Algèbra

L'algèbra es una branca majora dei matematicas coma la teoria dei nombres, la geometria e l'analisi matematica. Apareguda tre l'Antiquitat, a conegut d'evolucions importantas dempuei lei sègles XVII e XVIII. Dins sa forma pus tradicionala, s'interèssa a la resolucion sistematica deis eqüacions e ai proprietats deis operacions. Es ansin a l'origina de l'introduccion de mai d'un simbòl dei matematicas modèrnas (« + », « × », etc.). Dins sa forma pus recenta, l'algèbra s'interèssa ais estructuras algebricas, es a dire ais ensembles d'elements munits d'un ò de plusors lèis de composicion (addicion, multiplicacion, etc.). Es fòrça liada a la teoria deis ensembles qu'es una dei teorias pus fondamentalas dei matematicas.

L'algèbra elementària es considerada coma una basa de l'ensenhament dei matematicas e constituís sovent una partida importanta dei programas deis escòlas elementàrias. Lei partidas pus complèxas forman l'algèbra abstracha qu'es una disciplina estudiada per de matematicians professionaus. Leis aplicacions de l'algèbra son nombrosas dins leis autrei disciplinas scientificas ò tecnicas car leis estructuras algebricas son fòrça utilizadas per modelizar de fenomèns naturaus (fisica, quimia, etc.) ò per representar de problemas abstrachs (informatica, etc.).

 Istòria 

 L'emergéncia de l'algèbra 


L'algèbra es apareguda durant l'Antiquitat Auta en Egipte e en Mesopotamia coma o mòstra de tractats matematics egipicians ò babilonians. Un dei pus vièlhs es lo papirús Rhind, escrich durant la premiera mitat dau sègle XVIII avC(en) Annette Imhausen, « Egyptian Mathematics », dins Victor J. Katz, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : A Sourcebook, Princeton University Press, 2007, p. 12.. Es una compilacion de 87 problemas d'aritmetica, d'algèbra e de geometria. Descriu lei metòdes utilizats per leis Egipcians per resòuvre d'eqüacions simples dau tipe ax = b ò ax + bx = c sensa mestrejar de mejans simples per nòtar lei fraccions(en) Marshall Clagett, Ancient Egyptian Science, A Source Book, American Philosophical Society, 1999.. Per aquò, avián besonh de conóisser lei valors de a, de b e de c.

Durant la Dinastia Qin, lei Chinés desvolopèron d'aspèctes suplementaris regardant la resolucion d'eqüacions simplas que son expausats dins Lei Nòu Capítols sus l'art matematic, obratge redigit entre lei sègles II e I avCSegon lo matematician Liu Hui (vèrs 225-295), autor d'un comentari sus lei Nòu Capítols, lo tèxte es eissit d'una sintèsi de plusors trabalhs redigits durant lo rèine de l'emperaire Qin Shi Huang (246-221 avC).. En particular, capitèron d'identificar la forma generala dei solucions d'una eqüacion de tipe ax = b quand lei valors de a e de b son desconegudas, d'utilizar de chifras negativas e de fraccions e de resòuvre d'eqüacions amb mai d'una inconeguda.

La màger part dei resultats chinés foguèron descubèrts, d'un biais independent, per lei Grècs. La figura majora d'aqueu trabalh es Diofant d'Alexàndria (sègle II ò III apC ?) qu'es de còps subrenommat « lo paire de l'algèbra ». Èra capable de resòuvre d'eqüacions de plusors inconegudas, d'utilizar de chifras negatives, de manipular de nombres racionaus positius e de definir de signes especifics per marcar una inconeguda particulara ò per representar la sostraccion.

 Leis eqüacions dei segond, tresen e quatren gras 

La cèrca sistematica dei solucions d'una eqüacion es una etapa importanta dins la formacion de l'algèbra car menèt a d'interrogacions sus la natura dei nombres e deis operacions.

