ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਥਿਊਰਮ

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਥਿਊਰਮ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੁੱਝ ਸਿਸਟਮ, ਇੱਕ ਕਾਫੀ ਲੰਬੇ ਪਰ ਸੀਮਤ ਸਮੇਂ ਬਾਦ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਵੱਲ ਵਾਪਿਸ ਪਰਤ ਆਉਂਦੇ ਹਨ। ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਰੀਅੱਕ੍ਰੈਂਸ (ਪੁਨਰਹੋਂਦ) ਸਮਾਂ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਤੱਕ ਬੀਤੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਇਹ ਸਮਾਂ ਬਹੁਤ ਵਿਸ਼ਾਲ ਤੌਰ ਤੇ ਇੰਨਬਿੰਨ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਅਤੇ ਜਰੂਰਤ ਜਿੰਨੀ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਦੇ ਦਰਜੇ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ)। ਨਤੀਜਾ ਕੁੱਝ ਪਾਬੰਧੀਆਂ ਅਧੀਨ ਆਇਸੋਲੇਟ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਾਰੇ ਕਣ ਜਰੂਰ ਹੀ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ (ਸੀਮਤ) ਵੌਲੀਊਮ (ਘਣਫ਼ਲ) ਪ੍ਰਤਿ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਸਾੰਝੇ ਤੌਰ ਤੇ ਐਰਗੌਡਿਕ ਥਿਊਰੀ, ਡਾਇਨੈਮੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਅਤੇ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਸੰਦ੍ਰਭ ਵਿੱਚ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਨਾਮ ਹੈਨਰੀ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ 1890 Œuvres VII 262–490 (theorem 1 section 8) ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ ਅਤੇ 1919Carathéodory, C. (1919) "Über den Wiederkehrsatz von Poincaré". Berl. Sitzungsber. 580–584; Ges. math. Schr. IV 296–301 ਵਿੱਚ ਨਾਪ ਥਿਊਰੀ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਕੰਸਟੈਂਟਿਨ ਕੈਰਾਥਿਓਡੋਰੀ ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।

ਪੋਆੀਨਕੇਅਰ ਰੀਅੱਕ੍ਰੈਂਸ ਥਿਊਰਮ ਕਿਸੇ ਆਓਸੋਲੇਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਧਾਂਤਿਕ ਸੂਖਮ ਵੇਰਵੇ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਓਦੋਂ ਕਿਸੇ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕਲ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਕਿਸੇ ਮਾਡਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕੰਧ ਨੂੰ ਹਟਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਕਾਫੀ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਬਾਦ, ਸਿਸਟਮ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਵਾਪਿਸ ਮੁੜ ਆਵੇਗਾ। ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਟਾਈਮ ਵਾਪਿਸੀ ਤੱਕ ਦੇ ਬੀਤੇ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਲੰਬਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੀ ਉਮਰ ਤੋਂ ਵੀ ਜਿਆਦਾ ਲੰਬਾ ਹੋਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਹਟਾਈ ਗਈ ਕੰਧ ਦੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਉੱਤੇ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲਤਾ ਨਾਲ ਨਿਤਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੇ ਦੂਜੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਵਿਰੋਧ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ ਤੇ, ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਦੋ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕਿਸੇ ਕੰਧ ਦੇ ਹਟਾਉਣ ਕਾਰਨ ਰਚੇ ਕਿਸੇ ਆਇਸੋਲੇਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਿਸਟਮ ਅੰਦਰ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕ ਸੰਤੁਲਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੂਖਮ ਆਦਰਸ਼ (ਮਾਡਲ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕਲ ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ, ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਦਾ ਸਮਾਂ ਇੰਨਾ ਜਿਆਦਾ (ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੇ ਜੀਵਨਕਾਲ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਬਹੁਤ ਜਿਆਦਾ ਲੰਬਾ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਸਾਰੇ ਅਮਲੀ ਮਕਸਦਾਂ ਲਈ, ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ ਹੀ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇਹ ਕਲਪਨਾ ਦੀ ਇੱਛਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਲਈ ਉਡੀਕ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਕੰਧ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਵਾਪਿਸ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਰਾਹੀਂ ਹਟਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਫੇਰ ਇਹ ਸਾਫ ਸਾਬਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਾ-ਪਲਟਣਯੋਗਤਾ ਦਿ ਦਿੱਖ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਦੇ ਗੈਰ-ਅਨੁਮਾਨਯੋਗ ਕਥਨ ਕਾਰਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕ ਸੰਤੁਲਨ ਦੀ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਸੀ, ਜਿਵੇਂ ਅਸਥੂਲ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਾਹੇ ਕੋਈ ਇਸਦੀ ਉਡੀਕ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਫੇਰ ਵੀ ਕਿਸੇ ਕੋਲ ਕੰਧ ਨੂੰ ਮੁੜ-ਰੱਖਣ ਦੇ ਸਹੀ ਪਲ ਨੂੰ ਚੁੱਕਣ ਦੀ ਵਿਵਹਾਰਿਕ (ਪ੍ਰੈਕਟੀਕਲ) ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਥਿਊਰਮ ਲੋਸ਼ਮਿਡਟ ਪਹੇਲੀ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਹੱਲ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਆਇਸੋਲੇਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸਿਸਟਮ, ਔਸਤਨ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਸਮੇਂ ਦੀ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀ ਵਧ ਰਹੀ ਮਾਤਰਾ ਉੱਤੇ ਦੇਖਿਆ ਪਰਖਿਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਥਰਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕ ਵਰਤਾਓ ਸਮਾਂ ਪਲਟਣ ਅਧੀਨ ਇਨਵੇਰੀਅੰਟ (ਸਥਿਰ) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। 

