-anel d'A'.Dimostrassion. Ël sot-ansem f(B) a l'é 'n sot-ëstrop d'A', dagià che f a l'é ëdco 'n morfism dë strop.
Pijà peui , i l'oma che .
 Dàit un morfism antra anej  e un sot-anel B' d'A',  a l'é 'n sot-anel d'A.Dimostrassion. I l'oma che  a l'é 'n sot-ëstrop d'A.
An dzorpì, pijà , i l'oma  e donca .
 La plancia omomorfa ëd n'anel comutativ a l'é comutativa.Dimostrassion. A basta armarché che ant ës cas-sì f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x).
 Si A a l'é n'anel con unità e  a l'é n'epimorfism antra anej, con , antlora .Dimostrassion.S'i pijoma qualsëssìa  e  con f(a)=a', i l'oma che .
 Si  a l'é n'epimorfism antra anej e A a l'ha n'unità , antlora  e l'é l'unità d'A'; an dzorpì, si  a l'é anvertìbil, ëdcò f(a) a-l l'é e .Dimostrassion. Pijà  e  con f(a)=a', i l'oma  e donca  a l'é unità an A'.
Si  a l'é anvertìbil, con anvers , a-i ven che  e donca  a l'é l'anvers d'f(a).
 La plancia ëd n'ideal I (snistr, drit o bilateral) a travers n'epimorfism  a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral, a sconda dij cas).Dimostrassion. Butoma che I a sia n'ideal ësnistr d'A (istess rasonament s'as trata ëd n'ideal drit o bilateral). Pijoma  për fé vëdde che . Antlora a-i é  con f(y)=x. Parèj, .
 La contra-plancia 'd n'ideal J (snistr, drit o bilateral) a travers un morfism d'anej  a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A.Dimostrassion. Për ël cas ëd n'ideal ësnistr (l'istess a val për n'ideal drit o bilateral), pijoma .
Antlora  e donca .

 Isomorfism 
Un morfism d'anej ch'a l'é na bijession a l'é dit isomorfism e ij doi anej isomorf''.
A-i na ven che n'isomorfism a conserva ëdcò (cand ch'a-i son) l'unità e j'anvers, visadì
,
 për minca .

La relassion d'isomorfism  antra anej a l'é na relassion d'equivalensa.

 Fatorisassion dij morfism 
Ch'as pija un morfism antra anej  e n'ideal I d'A.
Butoma che .
Antlora a-i é 'n morfism d'anej  tal che g(a+I)=f(a) për tuti j'.

An efet, g a l'é bin definì e a l'é un morfism dë strop, dagià che f a-l l'é.
Për la multiplicassion, i l'oma
g((a+I)(b+I))=g(ab+I)=f(ab)=f(a)f(b)=g(a+I)g(b+I).

A-i na ven che minca omomorfism antra anej  a peul decomponse tanme  anté che:
  a l'é la projession canònica, ch'a l'é n'epimorfism;
  a l'é n'isomorfism;
 j a l'é ël fongament d'f(A) andrinta a A', ch'a l'é un monomorfism.

An particolar, armarcoma che:
 minca ideal bilateral a l'é la nos ëd n'omomorfism d'anej;
 A/kerf a l'é isomorf a f(A);
 për , A/I a l'é isomorf a A;
 për I=A i l'oma che A/I a l'é isomorf a ;
 si I a l'é n'ideal bilateral d'A, la projession canònica  a génera na bijession antra la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A ch'a conten-o I e la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A/I.
 dàit un morfism d'anej , n'ideal bilateral  e n'ideal bilateral , si  antlora f a passa al cossient e a génera un morfism  definì da .

 Esempi 
 Ch'as consìdera la fonsion  cha assòssia a minca polinòmi a coeffisient antregh sò tèrmin costant. As trata d'un morfism, dont la nos a l'é l'ansem dij polinòmi ëd tèrmin costant nul e . Minca lateral ëd kerf a l'é formà dai poliòmi ch'a partagio ël midem tèrmin costant.
 N'esempi ch'a jë smija a l'é ël morfism  ch'a assòssia a minca  ël valor f(0). L'ideal I dle fonsion ch'a valo 0 ant l'orìgin a l'é la nos d'ës morfism; dagià che la plancia a l'é  (a basta mach consideré le fonsion costante) i otnoma che .

 Arpresentassion ëd n'anel an n'anel d'endomorfism 
Cosideroma n'anel A.
Për minca  ch'as consìdera la fonsion  definìa an butand , ciamà multiplicassion a snistra për a.
As agiss d'un morfism dlë strop abelian (A,+):
.
An sa manera i l'oma definì na fonsion f da a l'anel dj'endomorfism ëd lë strop abelian (A,+).
Costa-sì a l'é 'n morfism d'anej:
;
.
La nos d'ës morfism a l'é , visadì l'anulator snistr d'A.

Ant ël cas A a l'abia n'unità , dagià che , cost morfism a l'é 'n monomorifsm.
Donca A a resta isomorf a l'anel dle multiplicassion a snistra.
Parèj i l'oma otnù che minca anel con unità a l'é isomorf a n'anel d'endomorfism ëd sò strop abelian aditiv.

Categorìa:Àlgebra