 Lo segond gras 


Leis eqüacions dau segond gras (ò eqüacions qüadraticas) èran conegudas per lei matematicians de Babilònia au sègle XVIII avC(fr) Jens Høyrup, L'algèbre au temps de Babylone, Vuibert/Adapt, coll. « Inflexions », 2010, p. 39.. Lei tecnicas de resolucion èran similaras ai metòdes actuaus amb d'adaptacions au sistèma sexagesimau babilonian e a l'impossibilitat d'utilizar de nombres negatius. De mai, en l'abséncia de notacions algebricas, leis eqüacions e lei solucions èran presentadas sota forma de problema(fr) Maurice Caveing, Essai sur le savoir mathématique dans la Mésopotamie et l'Égypte anciennes, Presses Univ. Septentrion, 1994.. Lei Grècs aguèron de problemas similars dins l'ensemble dei nombres racionaus positius. Desvolopèron ansin de metòdes de resolucion geometrica.

Pasmens, lei Grècs s'interessèron tanben a d'eqüacions fòrça complèxas dau tipe ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0. Dichas eqüacions diofantianas, entraïnèron l'aparicion de l'analisi indeterminada que menèt au desvolopament d'un important domeni de l'algèbra a partir de la Renaissença. En parallèl, lei geomètras descurbiguèron de grandors derivadas de longor, çò que permetèt l'estudi d'expressions coma  ò . Dichas apotòmis, foguèron a l'origina de la nocion de binòmi, de trinòmi e de polinòmi.

Dins lo rèsta dau mond, leis Indians, lei Chinés e leis Arabs desvolopèron tanben de metòdes sofisticats de resolucion deis eqüacions dau segond gras. En particular, Brahmagupta (598-668) escriguèt la formula dau discriminant d'un biais clar e explicit. Puei, Abd al-Hamid ibn Turk (sègle IX) establiguèt l'existéncia de solucions negativas e Abu Kamil (vèrs 850-930) aquela de solucions irracionalas(en) Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, dins Helaine Selin e Ubiratan D'Ambrosio, Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, 2000.. Durant aqueu periòde, lo matematician iranian Al-Khawarizmi (mòrt en 850) inventèt lo tèrme algèbra dins un obratge sus la resolucion d'eqüacions. Enfin, Yang Hui (1238-1298) mostrèt l'existéncia d'eqüacions amb de coefficients negatius(en) Colin Ronan, The Shorter Science and Civilisation in China, Cambridge University Press, 1985, p. 15..

 Lo tresen e lo quatren gras 

D'eqüacions dau tresen gras (ò eqüacions cubicas) èran conegudas per lei Babilonians segon de documents datant dau sègle XX au sègle XVI avC(en) Roger Cooke, The History of Mathematics, Wiley, 2012, p. 63.. Foguèron tanben estudiadas per leis Egipcians, lei Grècs, leis Indians e lei Chinés. Pasmens, lei limits dei matematicas anticas complicavan lo problema en despiech de succès enregistrats per Diofant e per l'autor dei Nòu Capítols. D'efiech, foguèt necessari d'esperar l'Edat Mejana per observar de progrès significatius amb lei trabalhs de Wang Xiaotong (vèrs 580-640), que capitèt de resòuvre 25 tipes d'eqüacions cubicas, e de Omar Khayyam (1048-1131), que demostrèt la possibilitat de solucions multiplas, e de Sharaf al-Din al-Tusi (1135-1213) qu'introduguèt de metòdes novèus per analizar un polinòmi (calcul de la derivada, etc.).

La resolucion sistematica deis eqüacions cubicas foguèt l'òbra d'un ensemble de matematicians italians de la Renaissença. Après de trabalhs mau coneguts de Scipione dal Ferro (1465-1526) e de Niccolo Tartaglia (1499-1557)D'efiech, a aquela epòca, lei matematicians europèus gardavan sei conoissenças secrètas ò lei partejavan unicament amb un grop reduch d'amics e d'estudiants. Ansin, lei metòdes de resolucion desvolopats per Ferro e Tartaglia son desconeguts., Gerolamo Cardano (1501-1576) publiquèt un metòde de resolucion en 1545 permetent de trobar lei solucions deis eqüacions dau tresen e quatren grasLo metòde de resolucion deis eqüacions dau quatren gras èra estat descubèrt per Ludovico Ferrari (1522-1565), un disciple de Cardano.. Dins aquò, Cardano aguèt de dificultats amb leis eqüacions de discriminant negatiu que tènon una solucion reala e doas solucions non realas.

