ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ

ਗਣਿਤਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਜਾਂ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦਾ ਇੱਕ 4-ਅਯਾਮੀ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਬਹੁਪਰਤ) ਵਿੱਚ ਮੇਲ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਤਰਾਲ (ਇੰਟਰਵਲ) ਓਸ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮ (ਢਾਂਚੇ) ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਸ ਨੂੰ ਰਿਕਾਰਡ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬੇਸ਼ੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨਟਿਜ਼ਮ ਦੀਆਂ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਗਣਿਤਿਸ਼ਾਸਤਰੀ ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਫੇਰ ਵੀ ਇਸ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੇ ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣ ਦੇ ਤੁਰੰਤ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਨਾਲ ਨਜ਼ਦੀਕ ਤੌਰ ਤੇ ਜੁੜੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਉਹ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਸਾਂਝੀ ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ ਹੈ। ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਕਰਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਲੰਬਾਈ ਸੁੰਗੜਨ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆ (ਲੈਂਥ ਕੰਟਰੈਕਸ਼ਨ) ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਦੇਰੀ (ਟਾਈਮ ਡਿਲੇਸ਼ਨ) ਕਾਰਣ ਅਕਸਰ ਫਰਕ ਰੱਖਣਗੇ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਰੀਆਂ ਰੈੱਫਰੈਂਸ ਫਰੇਮਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂThis makes spacetime distance an invariant. ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵਕਤ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਲੈਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਆਈਸੋਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪ, ਜੋ ਕਿ ਨਿਯਮਿਤ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਭਰਪੂਰ ਇੱਕ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਯੁਕਿਲਡਨ ਡਿਸਟੈਂਸਾਂ (ਵਿੱਥਾਂ) ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਯੁਕਿਲਡਨ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਆਇਸੀਮੀਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਜੋ ਗੈਰ-ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ (ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ) ਅਕਾਰ (ਇੱਥੇ ਉਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਸਮੇਤ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਸੁੱਰਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ (ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ) ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਤਰਾਲ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹਨਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਅੰਤਰ ਵੈਕਟਰ ਤਰਕ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ।

 ਇਤਿਹਾਸ 
250px|right|thumb|ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ (1864 – 1909) ਇੱਕ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਖੋਜਿਆ ਕਿ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਜੋ ਉਸਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਸੀ, ਨੂੰ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੋਂ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਜਾਣ ਲੱਗ ਪਿਆ
 ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ 

1905 ਵਿੱਚ, 1906 ਵਾਲੀ ਪਬਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਲ, ਹੈਨਰੀ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਟਾਈਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਚੌਥੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (√−1 c t) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੈ ਕੇ, ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮੇਸ਼ਨ (ਪਰਿਵਰਤਨ) ਨੂੰ, ਤਿੰਨ ਵਾਸਤਵਿਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਚੌਥੇ ਅਯਾਮ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਟਾਈਮ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਰਿਹਾ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਯੁਕਤ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ (ਚੱਕਰ) ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੇਰ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਬੇਸ਼ੱਕ ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਨੇ ਇਹ ਵਿਆਖਿਆ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤੀ ਸੀ, ਉਸਦਾ ਮਕਸਦ ਜਾਣੀ ਪਛਾਣੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਖੁੱਲ ਕੇ ਸਮਝਾਉਣਾ ਹੀ ਸੀ।

ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦਾ ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies. ਦੁਆਰਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਜਿਸਨੇ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਪਰਿਵਰਤਨ ਅਧੀਨ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ ਸਿੱਧੇ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪੁਨਰਕਥਨ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋ ਕੀਤੀ। ਉਸਨੇ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੀ ਉਸ ਵਕਤ ਦੀ ਤਾਜ਼ਾ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁਨਰ ਸੂਤਰਬੱਧ ਕੀਤਾ। ਇਸ ਤੋਂ ਉਸਨੇ ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢਿਆ ਕਿ ਟਾਈਮ ਅਤੇ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਉਸਨੇ ਇੱਕ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਵਿੱਚ ਹੋ ਰਹੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਆਪਣੇ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਉੱਚਾ ਚੁੱਕਿਆ।

