Sistèma decimal

Lo sistèma decimal es un sistèma de numeracion utilizant la basa detz. Dins aqueste sistèma, las poténcias de detz e lors multiples benefician d'una representacion privilegiada.

 Numeracions decimalas 
Lo sistèma decimal es largament lo mai espandit. Atal son constituidas, per exemple, las numeracions : 
 araba,
 armeniana,
 chinesa, egipciana,
 gotica,
 grèga, ebraïca,
 indiana,
 japonesa, mongola,
 romana,
 chovaca, taï.

 Sistèmas de notacion 
Los pòbles avent una basa de numeracion decimala utilizèron, amb lo temps, de tecnicas variadas per representar los nombres. Ne vaquí d'exemples.

 Amb de chiffres per un, dix, cent, mille, etc.

Los sistèmas de numeracion que los chifres representan las poténcias de detz son de tipe additiu. Es lo cas de la numeracion egipciana. Exemple: 1506 s'escriut
Fichièr:Lotus-stylized-1000.svgFichièr:Hiero_chiffre_100.pngFichièr:Hiero_chiffre_100.pngFichièr:Hiero_chiffre_100.pngFichièr:Hiero_chiffre_1.pngFichièr:Hiero_chiffre_1.pngFichièr:Hiero_chiffre_1.pngFichièr:Hiero_chiffre_100.pngFichièr:Hiero_chiffre_100.pngFichièr:Hiero_chiffre_1.pngFichièr:Hiero_chiffre_1.pngFichièr:Hiero_chiffre_1.png
en ecritura ieroglifica (1000+100+100+100+100+100+1+1+1+1+1+1).

 Amb de chifres per un, cinq, dix, cinquanta, cent, cinc cents, etc.

De tals sistèmas de numeracion son tanben de tipe additiu, mas fan intervenir un sistèma quinari auxiliar. Es le cas de las numeracions atica, etrusca, romana e chovaa. Exemple : 2604 s'escriu MMDCIIII. en chifres romans (1000+1000+500+100+1+1+1+1). La numeracion romana coneis tanben una varianta additiva e sostractiva: 2604, alara, s'escriu MMDCIV. (1000+1000+500+100-1+5).

 Amb de chifres per un, dos, ..., nòu, detz, vint, ..., cent, dos cents, ..., nòu cents, etc.

Los sistèmas de numeracion utilizant nòu chifres per las unitats, a tanben per las desenas, las centenas, etc. son encara de tipe additiu. Es le cas de las numeracions armeniana, araba alfabetica, gotiica, grèga e ebraïca. Exemple : 704 s'escriu ψδ en chifres grècs ionics (700+4).

 Amb de chifres de un a nòu, e per detz, cent, mila, etc.

Los sistèmas de numeracion que los chifres representon las unitats e las poténcias de detz son de tipe ibrid. Es lo cas de las numeracions chinesa e japonesa. Exemple : 41007 s'escriu 四万千七 dins lo  sistèma japonés (4×10000+1000+7). Lo sistèma chinés utiliza en mai lo zèro per indicar de posicions voidas abans las unitats : 41007, s'escriu 四萬千〇七 en chifres chinés (4×10000+1000+0+7).

 Amb de chifres de zèro a nòu

Los sistèmas de numeracion que los chifres representant las unitats son de tipe posicional. Es lo cas de las numeracions araba nonalfabetica, europèas, fòrça numeracions indianas e de numeracions mongòla e taï. Exemple : 8002 s'escriu ๘๐๐๒ en chifres taïs (8002).

 Istoric 
La basa dets es fòrça anciana. Ven d'una causida naturala, dictada pel nombre dels dets de las doas mans. Los Protoindoeuropèus comptavan benlèu basa detz. Un sistèma de notacion decimala èra realizat:

 al millenari III AbC, pels EgipciansMaurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte anciennes, Presses Univ. Septentrion, 1994, 417 p. (ISBN 285939415X), p. 243,244.Walter William Rouse Ball A Short account of the history of mathematics,  Dover Publications, 2001, chapitre I,  2, et 4 early egyptian arithmetic ( l'arithmétique dans la haute antiquité égyptienne), 3 early egyptian mathemathic, 5 egyptian and phoenician mathematics, 6, 7 et 8 early egyptian geometry (avec référence au  papyrus de Rhind et à PI),  (lo sistèma egipcian èra pasmens un sistèma decimal sens posicionament Voir page 13 in The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: a sourcebook, Victor J. Katz & Annette Imhausen, Princeton University Press, 2007 Voir page 118 in Encyclopedic dictionary of mathematics - EDM 2, Kiyosi Itô, MIT Press, 2000 ) ;
 abans -1350, pels Chineses. ;
 vèrs -650, pels Etruscs ;
 vèrs -500, pels Indians en sanscrit.

 Basas combinadas 

 Numeracion decimala combinada amb una basa auxiliara 
Las numeracions decimalas utilizan a vegada de basas auxiliaras:

 Un sistèma quinaei auxiliae es utilizat dins unes sistèmas de notacion e per enonciar de nombres dins unas lengas, coma lo wolof.
 Un sistème vigesimal auxiliar es utilizat per enonciar de nombres dins unas lengas, coma en basc o en francés.

 Numeracion decimala utilizada coma sistèma auxiliar 

 En occitan e dins gaireben totas las lengas del mond, los sistèma decimal s'aplica, al sens mai estricte, fins a 9 999, cada poténcia de detz essent, de l'expausant un a l'expausant tres, designada per un tèrme pròpre (101 = « detz » ; 102 = « cent » ; 103 = « mila »). Stricto sensu, l'enonciacion dels nombres superiors a 9 999 es pasmens pas pus decimala quand, dins las poténcias de detz expausants superiors a tres, an pas una denominacion pròpra d'aquestats que correspondon a de poténcias de mila.
 La basa mila modifica l'escritura en chifres de la partida entièra dels grands nombres, atal per ne facilitar la lectura (ex. 12345678 s'ecriu o amb d'espacis 12 345 678 o amb de separators  (l'apostrofe: 12'345'678 ; lo punt : 12.345.678 oa la virgula : 12,345,678 segon los païses)), mas se deu pas separar los chifres de la partida decimala los uns dels autres.
 La numeracion babiloniana e los sistèmas de mesura del temps e dels angles en minutas e segondas, sexagesimals, utiliran un sistèma decimal auxiliar.
 La numeracion maia, pasmens s'es vigesimala, daissa aparéisser un sistèma decimal auxilar dins l'enonciacion dels nombres.
 Las lengas chinesas e japonesas utilizan la basa detz mila amb det coma basa auxiliara.

 Avantatges 
Gaireben totas las lengas viventas descompausan los nombres en basa 10 en rason d'atots coma:

 lo compte suls detz dets es plan intuitiu;
 son òrdre de grandor es satisfasent, que permet de reduire plan la longor de fòrça nombres al vejaire de la basa 2, tot en gardant de taulas d'addicions e de multiplicacions memorisablas.

 Matematicas 

 Conversion cap a la basa N d'un nombre escrich en basa decimala 
Per passar d'un nombre en basa decimala cap a un nombre en base N, existís lo metòde seguent:

Siá K lo nombre en basa decimala de convertir en basa N.

 Realizar la division entièra de K per N. Siá D lo resultat d'aquesta division e R lo rèste
 Se D >= N, recomençar a 1
 Senon, l'escritura en base N de K es egal a la concatenacion del darrièr resultat e de totes los rèstes en començant pel darrièr.

Exemple : conversion en base exadecimala (basa setze) del nombre 3257 escrich en basa decimala 

 3257 / 16 = 203,5625 siá
 3257 = 203 × 16 + 9
 203 = 12 × 16 + 11

Sabent que 11 (onze) se nòta B e que 12 (dotze) se nòte C, l'escritura de 3257 (tres mila dos cent cinquanta e sept) en basa exadecimala es CB9.

 Conversion capa a la basa decimala d'un nombre escrich en basa N 
Per passar d'un nombre en basa N cap a un nombre en basa decimala, existís lo metòde seguent:

Siá K lo nombre en basa N de convertir.
Per tot chifre c de reng r dins K, se calcula c×N r. La representacion de K en basa detz es la soma totes los produchs.

Le comptage de r comença a zèro de la drecha cap a l'esquèrra.

Exemple
Lo nombre « 10110 » en basa binara s'escriu en basa detz:

 1×24 + 0×23 + 1×22 + 1×21 + 0×20 = 22 (basa detz)

Exemple
Lo nombre « 3FA » en basa setze s'escriu en basa decimala:

 3×162 + 15×161 + 10×160 = 1 018 (basa detz)

Remembre: F en basa setze val quinze, A en basa setze val detz.

 Nòta e referéncias 

 Vejatz tanben 

 Bibliografia 

 Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte anciennes, Presses Univ. Septentrion, 1994, 417 p. (ISBN 285939415X), p. 243,244
 Walter William Rouse Ball, A Short account of the history of mathematics, réédition (2001), Dover Publications, ligam=|alt=Document utilisé pour la rédaction de l’article|20x20px
 (en) Robert Temple, Le génie de la Chine: 3 000 ans de découvertes et d'inventions, 2007 (ISBN 9782877309479)
  Igor Mikhailovich Diakonov, « Some reflections on numerals in Sumerian towards a history of mathematical speculation', Journal of the American Oriental Society, » Moscou, 1983ligam=|alt=Document utilisé pour la rédaction de l’article|20x20px
  Igor Mikhailovich Diakonov  Scientific concepts in the ancient East Sumer, Babylon and the Near East, Historical outlines of natural scientific knowledge in antiquity, édition Shamin, Moscou, 1982ligam=|alt=Document utilisé pour la rédaction de l’article|20x20px
  Asger Aaboe, « Some Seleucid mathematical tables, Journal of Cuneiform Studies » Yale University, New Haven, Connecticut, États-Unis, 1968, The American Schools of Oriental Research.
 Évolution des cultures de l'humanité (Les informations présentes sur ce site ne sont plus à jour.)
 Mesurer

 Articles connèxes