Fonsion continua

Ël concet ëd fonsion continua a l'é un dij pì amportant ant la matemàtica e a l'é gropà s-ciass a col ëd lìmit.
 Definission 
Se  e  a son dë spassi topològich, na fonsion  as dis continua si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem duvert d' a l'é 'n sot-ansem duvert d'.

 Formolassion equivalente 
A-i son d'àutre manere equivalente ëd fortì la continuità 'd na fonsion.
Ch'as considera torna na fonsion  an tra jë spassi topològich X e Y:
 f a l'é continua si e mach si la contra-imàgin ëd minca sot-ansem sarà d'Y a l'é 'n sot-ansem sarà d'X;
 f a l'é continua si e mach si  për minca .
Sa dariera formolassion a dà cont dl'intuission ch'a-i é daré al concet ëd fonsion continua: na fonsion a l'é continua cand, dàit n'ansem S e 'n pont x tacà s-ciass a S, l'imàgin d'x a l'é tacà s-ciass a l'imàgin d'S.

 Teorema fondamentaj an sle fonsion continue 
La continuità 'd na fonsion  a dipend mach d'la topologìa ansima a f(X):

Teorema.
Na fonsion  a l'é continua si e mach si  a-l l'é.

Teorema.
Si  a l'é continua e , antlora la restrission  a l'é continua.

Për controlé si na fonsion a l'é continua a basta controlé la definission ansima a na bas dël codomini:

Teorema.
Ch'as considera na fonsion  e na bas B d'Y.
Antlora f a l'é continua si e mach si  a l'é duvert për minca .

Le fonsion continue a son sarà për composission:

Teorema.
Si  a son continue, antlora ëdcò  a l'é continua.

 Esempi 
 L'identità  a l'é na fonsion continua.
 Si Y a l'é në spassi topològich banal, antlora minca  a l'é continua.
 Si X a l'é në spassi topològich discret, antlora minca  a l'é continua.
 La curva ëd Peano a l'é na fonsion continua .

 Fonsion continue e spassi métrich 
La descrission ëd la continuità dle fonsion an tra spassi métrich as peul desse an dovrand le distanse o ij lìmit dle sequense:

Teorema.
Na fonsion  an tra jë spassi métrich (o bele mach pséudo-métrich) (X,d) e (Y,d') a l'é continua si e mach si, dàit  a-i é  con la proprietà che .

Teorema.
Na fonsion  an tra jë spassi métrich X e Y a l'é continua si e mach si për minca sequensa convergent  d'X, la sequensa  a convergg e a val l'ugualiansa .

 Continuità ant un pont 
Dàita la fonsion  an tra jë spassi topològich X e Y, e pijà un pont  as dis che f a l'é continua an x si la contra-imàgin ëd minca anviron d'f(x) a l'é n'anviron d'x.
Ij concet ëd continuità e continuità ant un pont a son gropà dal teorema sì da press.

Teorema.
Na fonsion  an tra jë spassi topològich X e Y a l'é continua si e mach si a l'é continua an tuti ij pont d'X.

 Omeomorfism 
Na bijession  an tra jë spassi topològich X e Y as dis n'omeomorfism cand sia f che soa anversa  a son continue.
Ant ës cas-sì as dis che X e Y a son omeomòrfich.
N'omeomorfism a l'é na bijession ch'a conserva tute le proprietà topològiche.
La relassion d'omeomorfism a l'é na relassion d'equivalensa an tra jë spassi topològich.

 Esempi 
 Doi spassi banal, o doi spassi discret, a son omeomòrfich si e mach si a l'han la midema cardinalità.
 La linia real e minca anterval duvert, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
 Doi antervaj sarà dla linia real, con soe topologìe sòlite, a son omeomòrfich.
 Ël pian euclidéo  e 'l sercc duvert  a son omeomòrfich.

 Topologìe déboj 
Ël concet ëd fonsion continua a peul esse dovrà për la definission ëd na topologìa ansima a n'ansem X s'as dispon ëd na colession ëd fonsion a valor andrinta a dë spassi topològich: dàita na colession ëd fonsion  anté che minca  a l'é në spassi topològich, a-i é na topologìa pì cita ëd tute ansima a X ch'a rend continue tute le fonsion .
Costa topologìa as ciama topologìa débol generà da F.

Categorìa:Anàlisi matemàtica
Categorìa:Topologìa