Teorema ëd Banach-Steinhaus

Ël teorema ëd Banach-Steinhaus o prinsipi ëd limitatëssa uniforma a l'é un dj'arzultà fondamentaj dl'anàlisi fonsional e, ansema al teorema ëd Hahn-Banach e ël teorema dla fonsion duverta, a l'é considerà un-a dle bas dë sta branca dl'anàlisi. An soa forma pì sempia, a fortiss che për na famija d'operator linear continuo definì ansima a në spassi ëd Banach, la limitatëssa pontual a l'é equivalenta a la limitatëssa.

Ël teorema a l'é stàit publicà la prima vira ant ël 1927 da Stefan Banach e Hugo Steinhaus ma a l'é stàit ëdcò dimostrà an manera indipendenta da Hans Hahn. 

 Enonsià 
Ch'a sio  në spassi ëd Banach,  në spassi normà e  na famija d'operator linear continuo da  an  taj che për tuti j'x an X a arzulta

.

Antlora 

.

An dovrand ël teorema ëd categorìa ëd Baire, i l'oma la dimostrassion sì da press.

 Dimostrassion 

Për minca  definioma l'ansem 

.

Për ipòtesi, për minca  a-i é n'ìndes natural  tal che  e da sòn a-i ven che
. Armarcoma che, për la continuità dj'element  d', tuti j'ansem  a son sarà. Arcorend al teorema ëd categorìa ëd Baire i na derivoma ch'a esist un natural  tal che
 a l'ha anterior nen veuid, visadì a-i son  e  taj che 

. 

An d'àutre paròle i l'oma 

e donca

.

Da  a-i ven che

.

'me conseguensa

.

Sòn a completa la dimostrassion.

 Generalisassion 

L'ambient natural për ël teorema ëd Banach-Steinhaus a l'é në spassi botal anté vale la version generalisà dël teorema sì da press:

Dàit në spassi botal X e në spassi localman convess Y, qualsëssìa famija d'operator linear continuo, limità pontualman, da X a Y a l'é equicontinua (ëdcò uniformeman equicontinua).

Categorìa:Anàlisi matemàtica