 La descubèrta dei nombres complèxes 


Se Gerolamo Cardano assaièt d'imaginar de solucions non realas ais eqüacions cubicas, esplechèt pas son idèa. Aquò foguèt l'òbra de Raffaele Bombelli (1526-1572), un de seis estudiants, qu'escriguèt un important tractat d'algèbra entre 1557 e 1560 onte mostrèt sa capacitat de manipular de racinas negativas. En estudiant lei formulas de Cardano, introduguèt l'unitat imaginària, notada i, que son carrat es egau a -1. Prepausèt tanben lei notacions piu, meno, piu di meno e meno di meno per exprimir respectivament l'addicion, la sostraccion, +i e -i.

Aquela descubèrta permetèt de concebre l'espaci dei nombres complèxes e de resòuvre leis eqüacions amb un discriminant negatiu. Aguèt luòc dins un contèxte d'estructuracion dei sabers dau periòde que veguèt la mesa en plaça dei matematicas modèrnas e una definicion pus precisas deis operacions. En particular, foguèron definits :
 la notacion x per nòtar una inconeguda, idèa introducha per Michael Stifel (1486 ò 1487 - 1567).
 l'usatge de letras per designar lei grandors coneguts ò desconegudas. Fòrça importanta, aquela practica foguèt desvolopada per François Viète (1540-1603).
 la notacion 10n, imaginada per Nicolas Chuquet (entre 1445 e 1455 - 1488), per escriure lei grands nombres.
 lei signes « + » e « – » inventats per Johann Widmann (vèrs 1460-1498).
 lo signe « = » creat per Robert Recorde (vèrs 1512-1558).
 lo signe « × » que son invencion es generalament atribuïda a William Oughtred (1574-1660).

 La descubèrta deis estructuras algebricas 

La descubèrta dei nombres complèxs e l'estabilizacion dei notacions permetèron ai matematicians de realizar un ensemble de progrès que constituïsson lo fondament de l'algèbra actuala.

 La descubèrta de l'anèu dei polinòmis 

Au sègle XVII, l'estudi dei polinòmis menèt a la descubèrta d'una novèla estructura abstracha qu'es uei dicha anèu. Lei polinòmis èran coneguts dempuei l'Antiquitat e lei temptativas de Diofant d'Alexàndria per resòuvre certaneis eqüacions. Foguèron tornarmai estudiats per René Descartes (1596-1650) que s'interessèt ai proprietats dei polinòmis de forma P(x ; y) = 0. Rapidament, mostrèron de proprietats particularas coma la possibilitat de realizar d'addicions e de multiplicacions onte lei gras s'ajustan. En parallèl, foguèron identificats, principalament per Simon Stevin (1548-1620), de polinòmis impossibles de descompausar que tènon un ròtle similar ai nombres premiers dins l'ensemble ℝ. Ansin, foguèt descubèrt lo premier anèu intègre euclidian, causa importanta qu'entraïnèt l'emergéncia de la nocion d'estructura algebrica.

 La descubèrta dei quaternions 


L'exploracion de l'ensemble dei nombres complèxs foguèt un aisse important dau desvolopament dei matematicas dei sègles XVII e XVIII. Aquò permetèt de melhorar lei conoissenças sus l'algèbra dins un còrs. Pasmens, lei recèrcas foguèron complicadas per la definicion, encara mau segura, dei nombres imaginaris. Vèrs la fin dau sègle XVIII e au començament dau sègle XIX, lei matematicians Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822) e John Warren (1796-1852) aguèron l'idèa d'utilizar una marca cartesiana per representar geometricament lei nombres complèxs. Aquò permetèt de'n facilitar la comprenença e la difusion. En 1831, aquò menèt a l'establiment definitiu dau tèrme « complèx » a l'iniciativa de Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Lèu, l'idèa de representar lei complèxs sus un plan entraïnèt de reflexions per assaiar de crear de nombres similars correspondent a tres dimensions. Argand foguèt un precursor d'aqueu trabalh que permetèt d'estudiar lei proprietats deis espacis vectoriaus. L'etapa decisiva foguèt passada per William Rowan Hamilton (1805-1865) en 1843. D'efiech, descurbiguèt l'impossibilitat d'establir un sistèma de nombres sus un espaci de tres dimensions mai trobèt l'existéncia d'un espaci de dimension 4. Dichs quaternions, son basats sus lei nombres i, j e k e lei relacions i2 = j2 = k2 = ijk = -1.