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ 

ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਕਿਸੇ ਵਿਕਾਸ ਲਈ, ਉਸਨੇ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੇ ਬਦਲੇ ਹੋਏ ਰੂਪ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਦੀ ਜਗਹ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵਕਤ ਵਾਲੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸਨ ਜੋ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਅੱਫਾਈਨ (ਸਮਾਂਤਰ ਸਬੰਧ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਣ ਵਾਲੀ) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਸਪੇਸ ਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਅਸਥਿਰਾਂਕਾਂ (x, y, z, t) ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਇਸ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (ਉੱਪਰ ਚਿੱਤਰ ਦੇਖੋ) ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲਾਈਟ-ਕੋਨ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਲਾਈਟ-ਕੋਨ ਉੱਤੇ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਜਾਂ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਧੁਰਿਆਂ ਨਾਲ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ਰਾਹੀਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦਾ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਅੱਜ ਕੱਲ ਚੱਲ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਵਕਤ ਵਾਲੇ ਪੁਰਾਣੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਨੇ ਵੀ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ, ਜੋ ਆਪਣੇ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਮੂਲ ਪੁਨਰਬਿਆਨਬਾਜੀ ਬਾਰੇ ਜਾਣਦਾ ਸੀ, ਨੇ ਕਿਹਾ,

ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਜੋ ਮੈਂ ਤੁਹਾਡੇ ਅੱਗੇ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹਾਂ ਪ੍ਰਯੋਗਿਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਉੱਭਰੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਕਤੀ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮੁਢਲੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਹਨ। ਇਸਲਈ ਸਪੇਸ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ, ਟਾਈਮ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ, ਸਿਰਫ ਪਰਛਾਵਿਆਂ ਵਿੱਚ ਲੁਪਤ ਹੋਣ ਲਈ ਦੋਸ਼ੀ ਪਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਇਹਨਾਂ ਦੋਹਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਹੀ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵਾਸਤਵਿਕਤਾ ਨੂੰ ਸੁੱਰਖਿਅਤ ਕਰੇਗਾ। 
---ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ, 1907

 ਗਣਿਤਿਕ ਬਣਤਰ 

ਇੱਕ ਨਿਰੀਖਣ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਲਈ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇੱਕ 4-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਲਾਮਤ (ਨੌਨਡਿਜਨਰੇਟ), ਸਮਰੂਪ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ (ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ) ਅਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਥੇ ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਰਫ (−,+,+,+) ਜਾਂ (+,−,−,−) ਹਸਤਾਖਰ ਵਾਲਾ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸਾਂ ਨਾਲ ਵਾਸਤਾ ਰੱਖਣ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦੀ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਫਿਤਰਤ, ਖੁਦ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਬਿੰਦੂਆਂ, ਘਟਨਾਵਾਂ) ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਘਟਨਾਵਾਂ) ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਕੁੱਝ ਮਕਸਦਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ p ਉੱਤੇ ਡਿਸਪਲੇਸਮੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਛਾ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਉਸੇ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਪਛਾਣ ਰਾਹੀਂ ਸਵੀਕਾਰ ਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਿਗਨੇਚਰ ਓਸ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤਰਕ ਤੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਹੋਣ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਕ (−,+,+,+) ਸਿਗਨੇਚਰ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂਕਿ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ (+,−,−,−) ਸਿਗਨੇਚਰ ਨੂੰ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲੇ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (ਸ਼ੁੱਧ ਸਪੇਸ ਵੈਕਟਰ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ “ਨੌਰਮ-ਸਕੁਏਰਡ” ਸਿਰਜਦੇ ਹਨ) ਲਈ ਤਰਕ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਹੱਦ c → ∞ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਯੁਕਿਲਡਨ ਕੇਸ ਤੋਂ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਬਾਦ ਵਾਲੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (ਸ਼ੁੱਧ ਸਪੇਸ ਵੈਕਟਰ ਨੈਗਟਿਵ “ਨੌਰਮ-ਸਕੁਏਰਡ” ਸਿਰਜਦੇ ਹਨ) ਲਈ ਤਰਕਾਂ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਘਟਾਓ ਦੇ ਚਿੰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਕ ਜਾਣਾ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ।

ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਇਸ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਅਕਾਰ ਨਾਲ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ (0,2) ਕਿਸਮ ਵਾਲਾ ਟੈਂਸਰ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ, ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ, ਅਤੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਅੱਗੇ ਪੜਨਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ, ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ L, ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ g ਯੁਕਤ ਦੀ ਤਰਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ L ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ p ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ  ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਹੀ ਸਲਾਮਤ ਸਮਰੂਪ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ (ਨੌਨਡਿਜਨਰੇਟ ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ) ਅਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੂੰ “ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ” ਇੱਕ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦਾ ਇੱਕ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਰਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ M ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਉਹੀ ਸਮਰੂਪ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਤਰਕਾਂ ਨੂੰ ਖੁਦ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨਾਲ ਜਾਣ ਪਛਾਣ ਕਰਵਾਉਂਦੇ ਹੋਏ (ਪਰ ਹੋਰ ਬਣਤਰ ਨਾਲ ਨਹੀਂ), ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀਆਂ ਕੁੱਲ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ n=4 ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (3, 1) ਜਾਂ (1, 3) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੱਤਾਂ (ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ) ਨੂੰ ਇਵੈੰਟਸ (ਘਟਨਾਵਾਂ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਸਿਗਨੇਚਰ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ ਅਕਸਰ  ਜਾਂ  ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਿਰਫ M ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸ਼ਾਇਦ ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦੀ ਸਰਲਤਮ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।

 ਸੂਡੋ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਨਿਯਮ 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ η ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਟੈਂਸਰ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਨੀਨਡੀਜਨਰੇਟ ਸਮਰੂਪ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ ਅਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ (0,2) ਕਿਸਮ ਦਾ ਟੈਂਸਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ ਤਰਕ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ;  ਜੋ  ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ M ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ p ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸ ਹੈ। ਖੁਦ M ਨਾਲ  ਦੀ ਉੱਪਰ ਦੱਸੀ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਪਛਾਣ ਕਾਰਣ, ਇਹ M ਵਿੱਚ ਦੋਹੇ u, v ਤਰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਸੰਕਲਪਿਕ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, M ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ v ਨੂੰ 4-ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਗੈਰ ਨੋਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਨਸ ਸੈਰਿਫ ਇਟਾਲਿਕ ਅੱਖਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਨਾ ਕਿ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸੈਟਿੰਗ ਮੁਤਾਬਿਕ ਬੋਲਡਫੇਸ v ਦੀ ਤਰਾਂ। ਬਾਦ ਵਾਲਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੇ 3-ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਰਾਖਵਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

M ਉੱਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਵਾਂਗ ਬਣਤਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਯੁਕਿਲਡਨ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਾਂਗ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀਆਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ,


ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਸ਼ਰਤਾਂ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰਟੀ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕਤਾ) ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਮਿੱਥ-ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਹੋਣਾ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ η(u, u) < 0 (ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਘੱਟ) ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ v ਅਤੇ w ਨੂੰ ਔਰਥੋਗਨਲ (orthogonal) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ η(v, w) = 0 ਹੋਵੇ।

ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ e ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ η(e, e) = ±1 ਹੋਵੇ। ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ (ਸਮਕੋਣ) ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣੇ M ਲਈ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ (ਅਧਾਰ) ਨੂੰ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮ ਲਈ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਨਾਲ ਯੂਨਿਟ ਟਾਈਮ ਵੈਕਟਰ ਮਿਲਾ ਕੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਤੇ ਨੈਗੈਟਿਵ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਫਿਕਸ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਦੇ ਸਿਗਨੇਚਰ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਿਲਵੈਟਰ ਦਾ ਇਨਰਸ਼ੀਆ ਨਿਯਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 
ਹੋਰ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ (ਪਰ ਬਣਤਰ ਨਹੀਂ): ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਸੂਡੋ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਵੀ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਿਰਫ ਸਿਗਨੇਚਰ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਦੀ ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਨਾਲ 4-ਅਯਾਮੀ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਲਈ ਰਾਖਵਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

 ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ 

ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਦੇ ਦੋ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ 1,2 ਦਰਮਿਆਨ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਇੰਟਰਵਲ (ਅੰਤਰਾਲ)


ਚੁਣੀ ਗਈ ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੈਕਟਰ ± ਦਾ ਸਰਲਾਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਸਿਗਨੇਚਰ ਦੀ ਚੋਣ ਖੁੱਲੀ ਛੱਡ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। η ਦਾ ਸੰਖਿਅਕ ਮੁੱਲ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰ ਰਹੇ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਹਿਤ (ਲਿਟਰੇਚਰ) ਵਿੱਚ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਦੇ ਸਿਗਨੇਚਰ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਸਥਿਰਤਾ ਨਾਲ ਨਾਮਬੱਧ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ। ਅੰਤਰਾਲ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਥੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ) ਕਦੇ ਕਦੇ ਇੰਟਰਵਲ ਸਕੁਏਰਡ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਮੌਜੂਦਾ ਇੰਟਰਵਲ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ (ਸਕੁਏਅਰ ਰੂਟ) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਸਿਗਨੇਚਰ ਅਤੇ ਇੰਟਰਵਲ ਫਿਕਸ ਕਰ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਸਪਸ਼ਟਤਾ ਅਜੇ ਵੀ ਬਣੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵਕਤ ਦਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਹੜਾ ਹੈ। ਇਹ ਚੌਥਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਪਹਿਲਾ (ਜ਼ੀਰੋ ਵਾਲਾ) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਕਲਿਪ ਅਸਿਥਰਤਾਵਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵਿਸਥਾਰ ਪੂਰਵਕ ਸੂਚੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਜਿੰਦਗੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸੱਚਾਈ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਲਿਟਰੇਚਰ ਦੀ ਸਲਾਹ ਲੈਣ ਲੱਗੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜਾਂਚ ਲੈਣਾ ਪਹਿਲੀ ਚੀਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਇਨਰਸ਼ੀਅਲ ਫਰੇਮਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ (ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ) ਅਧੀਨ ਇੰਟਰਵਲ (ਅੰਤਰਾਲ) ਦੀ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ (ਸਥਿਰਤਾ) ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀ ਮਾਤਰਾ (ਕਿਸੇ ਵੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ± ਲਈ ਰੱਖਵਾਂ) ਦੇ ਇਨਵੇਰੀਅੰਸ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲੀਨੀਅਰ (ਰੇਖਿਕ) ਹੋਵੇ ;

ਇਸ ਕੁਆਡਰੈਟਿਕ ਅਕਾਰ (ਵਰਗਾਕਾਰ) ਨੂੰ ਪੋਲਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ (ਧਰੁਵੀ-ਪਹਿਚਾਣ) ਰਾਹੀਂ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

ਇਸ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

ਜਿੱਥੇ [η] ਇੱਕ 4×4 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ η ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੰਭਵ ਤੌਰ ਤੇ ਗਲਤਫਹਿਮੀ ਭਰੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ, [η] ਨੂੰ ਸਿਰਫ η ਨਾਲ ਲਿਖ ਦੇਣਾ ਰਿਵਾਜ ਜਿਹਾ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਪਸ਼ਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਤੋਂ ਇਸ ਤਰਾਂ ਪੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