 ਸ਼ੁੱਧ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ 
ਕਿਸੇ ਸਧਾਰਨ ਡਿੱਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋਣ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਵੀ ਡਾਇਨੈਮੀਕਲ ਸਿਸਟਮ (ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ) ਆਪਣੇ ਆਪ ਉੱਤੇ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਮੈਪ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਵਾਹ ਨਕਸ਼ਾ f t ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਵੌਲੀਊਮ ਸੁਰੱਖਿਅਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਵਾਹ ਅਧੀਨ ਫੇਝ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ ਦਾ ਵੌਲਿਊਮ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਾਰੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਸਿਸਟਮ ਵੌਲੀਊਮ ਸੁਰੱਖਿਅਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਣ ਲਿਓਵਿੱਲੇ ਥਿਊਰਮ ਹੈ। ਥਿਊਰਮ ਫੇਰ; ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਪ੍ਰਵਾਹ ਵੌਲੀਊਮ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖੇ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਸੀਮਤ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਔਰਬਿਟ ਹੀ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਖੁੱਲੇ ਸੈੱਟ ਲਈ ਅਜਿਹੇ ਔਰਬਿਟ ਮੌਜੂਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਅਨੰਤ ਤੌਰ ਤੇ ਕੱਟਦੇ ਹਨ।

 ਸਬੂਤ ਦੀ ਚਰਚਾ 
ਗੁਣਵੱਤਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਸਬੂਤ, ਦੋ ਅਧਾਰਾਂ ਤੇ ਟਿਕਿਆ ਹੈ:Chapter X of 

 ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਉੱਪਰਲਾ ਬਾਊਂਡ ਕੁੱਲ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਤੌਰ ਤੇ ਸਕ੍ਰਿਆਯੋਗ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਵੌਲੀਊਮ ਉੱਤੇ ਸੈੱਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਸੀਮਾ ਇਸ ਮੰਗ ਨਾਲ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਿਸਟਮ, ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਬੰਨੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰ ਅੰਦਰ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਅਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਨਿਕਾਸ ਨਾ ਕਰ ਸਕੇ ਜੋ ਕਦੇ ਵਾਪਿਸ ਨਹੀਂ ਪਰਤਦੇ)- ਐਨਰਜੀ ਦੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤਾ ਨਾਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਇਹ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
 ਗਤੀਸ਼ੀਲਤਾ ਅਧੀਨ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। (ਕਿਸੇ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਵਾਸਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਲਿਓਵਿੱਲੇ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।)
ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਅਧੀਨ ਇਸਦੇ ਰਸਤੇ ਦਾ ਪਿੱਛਾ ਕਰੋ। ਉਤਪਤੀ ਦੇ ਨਾਲ ਵੌਲੀਊਮ ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਸੁੰਭਰਦਾ (ਸਵੀਪ ਕਰਦਾ)ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਸੁੰਭਰਨ (ਸਵੀਪਿੰਗ) ਦਾ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਹਿੱਸਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅਕਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਵਕਤ ਪਾ ਕੇ ਫਰੋਲਿਆ ਗਿਆ ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ (ਜਿਸਨੂੰ ਫੇਜ਼ ਟਿਊਬ ਵੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ) ਰੇਖਿਕ (ਲੀਨੀਅਰ) ਤੌਰ ਤੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਅਜਿਹਾ ਜਰੂਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਕ੍ਰਿਆਯੋਗ ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ ਟਿਊਬ ਜਰੂਰ ਹੀ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਕੱਟਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਦੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਫੇਰ ਵੀ, ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਰਾਹੀਂ ਜਰੂਰ ਗੁਜ਼ਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਨ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਦਾ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਹਿੱਸਾ ਜਰੂਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਪੁਨਰ ਹੋਂਦ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ ਦੇ ਨਾ-ਵਾਪਸ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਅਕਾਰ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ- ਜੋ ਹੱਸਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਵੱਲ ਕਦੇ ਵਾਪਿਸ ਨਹੀਂ ਪਰਤਦਾ। ਪਿਛਲੇ ਪੈਰਾਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸਿਧਾਂਤ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਵਾਪਸ ਨਾ ਪਰਤਣ ਵਾਲਾ ਹਿੱਸਾ ਸੀਮਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੇਰ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਹਿੱਸਾ ਜਰੂਰ ਹੀ ਵਾਪਿਸ ਪਰਤਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਰੁੱਧ ਗੱਲ ਹੋਵੇਗੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਵਾਪਿਸ ਨਾ ਪਰਤਣ ਵਾਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਦਾ ਜਿਹੜਾ ਹਿੱਸਾ ਵੀ ਵਾਪਿਸ ਪਰਤਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਮੂਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਵੱਲ ਵੀ ਵਾਪਿਸ ਪਰਤਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਦਾ ਨਾ-ਵਾਪਸੀ ਹਿੱਸਾ ਸੀਮਤ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਅਤੇ ਜਰੂਰ ਹੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਤੌਰ ਤੇ ਛੋਟਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਤਿ ਸਿੱਧਮ.

