ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ ਜਾਂ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (SR, ਜਿਸਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ਲ ਥਿਊਰੀ ਔਫ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਜਾਂ STR ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।) ਖਲਾਅ(ਸਪੇਸ) ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਸਭ ਦੁਆਰਾ ਸਵੀਕਾਰ ਕੀਤੀ ਗਿਆ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਉੱਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਹੈ: (1) ਕਿ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਸਾਰੇ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਸਿਸਟਮਾਂ (ਐਕਸਲਰੇਟ ਨਾ ਹੋ ਰਹੀਆਂ ਰੈੱਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮਾਂ) ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ (ਆਇਡੈਂਟੀਕਲ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ (2) ਕਿ ਵੈੱਕਮ (ਪੁਲਾੜ) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਸਾਰੇ ਦਰਸ਼ਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦਾ ਸੋਮਾ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਹੀ ਕਿਉਂ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਿਧਾਂਤ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਚੇ “ਇਲੈਕਟਰੋਡਾਇਨੇਮਿਕਸ ਆਫ਼ ਮੂਵਿੰਗ ਬਾਡੀਜ਼” (ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਉੱਤੇ) ਵਿੱਚ ਸੰਨ 1905 ਵਿੱਚ ਅਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।। ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਦੀਆਂ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਬੇਮੇਲਤਾ ਅਤੇ ਕਿਸੇ  ਰੋਸ਼ਨੀ ਛੱਡਣ ਵਾਲੇ ਈਥਰ ਰਾਹੀਂ ਗੁਜ਼ਰਦੀ ਧਰਤੀ ਦੀ ਗਤੀ ਖੋਜਣ ਦੀ ਨਾ-ਕਾਬਲੀਅਤ ਨੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵੱਲ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੱਤੀ, ਜਿਸਨੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਨੇੜੇ ਦੀਆਂ ਗਤੀਆਂ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਸਥਿਤੀਆਂ ਨਾਲ ਨਿਬਟਣ ਲਈ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨੂੰ ਸੋਧਿਆ। ਜਿਵੇਂ ਅੱਜ ਕੱਲ ਦਾ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਪੀਡ ਉੱਤੇ ਗਤੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਮਾਡਲ ਹੈ। ਤਾਂ ਵੀ, ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਛੋਟੀਆਂ ਵਿਲੌਸਟੀਆਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਲੱਗਭੱਗ ਸੰਖੇਪਤਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਜੇ ਵੀ ਸਹਾਇਕ ਹੈ (ਇਸਦੀ ਸਰਲਤਾ ਅਤੇ ਉੱਚ-ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਕਾਰਨ)। 

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਦਾਇਰੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਲੈਂਥ ਕੰਟਰੈਕਸ਼ਨ (ਲੰਬਾਈ ਸੁੰਘੜਨੀ), ਟਾਈਮ ਡਿਲੇਸ਼ਨ (ਵਕਤ ਦਾ ਖਿਚਾਓ), ਰਿਲੇਟਿਵਸਟਿਕ ਮਾਸ (ਸਾਪੇਖਿਕ ਪੁੰਜ), ਮਾਸ-ਐਨਰਜੀ ਇਕੁਈਵੇਲੈਂਸ (ਪੁੰਜ-ਊਰਜਾ ਸਮਾਨਤਾ), ਇੱਕ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਸਪੀਡ ਹੱਦ, ਅਤੇ ਸਿਮਲਟੀਨਿਟੀ (ਇਕੱਠੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ) ਦੀ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ। ਇਸਨੇ ਇੱਕ ਸ਼ੁੱਧ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਵਕਤ ਦੀ ਪਰੰਪਰਾਗਤ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਟਾਈਮ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਜੋ ਰੈਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮ ਅਤੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਵਕਤ ਅਰਸੇ ਦੀ ਜਗਹ, ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਤਰਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਹੋਰ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਦੋ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣ ਮਾਸ ਅਤੇ ਐਨਰਜੀ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਮਾਸ-ਐਨਰਜੀ ਸਮਾਨਤਾ ਫਾਰਮੂਲੇ E = mc2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ c ਨੂੰ ਵੈਕੱਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਲੱਛਣ ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਗੈਲੀਲੀਅਨ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨਾਲ ਬਦਲਨਾ ਹੈ। ਟਾਈਮ ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਗੋਂ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ, ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਕਹੇ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿੱਚ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪਿਰੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦਰਸ਼ਕ ਲਈ ਇੱਕੋ ਵਕਤ ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹੀ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਦਰਸ਼ਕ ਲਈ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਵਕਤ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਨਜ਼ਰ ਆ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। 

ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੋਣਾ ਇਸ ਗੱਲ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਿਰਫ ਉਹਨਾਂ ਸਪੈਸ਼ਲਾ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਰੈਵਿਟੀ ਕਾਰਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਮਮੂਲੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗਰੈਵਿਟੀ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ 1915 ਵਿੱਚ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਫਾਰਮੂਲਾਬੱਧ ਕੀਤੀ। (ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ, ਕੁੱਝ ਪੁਰਾਣੇ ਵਿਵਰਣਾਂ ਤੋਂ ਵਿਰੁੱਧ, ਐਕਸਲਰੇਟ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਰੈਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮਾਂ ਨਾਲ ਨਿਬਟਣਯੋਗ ਹੈ)

