Fórmole ëd Taylor

La fórmola ëd Taylor a compariss dël 1715 an Methodus incrementorum directa et inversa, ëd Brook Taylor.
Soa amportansa a l'é restà dësconossùa fin-a al 1772, cand Joseph-Louis Lagrange a l'ha dila ël fondament prinsipal dël càlcol diferensial.

Cand ël pont d'achit a l'é l'orìgin, la fórmola a la diso fórmola ëd Maclaurin.

Fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano
Ch'as consìdera na fonsion f derivàbil n vire ant ël pont .
Antlora a val la fórmola ëd Taylor con resta ëd Peano, con pont d'achit :
.
L'adend  a l'é la resta d'órdin n ant la forma ëd Peano.
Notoma che cost adend a l'é dla forma , anté che , con .

Esempi
Ël dësvlup ëd la fonsion esponensial ant l'orìgin con resta ëd Peano a l'é
.

Dimostrassion
Për dimostré costa fórmola, a basta fé vëdde che
,
visadì
.
Sòn as peul oten-e an aplicand n-1 vire ël teorema ëd l'Hôpital.

Fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange
Ch'as consìdera na fonsion f real definìa ansima a n'antërval duvert J ch'a conten ël pont .
Si f a l'é derivàbil n vire ëd fasson continua ansima a s'anterval, e la derivà d'órdin n+1 a esist an tut J gavà miraco ël pont , antlora për minca  a-i é un nùmer  ch'as treuva antrames tra  e x con la proprietà che la diferensa an tra 'l valor dla fonsion e col dël polinòmi ëd Taylor d'órdin n a l'é
.
Costa diferensa  as ciama resta ëd Lagrange.

Esempi
La fonsion esponensial, dësvlupà ant l'orìgin an dovrand la fórmola ëd Taylor con resta ëd Lagrange, a smon:
,
për chèich  antra 0 e .

Dimostrassion
Për ancaminé, ch'as consìdera h>0.
An butand

i l'oma
.
Consideroma adess la fonsion  definìa da

.
Dagià che f a l'ha derivà continue findi a l'órdin n ant l'antërval duvert J, a-i na ven che  a l'é continua ant l'antërval sarà .
An dzorpì,  a val 0 a j'estrem ëd cost antërval e a l'é derivàbil an minca pont ëd l'antërval , con derivà
.
Donca a l'é possìbil apliché a  ël teorema ëd Rolle, ch'an dis ch'a-i é almanch un pont  anté che , visadì
,
lòn ch'an basta a conclude.
Për h<0 as fa ël midem rasonament.

N'aplicassion
Butoma ël cas, adess, che an dzorpì dj'ipòtesi già considerà, i l'oma ëdcò che  a l'é limità an , visadì ch'a-i sia n'M>0 tal che  për minca x.
Antlora, la resta a sodisfa la limitassion

për minca h tal che .
Sòn an përmet dë stimé l'eror ch'as fà an rampiassand  con ël polinòmi ëd Taylor d'órdin n con pont d'achit .

Fórmola ëd Taylor për fonsion ëd doe variàbij
La fórmola ëd Taylor as peul adatesse a na fonsion ëd pì che un-a variàbil real.
Ch'a consìdera, për esempi, na fonsion .
Ch'as pijo doi pont  ch'a l'abio tut ël segment an tra 'd lor ant l'anterior d'E.
Si an E a-i son e a son contìnoe le derivà parsiaj d'f fin-a a l'órdin , antlora:

,
anté che  a l'é 'n pont convenient ant l'anterior dël segment.

Dimostrassion
Ij pont dël segment a l'han coordinà 
për .
Se un a considera la fonsion componùa , për la fórmola ëd Maclaurin për le fonsion con mach na variàbil aplicà ant l'antërval [0,1], a-i é  tal che  e da sòn a-i ven l'arzultà an butand .

Ël darié tèrmin

dl'adission as ciama termo complementar o eror dla fórmola ëd Taylor.

Lassand da banda ël termo complemetar, a-i resta un polinòmi ëd gré n ant le variàbij h,k ch'a apròssima  për .
Për  i otnoma la fórmola ëd Maclaurin:

 con .

Ël cas particolar dla fórmola ëd Taylor cand n=1 as ciama teorema dla mojen-a dël càlcol diferensial për na fonsion z=f(x,y):
 , 
andoa che  a l'é antern al segment ch'a l'ha 'me estrem ij pont .

Formole ed Taylor