ਅਤੇ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੇ ਨਾਲ ਇਹ ਸੈਕਸ਼ਨ ਇਸਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।, ਜੋ ਹੁਣ ਪਛਾਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ;

ਨਿਸ਼ਚਿਤਿਤਾ ਅਤੇ ਸੰਖੇਪ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਲਈ, ਸਿਗਨੇਚਰ (−,+,+,+) ਨੂੰ ਹੁਣ ਅਪਣਾ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚੋਣ ਦਾ ਕੋਈ ਭੌਤਿਕੀ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਚੋਣ ਵਾਲੇ ਸਿਗਨੇਚਰ ਨਾਲ, ਸਿਗਨੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਚੋਣ ਵਾਲਾ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਸਮਿੱਟਰੀ ਗਰੁੱਪ ਆਈਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਚੋਣਾਂ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਪ੍ਰਮਾਣਾਂ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤੀ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੀ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ।

 ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ 

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਚਾਰ ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ  ਦਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ;

ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

ਸਟੈੰਡਰਡ ਬੇਸਿਸ ਦੇ ਸਾਪੇਖਿਕ, ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ v ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ  ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ  ਲਿਖਣ ਲਈ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਧਾਰਨਾ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੂੰ v ਦਾ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂਕਿ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਸਥਾਨਿਕ ਹਿੱਸੇ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ 4-ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ 3-ਵੈਕਟਰ  ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ v ਅਤੇ w ਦਰਮਿਆਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਇਨਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

ਅਤੇ

ਇੱਥੇ ਮੀਟ੍ਰੀਕ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨੂੰ ਥੱਲੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਤਕਨੀਕੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਨੌਨ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਦੋਹਰੀ (ਡਿਊਲ) ਸਪੇਸ ਦਰਮਿਆਨ ਨਕਸ਼ਾ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਮੈਪ (ਨਕਸ਼ਾ) M ਦੀਆਂ ਟੈਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸਾਂ ਅਤੇ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। M ਅੰਦਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਡਿਊਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਤਰਕ ਫਿਕਸ ਕਰਕੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਭਰੋਸੇਯੋਗ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ, ਰੀਸਜ਼ ਰੀਪ੍ਰੈਜ਼ੈਂਟੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ, ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਦੇ ਐਕਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਵੇਂ ਹੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕੁੱਝ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੇਕਰ  ਕਿਸੇ ਟੈਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੋਣ, ਤਾਂ  ਸਹਿਸਪਰਸ਼ (ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ, ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਹੋਣਗੇ। M ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਸਪਰਸ਼ ਸਪੇਸਾਂ ਦੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਾਰਣ ਇਹ ਜਿਆਦਾਤਰ ਇਗਨੋਰ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਥੱਲੇ ਪੈਰਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਲੋਅਰ ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਦ ਵਾਲੀ ਇਸ ਵਿਆਖਿਆ ਵਿੱਚ, ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ (ਲਗਭਗ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਉਲਝਾਓ ਨਾਲ) ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ (ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (ਅੱਪਰ ਇੰਡੀਸੀਜ਼) ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਕੌਂਟਰਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸੇ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਤੋਂ ਕੋਟੈਨਜੈਂਟ ਸਪੇਸਾਂ ਵੱਲ ਮੈਪ ਦਾ ਉਲਟ, ਜੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ η ਦੇ ਇਨਵਰਸ (1/ η) ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸੂਚਕਾਂਕ (ਇੰਡੈਕਸ) ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਚੁੱਕਣ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਇਨਵਰਸ (ਉਲਟ) ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟਾਂ (ਹਿੱਸਿਆਂ) ਨੂੰ  ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਉਸਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਦਰਮਿਆਨ ਇਹਨਾਂ ਨਕਸ਼ਿਆਂ ਨੂੰ ਸੰਗੀਤਿਕ ਸਮਾਨਤਾ ਰਾਹੀਂ  (ਫਲੈਟ-ਈਟਾ) and (ਸ਼ਾਰਪ-ਈਟਾ) ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਕਦੇ ਕਦੇ ਇੰਡੈਕਸ ਜਿਮਨਾਸਟਿਕਸ (ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਸ਼ਮਕਸ਼) ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਵਕਤ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਅਤੇ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਆਲੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਉਣਾ ਅਤੇ ਕੌੰਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਤੋਂ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਕੋਵੇਰੀਅੰਟ ਤੋਂ ਕੌੰਟਰਾਵੇਰੀਅੰਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲਨਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਾਰਥਕ ਹੈ। ਗਲਤ ਪ੍ਰਗਟਾਓ ਚਿੰਨ੍ਹ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਫਟਾਫਟ ਜ਼ਾਹਰ ਹੋਣ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

 ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਸਮਿੱਟਰੀ 


ਪੋਆਇਨਕੇਅਰ ਗਰੁੱਪ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗਰੁੱਪ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲ (ਇੰਟਰਵਲ) ਨੂੰ 4-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਟਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ ਰਾਹੀਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਹੁੰਦਾ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਉਹ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਰਿਜਿਨ ਨੂੰ ਫਿਕਸ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ (ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ) ਤੋਂ ਢੁਕਵੇਂ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਲਿੰਕ ਕੀਤੇ ਆਰਟੀਕਲ ਵਿੱਚ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ Φ ਦੇ ਨਾਲ η (ਇਸਦੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ) ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ, ਢੁਕਵਾਂ ਗਰੁੱਪ O(3,1) ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ (ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ) ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਭੌਤਿਕੀ ਮੋੜ ਨਾਲ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਖੋਜਣ ਲਈ ਦੇਖੋ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨਾਂ।

ਸਰਲਤਮ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਬੂਸਟ ਹੈ। ਇਸ਼ਾਰੇ ਵਜੋਂ, x-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੂਸਟ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; 

ਜਿੱਥੇ

ਨੂੰ ਇੱਕ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਫੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ

 ਹੁੰਦਾ ਹੈ|

ਹੋਰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਸ਼ੁੱਧ ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ O(3,1) ਦੇ ਸਬਗਰੁੱਪ SO(3) ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਵੀ। ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਸ਼ੁੱਧ ਬੂਸਟ ਅਤੇ ਸ਼ੁੱਧ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਇਨਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲਾਓ ਰਾਹੀਂ ਹੋਈ ਹੋਮੋਜੀਨੀਅਸ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ (ਪਰਿਵਰਤਨ) ਉਹ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਸਪੇਸ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਟਾਈਮ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਉਲਟਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ (PT)।

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਚਾਰੇ ਵੈਕਟਰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਅਧੀਨ ਉਸੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਡਾਇਗਰਾਮ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਟਰਾਂਸਫੋਰਮੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ।

 ਕਾਰਣਾਤਮਿਕ ਬਣਤਰ 

 250px|thumb|right|ਚਾਰ ਵੱਖਰੇ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀ ਸਬਡਿਵੀਜ਼ਨ। ਲਾਈਟ ਕੋਨ, ਸ਼ੁੱਧ ਭਵਿੱਖ, ਸ਼ੁੱਧ ਭੂਤਕਾਲ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਸਥਾਨ। ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ  ਤੋਂ ਲਈ ਗਈ ਹੈ.