ਜਿਵੇਂ ਗੈਲੀਲੀਅਨ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਹੁਣ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸਮੀਪਤਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਘੱਟ ਸਪੀਡਾਂ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੈ, ਓਸੇ ਤਰਾਂ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਨੂੰ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਇੱਕ ਨੇੜੇ ਦੀ ਸੰਖੇਪਤਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੋ ਕਮਜੋਰ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜਰੂਰਤ ਜਿੰਨੇ ਛੋਟੇ ਪੈਮਾਨੇ  ਅਤੇ ਸੁਤੰਤਰ ਗਿਰਾਵਟ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਗੈਰ-ਯੂਕਿਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨਾਲ ਸਹੋਯੋਗ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਨਾਮ ਨਾਲ ਜਾਣੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਲੌਰੇੰਟਜ਼ ਸਥਿਰ ਫਰੇਮ ਜੋ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੋਵੇ, ਕਾਫੀ ਸੂਖਮ ਪੈਮਾਨੇ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਕਰਵਡ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। 

ਗੈਲੀਲੀਓ ਗੈਲੀਲੀ ਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਸੀ। ਕਿ ਰੈਸਟ (ਕੋਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਅਧਿਕਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਰੈਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮ ਨਹੀਂ) ਦੀ ਸ਼ੁੱਧ ਅਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਹੁਣ ਗੈਲੀਲੀਓ ਦਾ ਸਾਪੇਖਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਇਸ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਵਧਾਇਆ ਕਿ ਇਸਨੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਥਿਰ ਸਪੀਡ ਲਈ ਮੰਗ ਕੀਤੀ, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਜੋ ਤਾਜ਼ਾ ਸਮਿਆਂ ਵਿੱਚ ਮਾਈਕਲਸਨ ਮੋਰਲੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਸਨੇ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇਹ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ।   


 ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣ 

ਚਾਹੇ ਮਕੈਨਿਕਸ ਜਾਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੇ ਉਦੋਂ ਦੇ ਗਿਆਤ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੀ ਸਹੀ ਪ੍ਰਮਾਣਿਕਤਾ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹੋਏ ਵੀ, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਦੋ ਮੁਢਲੇ ਪ੍ਰਸਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਨੂੰ ਪਹਿਚਾਣਿਆ ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਭਰੋਸੇਮੰਦ ਲਗਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਅਤੇ  ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਚੋਣ ਤੋਂ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਧਾਂਤਾਂ (ਖਾਸ ਕਰ ਕੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ) ਦੀ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਸਨ। 1905 ਵਿੱਚ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਬਾਬਤ ਅਪਣੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਸਨੇ ਇਹਨਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਦਰਸਾਇਆ:

 ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ – ਜਿਹਨਾਂ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਰਾਹੀਂ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿੱਚ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਤਬਦੀਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਸਿਧਾਂਤ ਬਦਲਦੇ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਚਾਹੇ ਇਹ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ ਇੱਕਸਾਰ ਬਦਲਦੀ ਗਤੀ ਅਧੀਨ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਦੋ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੂਜੇ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ। 

 ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਥਿਰ ਸਪੀਡ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ – “…ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਖਾਲੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਵਿਲੌਸਿਟੀ (ਸਪੀਡ) c ਨਾਲ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੋਮੇ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।” ਯਾਨਿ ਕਿ, ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਵੈਕੱਮ ਵਿੱਚ ਸਪੀਡ c (ਇੱਕ ਫਿਕਸ ਸਥਿਰਾਂਕ, ਜੋ ਦਿਸ਼ਾ ਤੋਂ ਮੁਕਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਨਾਲ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ (ਸਟੇਸ਼ਨਰੀ ਸਿਸਟਮ) ਦੇ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸੰਚਾਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੇ ਸੋਮੇ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਅਵਸਥਾ  ਨੂੰ ਨਜ਼ਰ ਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। 

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਰਚਨਾ ਨਾ ਕੇਵਲ ਸਿਰਫ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵੇਂ ਬਾਹਰੀ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਕਈ  ਅਣਕਹੀਆਂ ਮੌਨ ਧਾਰਨਾਵਾਂ (ਜੋ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀਆਂ ਲੱਗਭੱਗ ਸਭ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਬਣੀਆਂ ਸਨ) ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਦੀ ਆਈਸੋਟ੍ਰੋਪੀ ਅਤੇ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਟੀ ਅਤੇ ਨਾਪਣ ਵਾਲੀਆਂ ਛੜੀਆਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਭੂਤਕਾਲ ਇਤਿਹਾਸ ਤੋਂ ਘੜੀਆਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। 

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਬਾਬਤ 1905 ਵਾਲੀ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਮੂਲ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਨੂੰ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਦੇ ਕਈ ਵੱਖਰੇ ਸੈੱਟ ਵੀ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਬਦਲਵੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਅੰਦਰ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ। ਫੇਰ ਵੀ, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਉਸਦੇ ਅਪਣੇ ਮੂਲ ਪੇਪਰ ਵਾਲਾ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਾਂਝਾ ਸੈੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਸਬੰਧੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਗਣਿਤਿਕ ਕਥਨ, ਜੋ ਉੱਪਰ ਨਹੀਂ ਲਿਖੀ ਸਰਲਤਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ ਉਹ ਇਹ ਹੈ:

ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦਾ ਸਪੈਸ਼ਲ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ : ਜੇਕਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ K ਦਾ ਕੋਈ ਸਿਸਟਮ ਇਸਤਰਾਂ ਚੁਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ, ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਧਾਂਤ ਅਪਣੀ ਸਰਲਤਮ ਕਿਸਮ ਵਿੱਚ ਸਹੀ ਤਰਾਂ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਓਹੀ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ K’ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਰਹਿਣਗੇ, ਜੋ K ਤੋਂ ਇੱਕ ਇੱਕਸਾਰ ਤਬਦੀਲੀ ਅਧੀਨ ਸਾਪੇਖਿਕ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 

ਹੈਨਰੀ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਨੇ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਰਿਲੇਟੀਵਵਿਟੀ ਥਿਊਰੀ ਲਈ ਗਣਿਤਿਕ ਢਾਂਚਾ ਮੁੱਹਈਆ ਕਰਵਾਇਆ ਕਿ “ਲੌਰੈੰਟਜ਼ ਤਬਦੀਲੀਆਂ” ਉਸਦੇ “ਸਮਿੱਟਰੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਵਾਲੇ ਪੋਆੀਨਕੇਅਰ ਗਰੁੱਪ” ਦੀਆਂ ਇੱਕ ਸਬਸੈੱਟ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।  ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ (ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ) ਨੂੰ ਅਪਣੇ ਨਿਯਮਾਂ ਤੋਂ ਰਚਿਆ। 

ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪੇਪਰ ਇਹਨਾਂ ਦੋਵੇਂ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਲੌਰੇੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਵਿਊਂਤਪੱਤੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। 

ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਲੌਰੇੰਟਜ਼ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ (ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਲਾਜ਼ਮੀ ਕੋਰ) ਦੀ ਵਿਉਂਤਪੱਤੀ ਨੂੰ ਸਥਿਰਤਾ ਨਾਲ ਸਿਰਫ ਦੋ ਮੁਢਲੇ ਸਾਪੇਖਤਾ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ  ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਉੱਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਬਣਾਇਆ। ਉਸਨੇ ਲਿਖਿਆ:

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਲਈ ਮੁਢਲੀ ਗਹਿਰੀ ਬੁੱਧੀ ਇਹ ਹੈ: ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਥਿਰ ਸਪੀਡ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਤਾਂ ਅਨੁਕੂਲ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ “ਵਕਤਾਂ” ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਵਟਾਂਦਰੇ (ਕਨਵਰਸ਼ਨ) ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ (ਲੌਰੇੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ) ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ… ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਸਪੈਸ਼ਲ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਸਿਧਾਂਤ ਇਸ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਹੈ: ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਲੌਰੇੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ (ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਮਨਮਰਜੀ ਨਾਲ ਚੁਣੇ ਗਏ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਸਿਸਟਮ ਤੱਕ ਦਾ ਵਟਾਂਦਰਾ) ਪ੍ਰਤਿ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੁਦਰਤੀ ਕਨੂੰਨਾਂ ਲਈ  ਇੱਕ ਪਾਬੰਧੀ ਲਗਾਉਣ ਵਾਲਾ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ।    

ਇਸਤਰਾਂ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਜੋਕੇ ਇਲਾਜ ਇਸਦਾ ਅਧਾਰ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਲੌਰੇੰਟਜ਼ ਕੋਵੇਰੀਅੰਸ ਦੇ ਇੱਕੋ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣ, ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ, ਇੱਕੋ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣ ਤੇ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। 

ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਨੂੰ ਲਏ ਵਗਵੈਰ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਤੋਂ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸਪੇਸ ਦੀ ਆਈਸੋਟ੍ਰੋਪੀ ਅਤੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਮਿੱਟਰੀ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ) ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਪਰਿਵਰਤਨ ਯੂਨਿਕਲਡਨ, ਗੈਲੀਲੀਅਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਲੌਰੇੰਟਜ਼ੀਅਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਲੌਰੇੰਟਜ਼ੀਅਨ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਾਲੀਆਂ ਗੱਲਾਬਾਂਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੀਮਤ ਸਪੀਡ ਦੀ ਹੱਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਯੋਗ ਸੁਝਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਹ ਸਪੀਡ ਵੈਕੱਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। 

ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਹੋਈ ਸੀ। ਅਤੇ ਚਮਕਦਾਰ ਈਥਰ ਲਈ ਸਬੂਤਾਂ ਦੀ ਕਮੀ ਰਹੀ। ਮਾਈਕਲਸਨ ਮੋਰਲੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨਾ ਨਿਕਲਣ ਦੁਆਰਾ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਕਿੰਨੀ ਕੁ ਦੇਰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਰਿਹਾ, ਇਸ ਗੱਲ ਦੇ ਪਰਸਪਰ ਵਿਰੋਧੀ ਸਬੂਤ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਮਾਈਕਲਸਨ ਮੋਰਲੇ ਐਕਸਪੈਰੀਮੈਂਟ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨਤੀਜੇ ਨੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਦੀ ਸਪੀਡ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਪੱਧਰ ਤੇ ਫੈਲਾਉਣ ਅਤੇ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਸਵੀਕਾਰਨ ਵਿੱਚ ਮੱਦਦ ਕੀਤੀ ।

 ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦਾ ਰੇਖਾਗਣਿਤ 
 ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ 

ਗਣਿਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ  ਜਾਂ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ, ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦਾ ਇੱਕ 4-ਅਯਾਮੀ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਬਹੁਪਰਤ) ਵਿੱਚ ਮੇਲ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਤਰਾਲ (ਇੰਟਰਵਲ) ਓਸ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮ (ਢਾਂਚੇ) ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਸ ਨੂੰ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬੇਸ਼ੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਦੀਆਂ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਗਣਿਤਿਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਸ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ)ਦੇ ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣ ਦੇ ਤੁਰੰਤ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕ ਤੌਰ ਤੇ ਜੁੜੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਾਂਝੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਕਰਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂਕਿ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਲੰਬਾਈ ਸੁੰਗੜਨ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆ (ਲੈਂਥ ਕੰਟਰੈਕਸ਼ਨ) ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਦੇਰੀ (ਟਾਈਮ ਡਿਲੇਸ਼ਨ) ਕਾਰਣ ਅਕਸਰ ਫਰਕ ਰੱਖਣਗੇ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਰੀਆਂ ਰੈੱਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵਕਤ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਲੈਂਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। 

ਆਈਸੋਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪ, ਜੋ ਕਿ ਨਿਯਮਿਤ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਭਰਪੂਰ ਇੱਕ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਯੂਕਿਲਡਨ ਡਿਸਟੈਂਸਾਂ (ਵਿੱਥਾਂ) ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਯੂਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਆਇਸੀਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਜੋ ਗੈਰ-ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ (ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ) ਅਕਾਰ (ਇੱਥੇ ਉਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਸਮੇਤ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਸੁੱਰਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ (ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ) ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਤਰਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹਨਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਤਰਕ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ। 

 ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ 
250px|right|thumb|ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ (1864 – 1909)  ਇੱਕ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਖੋਜਿਆ ਕਿ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਜੋ ਉਸਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਨੂੰ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੋਂ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਜਾਣ ਲੱਗ ਪਿਆ
 ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ 

1905 ਵਿੱਚ, 1906 ਵਾਲੀ ਪਬਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ, ਹੈਨਰੀ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਟਾਈਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਚੌਥੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (√−1 c t) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੈ ਕੇ, ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮੇਸ਼ਨ (ਪਰਿਵਰਤਨ) ਨੂੰ, ਤਿੰਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਚੌਥੇ ਅਯਾਮ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਟਾਈਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਯੁਕਤ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ (ਚੱਕਰ) ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੇਰ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਬੇਸ਼ੱਕ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਨੇ ਇਹ ਵਿਆਖਿਆ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤੀ ਸੀ, ਉਸਦਾ ਮਕਸਦ ਜਾਣੀ ਪਛਾਣੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਖੁੱਲ ਕੇ ਸਮਝਾਉਣਾ ਹੀ ਸੀ। 

ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਜਿਸਨੇ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਅਧੀਨ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ ਸਿੱਧੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪੁਨਰਕਥਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋ ਕੀਤੀ।  ਉਸਨੇ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੀ ਉਸ ਵਕਤ ਦੀ ਤਾਜ਼ਾ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁਨਰ ਸੂਤਰਬੱਧ ਕੀਤਾ। ਇਸਤੋਂ ਉਸਨੇ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢਿਆ ਕਿ ਟਾਈਮ ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਤਰਾਂ ਉਸਨੇ ਇੱਕ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿੱਚ ਹੋ ਰਹੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਅਪਣੇ ਸੰਕਲਪ  ਨੂੰ ਉੱਚਾ ਚੁੱਕਿਆ। 

 ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ  

ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਕਿਸੇ ਵਿਕਾਸ ਲਈ, ਉਸਨੇ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੇ ਬਦਲੇ ਹੋਏ ਰੂਪ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਦੀ ਜਗਹ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵਕਤ ਵਾਲੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸਨ ਜੋ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਅੱਫਾਈਨ (ਸਮਾਂਤਰ ਸਬੰਧ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਣ ਵਾਲੀ) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਸਪੇਸ ਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ (x, y, z, t) ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਇਸ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (ਉੱਪਰ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ) ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਈਟ-ਕੋਨ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਲਾਈਟ-ਕੋਨ ਉੱਤੇ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਜਾਂ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਧੁਰਿਆਂ ਨਾਲ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ਰਾਹੀਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦਾ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅੱਜਕੱਲ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਵਕਤ ਵਾਲੇ ਪੁਰਾਣੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਨੇ ਵੀ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ, ਜੋ ਅਪਣੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਮੂਲ ਪੁਨਰਬਿਆਨਬਾਜੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣਦਾ ਸੀ, ਨੇ ਕਿਹਾ,  

ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਜੋ ਮੈਂ ਤੁਹਾਡੇ ਅੱਗੇ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਉੱਭਰੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਕਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮੁਢਲੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਹਨ। ਇਸਲਈ ਸਪੇਸ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ, ਟਾਈਮ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ ਪਰਛਾਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲੁਪਤ ਹੋਣ ਲਈ ਦੋਸ਼ੀ ਪਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਇਹਨਾਂ ਦੋਹਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਹੀ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਨੂੰ ਸੁੱਰਖਿਅਤ ਕਰੇਗਾ । 
---ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ, 1907

 ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ 

ਇੱਕ ਨਿਰੀਖਣ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਲਈ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇੱਕ 4-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਹੀਸਲਾਮਤ (ਨੌਨਡਿਜਨਰੇਟ), ਸਮਰੂਪ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ (ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ) ਅਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਥੇ ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਰਫ (−,+,+,+) ਜਾਂ (+,−,−,−) ਹਸਤਾਖਰ ਵਾਲਾ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸਾਂ ਨਾਲ ਵਾਸਤਾ ਰੱਖਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦੀ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਫਿਤਰਤ, ਖੁਦ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਬਿੰਦੂਆਂ, ਘਟਨਾਵਾਂ) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਘਟਨਾਵਾਂ) ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਕੁੱਝ ਮਕਸਦਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ p ਉੱਤੇ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਛਾ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਉਸੇ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਪਛਾਣ ਰਾਹੀਂ ਸਵੀਕਾਰ ਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 

ਸਿਗਨੇਚਰ ਓਸ ਚਿੰਨ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤਰਕ ਤੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਹੋਣ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਕ (−,+,+,+) ਸਿਗਨੇਚਰ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂਕਿ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ (+,−,−,−) ਸਿਗਨੇਚਰ ਨੂੰ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (ਸ਼ੁੱਧ ਸਪੇਸ ਵੈਕਟਰ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ “ਨੌਰਮ-ਸਕੁਏਰਡ” ਸਿਰਜਦੇ ਹਨ) ਲਈ ਤਰਕ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਹੱਦ c → ∞ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਯੂਕਿਲਡਨ ਕੇਸ ਤੋਂ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਬਾਦ ਵਾਲੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (ਸ਼ੁੱਧ ਸਪੇਸ ਵੈਕਟਰ ਨੈਗਟਿਵ “ਨੌਰਮ-ਸਕੁਏਰਡ” ਸਿਰਜਦੇ ਹਨ) ਲਈ ਤਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਘਟਾਓ ਦੇ ਚਿੰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਕ ਜਾਣਾ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ। 

ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਇਸ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਅਕਾਰ ਨਾਲ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ (0,2) ਕਿਸਮ ਵਾਲਾ ਟੈਂਸਰ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ, ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ, ਅਤੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਅੱਗੇ ਪੜਨਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। 

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ L, ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ g ਯੁਕਤ ਦੀ ਤਰਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ L ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ p ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ  ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਲਾਮਤ ਸਮਰੂਪ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ (ਨੌਨਡਿਜਨਰੇਟ ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ) ਅਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ “ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ” ਇੱਕ  4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇਸਤਰਾਂ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦਾ ਇੱਕ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਰਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ M ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਉਹੀ ਸਮਰੂਪ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਤਰਕਾਂ ਨੂੰ ਖੁਦ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।  

ਹੋਰ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨਾਲ ਜਾਣ ਪਛਾਣ ਕਰਵਾਉਂਦੇ ਹੋਏ (ਪਰ ਹੋਰ ਬਣਤਰ ਨਾਲ ਨਹੀਂ), ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇਸਤਰਾਂ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਕੁੱਲ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ  n=4 ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (3, 1) ਜਾਂ (1, 3) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ (ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ) ਨੂੰ ਇਵੈੰਟਸ (ਘਟਨਾਵਾਂ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਸਿਗਨੇਚਰ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ ਅਕਸਰ  ਜਾਂ  ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਿਰਫ M ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸ਼ਾਇਦ ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦੀ ਸਰਲਤਮ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। 

 ਸੂਡੋ-ਯੂਕਿਲਡਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਨਿਯਮ 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ η ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਇਸਤਰਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਨੌਨਡੀਜਨਰੇਟ ਸਮਰੂਪ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ ਅਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ  (0,2) ਕਿਸਮ ਦਾ ਟੈਂਸਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਤਰਕ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ;   ਜੋ  ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ  M ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ p ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ ਹੈ। ਖੁਦ M ਨਾਲ  ਦੀ ਉੱਪਰ ਦੱਸੀ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਪਛਾਣ ਕਾਰਣ, ਇਹ M ਵਿੱਚ ਦੋਹੇ u, v ਤਰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।  

ਸੰਕਲਪਿਕ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, M ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ v  ਨੂੰ 4-ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਗੈਰ ਨੋਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਨਸ ਸੈਰਿਫ ਇਟਾਲਿਕ ਅੱਖਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਨਾ ਕਿ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸੈਟਿੰਗ ਮੁਤਾਬਿਕ ਬੋਲਡਫੇਸ v ਦੀ ਤਰਾਂ। ਬਾਦ ਵਾਲਾ ਚਿੰਨ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੇ 3-ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਰਾਖਵਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।  

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

M ਉੱਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਵਾਂਗ ਬਣਤਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਯੂਕਿਲਡਨ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਾਂਗ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀਆਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ,


ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਸ਼ਰਤਾਂ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰਟੀ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕਤਾ) ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਮਿੱਥ-ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਹੋਣਾ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ η(u, u) < 0 (ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਘੱਟ) ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ  v ਅਤੇ w ਨੂੰ ਔਰਥੋਗਨਲ (orthogonal) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ η(v, w) = 0 ਹੋਵੇ। 

ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ  e ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ  η(e, e) = ±1 ਹੋਵੇ। ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ (ਸਮਕੋਣ) ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣੇ M ਲਈ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ (ਅਧਾਰ) ਨੂੰ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 

ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮ ਲਈ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਨਾਲ ਯੂਨਿਟ ਟਾਈਮ ਵੈਕਟਰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਤੇ ਨੈਗੈਟਿਵ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਫਿਕਸ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਦੇ ਸਿਗਨੇਚਰ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਿਲਵੈਟਰ ਦਾ ਇਨਰਸ਼ੀਆ ਨਿਯਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 
ਹੋਰ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ (ਪਰ ਬਣਤਰ ਨਹੀਂ): ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਤੋਂ ਵੀ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਰਫ ਸਿਗਨੇਚਰ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਦੀ ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਨਾਲ 4-ਅਯਾਮੀ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਲਈ ਰਾਖਵਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

 ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ 

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੇ ਦੋ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ 1,2 ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਇੰਟਰਵਲ (ਅੰਤਰਾਲ)


ਚੁਣੀ ਗਈ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੈਕਟਰ ± ਦਾ ਸਰਲਾਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਿਗਨੇਚਰ ਦੀ ਚੋਣ ਖੁੱਲੀ ਛੱਡ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। η ਦਾ ਸੰਖਿਅਕ ਮੁੱਲ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਰਹੇ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ। 

ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਹਿਤ (ਲਿਟਰੇਚਰ) ਵਿੱਚ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਦੇ ਸਿਗਨੇਚਰ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਸਥਿਰਤਾ ਨਾਲ ਨਾਮਬੱਧ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ। ਅੰਤਰਾਲ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਥੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ) ਕਦੇ ਕਦੇ ਇੰਟਰਵਲ ਸਕੁਏਰਡ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਮੌਜੂਦਾ ਇੰਟਰਵਲ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ (ਸਕੁਏਅਰ ਰੂਟ) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਿਗਨੇਚਰ ਅਤੇ ਇੰਟਰਵਲ ਫਿਕਸ ਕਰ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਅਜੇ ਵੀ ਬਣੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵਕਤ ਦਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਹੜਾ ਹੈ। ਇਹ ਚੌਥਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਪਹਿਲਾ (ਜ਼ੀਰੋ ਵਾਲਾ) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।  ਇਹ ਸੰਕਲਿਪ ਅਸਿਥਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵਿਸਥਾਰ ਪੂਰਵਕ ਸੂਚੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਜਿੰਦਗੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸੱਚਾਈ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਲਿਟਰੇਚਰ ਦੀ ਸਲਾਹ ਲੈਣ ਲੱਗੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜਾਂਚ ਲੈਣਾ ਪਹਿਲੀ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। 

ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ (ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ) ਅਧੀਨ ਇੰਟਰਵਲ (ਅੰਤਰਾਲ) ਦੀ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ (ਸਥਿਰਤਾ) ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਮਾਤਰਾ (ਕਿਸੇ ਵੀ ਚਿੰਨ ± ਲਈ ਰੱਖਵਾਂ) ਦੇ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲੀਨੀਅਰ (ਰੇਖਿਕ) ਹੋਵੇ ; 



ਇਸ ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰ (ਵਰਗਾਕਾਰ) ਨੂੰ  ਪੋਲਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ (ਧਰੁਵੀ-ਪਹਿਚਾਣ) ਰਾਹੀਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;



ਇਸ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;



ਜਿੱਥੇ  [η]  ਇੱਕ  4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ η ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਗਲਤਫਹਿਮੀ ਭਰੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ, [η] ਨੂੰ ਸਿਰਫ η ਨਾਲ ਲਿਖ ਦੇਣਾ ਰਿਵਾਜ ਜਿਹਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਪਸ਼ਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਤੋਂ ਇਸ ਤਰਾਂ ਪੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

ਅਤੇ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਪੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਨਾਲ ਇਹ ਸੈਕਸ਼ਨ ਇਸਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।, ਜੋ ਹੁਣ ਪਛਾਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ;



ਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਅਤੇ ਸੰਖੇਪ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਲਈ, ਸਿਗਨੇਚਰ (−,+,+,+) ਨੂੰ ਹੁਣ ਅਪਣਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚੋਣ ਦਾ ਕੋਈ ਭੌਤਿਕੀ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਚੋਣ ਵਾਲੇ ਸਿਗਨੇਚਰ ਨਾਲ, ਸਿਗਨੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਚੋਣ ਵਾਲਾ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਸਮਿੱਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਆਈਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।  ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਚੋਣਾਂ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤੀ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੀ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ।

 ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਚਾਰ ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ   ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ;



ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

ਸਟੈੰਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ, ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ v ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ  ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ  ਲਿਖਣ ਲਈ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਧਾਰਨਾ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ v ਦਾ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂਕਿ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਸਥਾਨਿਕ ਹਿੱਸੇ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ 3-ਵੈਕਟਰ  ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 

ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ v ਅਤੇ w ਦਰਮਿਆਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

ਅਤੇ

ਇੱਥੇ ਮੀਟ੍ਰੀਕ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨੂੰ ਥੱਲੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਕਨੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਨੌਨ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਦੋਹਰੀ (ਡਿਊਲ) ਸਪੇਸ ਦਰਮਿਆਨ ਨਕਸ਼ਾ ਮੁੱਹਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਮੈਪ (ਨਕਸ਼ਾ) M ਦੀਆਂ ਟੈਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸਾਂ ਅਤੇ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। M ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਡਿਊਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਤਰਕ ਫਿਕਸ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ, ਰੀਸਜ਼ ਰੀਪ੍ਰੈਜ਼ੈਂਟੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ, ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਦੇ ਐਕਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਵੇਂ ਹੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕੁੱਝ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।  