ਥਿਊਰਮ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਦੇ ਕੁੱਝ ਪਹਿਲੂਆਂ ਉੱਤੇ ਟਿੱਪਣੀ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਯਕੀਨ ਇਹ ਸਬੂਤ ਨਹੀਂ ਦੇ ਸਕਦਾ ਹੈ:
 ਕੁੱਝ ਖਾਸ ਫੇਜ਼ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ ਵੱਲ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਪਰਤਦੇ, ਜਾਂ ਓਹ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਵੱਲ ਕਦੇ ਦੁਬਾਰਾ ਪਰਤਣ ਦੀ ਜਗਹ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਹੀ ਪਰਤਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਅਤਿ ਵਿਰਲੇ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿਸੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਦੇ ਇੱਕ ਅਤਿਸੂਖਮ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਰਚਦੇ ਹਨ।
ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ ਦੇ ਸਾਰੇ ਹਿੱਸੇ ਇੱਕੋ ਵਕਤ ਉੱਤੇ ਵਾਪਿਸ ਆਉਣ, ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕੁੱਝ ਹਿੱਸੇ ਪਹਿਲੇ ਲਾਂਘੇ ਉੱਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਨੂੰ, ਸਿਰਫ ਆਪਣੀ ਵਾਪਸੀ ਕਿਸੇ ਬਾਦ ਦੇ ਵਕਤ ਉੱਤੇ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ, ਮਿੱਸ ਕਰਨਗੇ।
 ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮਾਂ ਦੇ ਖਪਤ ਹੋ ਜਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫੇਜ਼ ਟਿਊਬ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਤੱਕ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਪਰਤਣ ਤੋਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਰੋਕਦਾ। ਇਸ ਦੀ ਇੱਕ ਮਮੂਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹਾਰਮੋਨਿਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਹੈ। ਜਿਹੜੇ ਸਿਸਟਮ ਸਾਰੇ ਸਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਫੇਜ਼ ਵੌਲਊਮ ਮੱਲਦੇ ਹਨ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਐਰਗੌਡਿਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। *ਇਹ ਬੇਸ਼ੱਕ ਸਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਵੌਲੀਊਮ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।)
 ਜੋ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਉਹ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਲੱਗਪਗ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਫੇਜ਼ ਵਾਸਤੇ, ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ ਅੰਤ ਨੂੰ ਓਸ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਫੇਜ਼ ਦੇ ਮਨਮਰਜੀ ਤੱਕ ਨਜ਼ਦੀਕ ਪਰਤ ਜਾਵੇਗਾ। ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਵਕਤ ਨਜ਼ਦੀਕੀਪਣ ਦੇ ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ ਦਰਜੇ (ਫੇਜ਼ ਵੌਲੀਊਮ ਦੇ ਆਕਾਰ) ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਦੀ ਜਿਆਦਾ ਵੱਡੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ,ਸਾਨੂੰ ਛੋਟਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੌਲੀਊਮ ਲੈਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਵਕਤ ਲੰਬਾ ਹੋਵੇ।
 ਕਿਸੇ ਵੌਲੀਊਮ ਅੰਦਰਲੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਫੇਜ਼ ਵਾਸਤੇ, ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਪੀਰੀਔਡਿਕ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਹੋਵੇ। ਦੂਜਾ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਵਕਤ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਵਕਤ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਹੀ ਹੋਵੇ।

 ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਰਸਮੀ ਸਟੇਟਮੈਂਟ 
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ

ਕੋਈ ਸੀਮਤ ਨਾਪਸਪੇਸ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ 

ਕੋਈ ਨਾਪ-ਸੁਰੱਖਿਅਕ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨ ਹੋਵੇ। ਹੇਠਾਂ ਥਿਊਰਮ ਦੀਆਂ ਦੋ ਬਦਲਵੀਆਂ ਸਟੇਟਮੈਂਟਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

 ਥਿਊਰਮ 1 
ਕਿਸੇ ਵੀ  ਵਾਸਤੇ,  ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ  ਦੇ ਸਮੂਹ (ਸੈੱਟ) ਲਈ ਨਾਪ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਾਸਤੇ  ਇੰਝ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ  ਵਾਸਤੇ  ਹੋਵੇ। ਯਾਨਿ ਕਿ,  ਦਾ ਲੱਗਪਗ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਹੀ  ਤੱਕ ਵਾਪਿਸ ਪਰਤ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਲੱਗਪਗ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਹੀ ਅਨੰਤ ਤੌਰ ਤੇ ਅਕਸਰ ਪਰਤ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ, 

ਕਿਸੇ ਸਬੂਤ ਲਈ, ਦੇਖੋ 

 ਥਿਊਰਮ 2 
ਅੱਗੇ ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਰੂਪ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ:

ਜੇਕਰ  ਕੋਈ ਦੂਜੀ-ਗਿਣਨਯੋਗ ਹੌਸਡੌਰਫ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ ਅਤੇ  ਬੋਰਲ ਸਿਗਮਾ-ਅਲਜਬਰਾ ਰੱਖਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫੇਰ  ਦੇ ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਪੂਰਾ ਨਾਪ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਯਾਨਿ ਕਿ, ਲੱਗਪਗ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਹੀ ਪੁਨਰ-ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 
ਇਸਦੇ ਇੱਕ ਸਬੂਤ ਦੇ ਲਈ, ਦੇਖੋ 

 ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਵਰਜ਼ਨ 
ਅਨਿਰੰਤਰ ਊਰਜਾ ਆਇਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਾਲੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਇੱਕ ਮਿਲਦੀ ਜੁਲਦੀ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ  ਅਤੇ  ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਵਕਤ T ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ  ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ,  ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ  ਵਕਤ t ਉੱਤੇ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਅਵਸਥਾ ਵੈਕਟਰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਸਬੂਤ ਦੇ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੱਤ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ। ਵਕਤ ਦੇ ਵਿੱਚ ਸਿਸਟਮ ਇਸ ਮੁਤਾਬਿਕ ਉਤਪੰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

ਜਿੱਥੇ  ਊੇਰਜਾ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਹਨ (ਅਸੀਂ ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਇਕਾਈਆਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਲਈ  ਹੁੰਦਾ ਹੈ), ਅਤੇ  ਊਰਜਾ ਆਇਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹਨ। ਵਕਤ T ਉੱਤੇ ਅਤੇ ਜ਼ੀਰੋ ਵਕਤ ਉੱਤੇ ਅਵਸਥਾ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਫਰਕ ਦੇ ਵਰਗ ਕੀਤੇ ਨੌਰਮ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ n = N ਉੱਤੇ T ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨਾਲ ਜੋੜਚਿੰਨ ਨੂੰ ਕੱਟ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ

ਜਿਸਨੂੰ ਮਨਮਰਜੀ ਤੱਕ ਛੋਟਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜੋੜਚਿੰਨ , ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਨੌਰਮ ਹੋਣ ਕਾਰਨ  1 ਤੱਕ ਸੁੰਗੜ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 
ਕਿ ਸੀਮਤ ਜੋੜ

ਮਨਮਰਜੀ ਤੱਕ ਘਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੂਰਨ ਅੰਕ  ਇੰਝ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ  ਵਾਸਤੇ

ਇਸ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ T ਵਾਸਤੇ ਅਜਿਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਮੌਜੂਦ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ 

ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਅਜਿਹੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਉੱਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਵਸਥਾ ਵੈਕਟਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ ਅਕਸਰ ਅਨੰਤ ਵਾਰ ਵਾਪਸ ਪਰਤਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

 ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ 
 ਐਰਗੌਡਿਕ ਪਰਿਕਲਪਨਾ
 ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਪਲੌਟ
 ਪੁਨਰਹੋਂਦ ਅੰਤਰਾਲ ਘਣਤਾ ਐਨਟ੍ਰੌਪੀ
 ਵੈਂਡ੍ਰਿੰਗ ਸੇੱਟ
 ਬੋਲਟਜ਼ਮਨ ਬ੍ਰੇਨ

 ਹਵਾਲੇ 

 ਹੋਰ ਲਿਖਤਾਂ 


 ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ 


ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਡਾਇਨੈਮੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਅੰਦਰ ਥਿਊਰਮ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਐਰਗੌਡਿਕ ਥਿਊਰੀ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਮਕੈਨਿਕਸ