Esfèra

En geometria, una esfèra (del grèc σφαῖρα, sfaíra) es la superfícia formada per totes los punts de l'espaci tals que la distància (nomenada rai) a un punt determinat (nomenat centre) es totjorn la meteissa, formant una estructura de tres dimensions. Los punts que lor distància al centre es inferiora al rai constituisson una bola (lo solide interior a l'esfèra).

 Equacion 

Dins un sistèma ortonormal de coordenadas, l'equacion de l'esfèra unitària (es a dire que son rai val 1) e centrada a l'origina de las coordenadas es:
x² + y² + z² = 1

Aquela equacion s'obten en considerant lo punt M(x,y,z) de l'esfèra e lo modul del vector OM qu'es egal a 1.

Pus generalament l'esfèra de rai r, de centre Ω(a, b, c) a per equacion:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

L'equacion del plan tangent al punt M(x',y',z') s'obten per mejan del desdoblament de las variablas: dins lo cas de l'esfèra unitària:
x·x' + y·y' + z·z' = 1

E al segond exemple:
(x - a)·(x' - a) + (y - b)·(y' - b) + (z - c)·(z' - c) = r²

 Aira e volum 

L'aira d'una esfèra de rai r es:


Lo volum d'una bola (domeni interior a l'esfèra) de rai r es:


Se consideram l'aira e lo volum coma foncions S(r) e V(r) del rai, alara se nòta que l'aira es la foncion derivada del volum. Aquel fach es pas un azard, perque se pòt descompausar lo volum en jaces d'espessor fòrça pichona dr (diferencial de r), e los volums d'aqueles jaces s'aproximan de S(r)·dr quand dr tend cap a 0. Addicionant los volums infinitesimals de totes aqueles jaces (en quantitat infinida) quand lo rai r es prèp de zèro a R dona per definicion l'integrala seguenta:

 Zona e segment esferics 

Una zona esferica es la partida de la superfícia esferica delimitada per dos plans parallèls que copan l'esfèra, formant dos cercles anomenats basas. L'aira de la zona esferica, d'una esfèra de rai r, delimitat per doas basas separadas per una nautor h es: 

  A = 2 · π · r · h

Un segment esferic es lo solide delimitat per una zona esferica e los dos plans parallèls que lo delimitan. Lo volum del segment esferic, d'una esfèra de rai r, delimitat per doas basas, de rais a e b respectivament, separadas per una nautor h es: 

  V = 1/6 · π · h · (h2 + 3·a2 + 3·b2)

I a un cas especial de zona esferica: la calòta esferica es una zona esferica delimitada per un sol plan que copa l'esfèra (un dels dos plans anteriors seriá tangent, o amb una basa de rai 0). Dins aquel cas, l'aira de la calòta se calcula coma per un segment de dos basas, e lo volum de la calòta seriá simplament:

  V = 1/6 · π · h · (h2 + 3·a2)

Un emisfèri es una calòta esferica delimitada per un sol plan que passa per un cercle maximum de l'esfèra.

 Fusèl e còn esferics 

Un fusèl esferic o lunula es una de las doas partidas (opausadas e simetricas) de la superfícia esferica delimitada per dos cercles maximums que se copan. L'aira d'un fusèl esferic, d'una esfèra de rai r, amb una longitud angulara de θ (l'angle de copa dels cercles maximums, en radians) es:

  A = 2 · r2 · θ

Un còn esferic es lo solide delimitat per un fusèl esferic, e los dos plans que lo delimitan, que se copan a l'axe de l'esfèra. Lo volum d'un còn esferic, d'una esfèra de rai r, amb una longitud angulara de θ (en radians) es:

  V = 2/3 · r3 · θ

 Triangle esferic 

Un triangle esferic es una partida de l'esfèra delimitada per tres cercles maximums que se copan. L'aira d'un triangle esferic, d'una esfèra de rai r, amb angles L, M e N (mesurats en radians) es:

  A = r2 · (L + M + N - π)

 Sector esferic 

Un sector esferic es lo solide limitat per una esfèra e la superfícia conica que son vertèx es al centre d'aquela esfèra. Se S es l'aira de la partida de l'esfèra que lo limita e r n'es lo rai, lo volum del sector val r S/3.

 Ligams extèrnes 
 Demostracion de la formula del volum de l'esfèra utilizant lo principi de Cavalieri

Categoria:Geometria