ਵੈਕਟਰਾਂ v = (ct, x, y, z) = (ct, r) ਨੂੰ  ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਮੁਤਾਬਿਕ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ  ਹੋਵੇ, ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ , ਅਤੇ ਨੱਲ ਜਾਂ ਲਾਈਟਲਾਈਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ  ਹੋਵੇ। ਇਸਨੂੰ η(v,v) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਸਿਗਨੇਚਰ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਸਾਰੀਆਂ ਰੈਫਰੇਂਸ ਫਰੇਮਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਰਹੇਗੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਤਰਾਲ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। 
ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਕਿਸੇ ਘਟਨਾ ਉੱਤੇ ਸਾਰੇ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਓਸ ਘਟਨਾ ਦੀ ਲਾਈਟਕੋਨ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ v ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ ਤੇ, ਇਸ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਸਥਿਰ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਦੀ ਇੱਕ ਵਰਲਡਲਾਈਨ (ਸੰਸਾਰ ਰੇਖਾ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਡਾਇਗਰਾਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਇੱਕ ਵਾਰ ਵਕਤ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਚੁਣ ਲਈ ਜਾਣ ਤੇ, ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਅਤੇ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਕਈ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕੀਤਾ (ਵੰਡਿਆ) ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

 ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਅਗਲਾ ਪਾਸਾ ਤਸਵੀਰ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਭਵਿੱਖ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ 
 ਭੂਤਕਾਲ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੈਗੈਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸ਼ੁੱਧ ਭੂਤਕਾਲ)

ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਤਿੰਨ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ;

 ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ, ਜਿਸਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬੇਸਿਸ ਵਿੱਚ (0,0,0,0) (ਉਰਿਜਨ) ਹੁੰਦੇ ਹਨ 
 ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਉੱਪਰਲੀ ਲਾਈਟਕੋਨ), ਅਤੇ 
 ਭੂਤਕਾਲ-ਦਿਸ਼ਾ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕੰਪੋਨੈਂਟ ਨੈਗੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਥੱਲੇ ਵਾਲੀ ਲਾਈਟਕੋਨ)।

ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਵੈਕਟਰ ਹੋਰ ਕਿਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਉਪਜਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਯਾਤਰਾ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ। ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਅਤੇ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਦੋਵੇਂ ਇਕੱਠੇ ਵੈਕਟਰ ਕੁੱਲ 7 ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਲਾਜ਼ਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੈਰ-ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਹੋਰ ਮੇਲ ਰੱਖਣੇ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਨੱਲ ਬੇਸਿਸ ਕਿਹਾ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਸਾਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਇੱਕ (ਨੌਨ-ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ) ਬੇਸਿਸ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਰਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਾਸਤਵਿਕਾਂ ਉੱਪਰ, ਜੇਕਰ ਦੋ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੋਣ (ਜ਼ੀਰੋ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਟੈਂਸਰ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ), ਤਾਂ ਉਹ ਜਰੂਰ ਹੀ ਅਨੁਪਾਤਿਕ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਆਗਿਆ ਦੇਣ ਤੇ, ਇੱਕ ਨੱਲ ਟੈਟ੍ਰਾਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਨੱਲ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਬੇਸਿਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁੱਝ ਵੈਕਟਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡਾਂ ਨੂੰ ਟਾਈਮਲਾਈਕ, ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਜਾਂ ਨੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਬੰਧਤ ਹਰੇਕ ਓਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਵੈਕਟਰ ਟਾਈਮਲਾਈਕ, ਸਪੇਸਲਾਈਕ ਜਾਂ ਨੱਲ ਹੋਣ ਜਿੱਥੇ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

 ਕਾਲਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਅਤੇ ਕਾਰਣਤਾਮਿਕ ਸਬੰਧ 

ਮੰਨ ਲਓ x, y ∈ M ਹੋਣ। ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ;

 x ਕਾਲਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ (ਕ੍ਰੋਨੋਜੀਕਲੀ) y ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ y – x ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸਬੰਧ ਦੀ ਟਰਾਂਜ਼ੀਟਿਵ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਇਸਨੂੰ x < y ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 
 x ਕਾਰਣਾਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ (ਕੈਜ਼ੁਅਲੀ) y ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ y – x ਭਵਿੱਖ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਨੱਲ ਜਾਂ ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ ਟਾਈਮਲਾਈਕ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਕ੍ਰਮ (ਪਾਰਸ਼ਲ ਔਰਡਰਿੰਗ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ x ≤ y ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

 ਉਲਟ ਤਿਕੋਣ ਅਸਮਾਨਤਾ 

ਜੇਕਰ v ਅਤੇ w ਦੋਵੇਂ ਭਵਿੱਖ-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਟਾਇਮਲਾਈਕ 4-ਵੈਕਟਰ ਹੋਣ ਤਾਂ ਨੌਰਮ ਲਈ (+ - - -) ਸਾਈਨ (ਚਿੰਨ) ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਵਿੱਚ;

 ਹੋਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧ 
 ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਵੱਖਰੀ ਗਿਣਤੀ 

ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਚਾਰ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਿਣਤੀ ਵਾਲੀ “ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ” ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਰਚਨਾ ਲਈ ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ n ≥ 2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ n-ਅਯਾਮੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ n ਵਾਸਤਵ ਅਯਾਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਸਿਗਨੇਚਰ (n − 1, 1) ਜਾਂ (1, n − 1) ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕਰਨ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨੂੰ 4-ਅਯਾਮਾਂ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਜਾਂ ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਲਾ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਹੋਣਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ M-ਥਿਊਰੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਦੋ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ n > 4 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਕਨਫੋਰਮਲ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ 1 + 1 ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅਯਾਮਾਂ ਨਾਲ ਦਿਸਦੀਆਂ ਹਨ।

ਪੱਧਰੀ ਬਨਾਮ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ 

ਇੱਕ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਤਿੰਨ ਸਪੈਸ਼ੀਅਲ (ਸਥਾਨਿਕ) ਕੰਪੋਨੈਂਟ (ਹਿੱਸੇ) ਹਮੇਸ਼ਾ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ (ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਾਪੇਖਤਾ) ਲਈ ਇੱਕ ਅਨੁਕੂਲ ਬੇਸਿਸ ਹੈ, ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨ ਮਹੱਤਤਾ ਬਗੈਰ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸੀਮਤ ਦੂਰੀ ਉੱਤੇ ਭੌਤਿਕੀ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵੰਗਾ ਵਿਵਰਣ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਗਰੈਵਿਟੀ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਰਤਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਗੈਰ-ਯੁਕਿਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਦੇ ਗਣਿਤ ਨਾਲ ਸੂਤਰਬੱਧ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇਸ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਨੂੰ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਕਰਵਡ (ਵਕਰਿਤ) ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਰਵਡ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਅਜੇ ਵੀ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀਆਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ) ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਅਤਿਸੂਖਮ ਖੇਤਰ (ਇਨਫਿਨਟੈਸੀਮਲ ਰਿਜਨ) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਵਰਣ ਹੈ। ਹੋਰ ਸੰਖੇਪ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗਰੈਵਿਟੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਇੱਕ 4-ਅਯਾਮੀ ਵਕਰਿਤ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਤਿ ਟੈਨਜੇਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦੀ ਬਣਤਰ ਅਜੇ ਵੀ ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਵਿੱਚ ਜਰੂਰੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। 
 ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ 

 ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਗਣਿਤ ਨਾਲ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ
 ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਪਲੇਨ

 ਟਿੱਪਣੀਆਂ 

 ਨੋਟਸ 

 ਹਵਾਲੇ 

 *Wikisource translation: The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies
 Various English translations on Wikisource: Space and Time


 Wikisource translation: On the Dynamics of the Electron



 ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ 

 visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ ਧਾਰਨਾਵਾਂ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਰੇਖਾਗਣਿਤ

ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਲੌਰੰਟਜ਼ੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਸਪੈਸ਼ਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਜਨਰਲ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਿੱਚ ਇੰਨਬਿੰਨ ਹੱਲ
ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਹਰਮਨ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