ਇਸਤਰਾਂ ਜੇਕਰ  ਕਿਸੇ ਟੈਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੋਣ, ਤਾਂ   ਸਹਿਸਪਰਸ਼ (ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ, ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੋਣਗੇ। M ਦੇ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਾਰਣ ਇਹ ਜਿਆਦਾਤਰ ਇਗਨੋਰ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਥੱਲੇ ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਲੋਅਰ ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਇਸ ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ  (ਲੱਗਭੱਗ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਉਲਝਾਓ ਨਾਲ) ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਅੱਪਰ ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਕੌਂਟਰਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਤੋਂ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਵੱਲ ਮੈਪ ਦਾ ਉਲਟ, ਜੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ η ਦੇ ਇਨਵਰਸ (1/ η) ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸੂਚਕਾਂਕ (ਇੰਡੈਕਸ) ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਚੁੱਕਣ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਇਨਵਰਸ (ਉਲਟ) ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ (ਹਿੱਸਿਆਂ) ਨੂੰ  ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਦਰਮਿਆਨ ਇਹਨਾਂ ਨਕਸ਼ਿਆਂ ਨੂੰ ਸੰਗੀਤਿਕ ਸਮਾਨਤਾ ਰਾਹੀਂ  (ਫਲੈਟ-ਈਟਾ) and (ਸ਼ਾਰਪ-ਈਟਾ) ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 

ਕਦੇ ਕਦੇ ਇੰਡੈਕਸ ਜਿਮਨਾਸਟਿਕਸ (ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਸ਼ਮਕਸ਼) ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਵਕਤ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਅਤੇ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣਾ ਅਤੇ ਕੌੰਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਤੋਂ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਤੋਂ ਕੌੰਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਨਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਰਥਕ ਹੈ। ਗਲਤ ਪ੍ਰਗਟਾਓ ਚਿੰਨ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਫਟਾਫਟ ਜ਼ਾਹਰ ਹੋਣ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ।

 ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਸਮਿੱਟਰੀ 


ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਗਰੁੱਪ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ (ਇੰਟਰਵਲ) ਨੂੰ 4-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ ਰਾਹੀਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਹੁੰਦਾ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਉਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਰਿਜਿਨ ਨੂੰ ਫਿਕਸ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ (ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ) ਤੋਂ ਢੁਕਵੇਂ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਲਿੰਕ ਕੀਤੇ ਆਰਟੀਕਲ ਵਿੱਚ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ  Φ ਦੇ ਨਾਲ η (ਇਸਦੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ) ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। 

ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਢੁਕਵਾਂ ਗਰੁੱਪ O(3,1) ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ (ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ) ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਭੌਤਿਕੀ ਮੋੜ ਨਾਲ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਖੋਜਣ ਲਈ ਦੇਖੋ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨਾਂ। 

ਸਰਲਤਮ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਬੂਸਟ ਹੈ। ਇਸ਼ਾਰੇ ਵਜੋਂ, x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੂਸਟ ਇਸਤਰਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; 

ਜਿੱਥੇ

ਨੂੰ ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ

 ਹੁੰਦਾ ਹੈ|

ਹੋਰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਸ਼ੁੱਧ ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ O(3,1) ਦੇ ਸਬਗਰੁੱਪ SO(3) ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਵੀ। ਇੱਕ ਸਧਾਰਣ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਸ਼ੁੱਧ ਬੂਸਟ ਅਤੇ ਸ਼ੁੱਧ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਇਨਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲਾਓ ਰਾਹੀਂ ਹੋਈ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ (ਪਰਿਵਰਤਨ) ਉਹ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਪੇਸ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਉਲਟਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ (PT)। 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਚਾਰੇ ਵੈਕਟਰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਅਧੀਨ ਉਸੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਡਾਇਗਰਾਮ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ।

 ਕਾਰਣਾਤਮਿਕ ਬਣਤਰ 

 250px|thumb|right|ਚਾਰ ਵੱਖਰੇ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀ ਸਬਡਿਵੀਜ਼ਨ। ਲਾਈਟ ਕੋਨ, ਸ਼ੁੱਧ ਭਵਿੱਖ, ਸ਼ੁੱਧ ਭੂਤਕਾਲ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਸਥਾਨ। ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ  ਤੋਂ ਲਈ ਗਈ ਹੈ.

ਵੈਕਟਰਾਂ  v = (ct, x, y, z) = (ct, r) ਨੂੰ  ਦੇ ਚਿੰਨ ਮੁਤਾਬਿਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।  ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ   ਹੋਵੇ,  ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ,  ਅਤੇ ਨੱਲ ਜਾਂ ਲਾਈਟਲਾਈਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ  ਹੋਵੇ। ਇਸਨੂੰ η(v,v) ਦੇ ਚਿੰਨ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਸਿਗਨੇਚਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਸਾਰੀਆਂ ਰੈਫਰੇਂਸ ਫਰੇਮਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਰਹੇਗੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਤਰਾਲ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। 
ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਕਿਸੇ ਘਟਨਾ ਉੱਤੇ ਸਾਰੇ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਓਸ ਘਟਨਾ ਦੀ ਲਾਈਟਕੋਨ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ v ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ ਤੇ, ਇਸ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਸਥਿਰ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਦੀ ਇੱਕ ਵਰਲਡਲਾਈਨ (ਸੰਸਾਰ ਰੇਖਾ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਡਾਇਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। 

ਇੱਕ ਵਾਰ ਵਕਤ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਚੁਣ ਲਈ ਜਾਣ ਤੇ, ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਅਤੇ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਕਈ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕੀਤਾ (ਵੰਡਿਆ) ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

 ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅਗਲਾ ਪਾਸਾ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਭਵਿੱਖ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ 
 ਭੂਤਕਾਲ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੈਗੈਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸ਼ੁੱਧ ਭੂਤਕਾਲ)

ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਤਿੰਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ;

 ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ, ਜਿਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ (0,0,0,0) (ਉਰਿਜਨ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ 
 ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਉੱਪਰਲੀ ਲਾਈਟਕੋਨ), ਅਤੇ 
 ਭੂਤਕਾਲ-ਦਿਸ਼ਾ  ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਥੱਲੇ ਵਾਲੀ ਲਾਈਟਕੋਨ)। 

ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ ਹੋਰ ਕਿਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਉਪਜਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਯਾਤਰਾ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ। ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਅਤੇ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੇ ਵੈਕਟਰ ਕੁੱਲ 7 ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੈਰ-ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਹੋਰ ਮੇਲ ਰੱਖਣੇ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਨੱਲ ਬੇਸਿਸ ਕਿਹਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸਾਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਇੱਕ (ਨੌਨ-ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ) ਬੇਸਿਸ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਾਸਤਵਿਕਾਂ ਉੱਪਰ, ਜੇਕਰ ਦੋ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੋਣ (ਜ਼ੀਰੋ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਟੈਂਸਰ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ), ਤਾਂ ਉਹ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤਿਕ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਆਗਿਆ ਦੇਣ ਤੇ, ਇੱਕ ਨੱਲ ਟੈਟ੍ਰਾਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਬੇਸਿਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁੱਝ ਵੈਕਟਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।  

ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਟਾਈਮਲਾਈਕ, ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਜਾਂ ਨੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਬੰਧਤ ਹਰੇਕ ਓਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਟਾਈਮਲਾਈਕ, ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਜਾਂ ਨੱਲ ਹੋਣ ਜਿੱਥੇ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।  

 ਕਾਲਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਅਤੇ ਕਾਰਣਤਾਮਿਕ ਸਬੰਧ 

ਮੰਨ ਲਓ x, y ∈ M ਹੋਣ।  ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ;

 x ਕਾਲਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ (ਕ੍ਰੋਨੋਜੀਕਲੀ) y ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ  y – x ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਟਰਾਂਜ਼ੀਟਿਵ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇਸਨੂੰ  x < y ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।  
 x ਕਾਰਣਾਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ (ਕੈਜ਼ੁਅਲੀ) y ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ y – x ਭਵਿੱਖ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਨੱਲ ਜਾਂ ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਕ੍ਰਮ (ਪਾਰਸ਼ਲ ਔਰਡਰਿੰਗ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ x ≤ y ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 

 ਉਲਟ ਤਿਕੋਣ ਅਸਮਾਨਤਾ 

ਜੇਕਰ v ਅਤੇ  w ਦੋਵੇਂ ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਟਾਇਮਲਾਈਕ 4-ਵੈਕਟਰ ਹੋਣ ਤਾਂ  ਨੌਰਮ ਲਈ (+ - - -) ਸਾਈਨ (ਚਿੰਨ) ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਵਿੱਚ;

 ਹੋਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧ 
 ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਵੱਖਰੀ ਗਿਣਤੀ 

ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀ “ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ” ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਰਚਨਾ ਲਈ ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ n ≥ 2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ n-ਅਯਾਮੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ n ਵਾਸਤਵ ਅਯਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (n − 1, 1) ਜਾਂ (1, n − 1) ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਰਨ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨੂੰ 4-ਅਯਾਮਾਂ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਜਾਂ ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲਾ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਹੋਣਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ M-ਥਿਊਰੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ n > 4 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਕਨਫੋਰਮਲ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ 1 + 1 ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਯਾਮਾਂ ਨਾਲ ਦਿਸਦੀਆਂ ਹਨ। 

ਪੱਧਰੀ ਬਨਾਮ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ  

ਇੱਕ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਹਿੱਸੇ) ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੁਕੂਲ ਬੇਸਿਸ ਹੈ, ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨ ਮਹੱਤਤਾ ਬਗੈਰ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸੀਮਤ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੰਗਾ ਵਿਵਰਣ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਗਰੈਵਿਟੀ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਰਤਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਗੈਰ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਦੇ ਗਣਿਤ ਨਾਲ ਸੂਤਰਬੱਧ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨੂੰ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਕਰਵਡ (ਵਕਰਿਤ) ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।  

ਕਰਵਡ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਅਜੇ ਵੀ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀਆਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ) ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਅਤਿਸੂਖਮ ਖੇਤਰ (ਇਨਫਿਨਟੈਸੀਮਲ ਰਿਜਨ) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਵਰਣ ਹੈ। ਹੋਰ ਸੰਖੇਪ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗਰੈਵਿਟੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਇੱਕ 4-ਅਯਾਮੀ ਵਕਰਿਤ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਤਿ ਟੈਨਜੇਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਤਰਾਂ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਬਣਤਰ ਅਜੇ ਵੀ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਵਿੱਚ  ਜਰੂਰੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਹਵਾਲੇ

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