A respècte deis estructuras algebricas qu'èran conegudas avans leis ans 1840, lei quaternions presentan la particularitat d'aver una multiplicacion qu'es distributiva e associativa sus l'addicion mai qu'es pas comutativa. Premier còrs non comutatiu, l'ensemble dei quaternions marquèt ansin una etapa novèla dins la constitucion de l'algèbra.

 Lei còrs de nombres algebrics 

En parallèl dei recèrcas que menèron a la definicion dei quaternions, de trabalhs foguèron menats sus la teoria dei nombres e sus leis ensembles eissits dei descubèrtas dei sègles XVIII e XIX. Lo pionier d'aqueu trabalh d'estructuracion foguèt lo matematician occitan Pèire de Fermat (1601-1665) que favorizèt l'adopcion de mai d'una notacion. Lei recèrcas sus sei teorèmas permetèron a Ernst Kummer (1810-1893) de fondar la teoria algebrica dei nombres. Desvolopada per Richard Dedekind (1831-1916) e per David Hilbert (1862-1943), permetèt de precisar lei nocions de monoïd, de grop, d'anèu e de grop e lo vocabulari algebric (distributivitat, associativitat, comutativitat).

En particular, lo grop conoguèt un desvolopament important gràcias a Évariste Galois (1811-1832). D'efiech, lo matematician francés capitèt de l'aplicar a d'ensembles finits coma aqueu de la permutacion dei racinas d'una eqüacion algebrica. Una autra avançada importanta foguèt realizada per Félix Klein (1849-1925) que mostrèt que l'estructura de grop permetiá de descriure la màger part de l'algèbra elementària.

 Vèrs l'algèbra modèrna 


La segonda mitat dau sègle XIX veguèt l'establiment de liames entre la geometria e l'algèbra gràcias au desvolopament de divèrsei nocions. La pus importanta foguèt probablament aquela d'espaci vectoriau, formalament definida per Giuseppe Peano (1858-1932) en 1888. Èra la consequéncia de trabalhs iniciats per Bernard Bolzano (1781-1848) en 1804(de) B. Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie, 1804. per realizar d'operacions sus lei ponchs, lei drechas e lei plans e perseguits per lei calculs baricentrics d'August Ferdinand Möbius (1790-1868). Aquelei descubèrtas avián tanben permés de metre en plaça lo calcul matriciau qu'es un autre aspècte major dau liame entre geometria e algèbra.

Durant la segonda mitat dau sègle XIX, un grop de matematicians britanics, principalament format a l'entorn d'Augustus De Morgan (1806-1871) e de George Boole (1815-1864), apliquèt lei principis de l'algèbra a la logica. Aquò entraïnèt la fondacion de la logica matematica modèrna e menèt a cercar d'aplicacions de l'algèbra a d'autrei domenis coma la geometria, la mecanica ò lei foncions. Aqueu trabalh de sintèsi e d'unificacion foguèt marcat per lei trabalhs d'Ernst Steinitz (1871-1928)(de) Ernst Steinitz, « Algebraische Theorie der Körper », J. reine angew. Math., vol. 137,‎ 1910, pp. 167-309., d'Emil Artin (1898-1962) e d'Emmy Noether (1882-1935)(en) Clark Kimberling, « Emmy Noether and Her Influence », dins James W. Brewer e Martha K. Smith, Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, Marcel Dekker, 1981 , pp. 3-61.. Menèt a l'algèbra abstracha modèrna.

 Concèptes principaus 

 Algèbra elementària 

L'algèbra elementària fa partida deis ensenhaments matematicas de basa. Compren tres ensembles principaus :
 la formulacion generala dei lèis aritmeticas simplas coma +, –, x e ÷ e sei proprietats coma a + b = b + a. Permèton d'explorar l'ensemble dei nombres reaus.
 la formulacion e la resolucion d'eqüacions simplas dau tipe ax + b = c. Aquò permet d'introdurre la resolucion de problemas simples.
 la formulacion dei foncions simplas dau tipe f(x) = ax + b. Aquela partida permet de pausar lei tèrmes d'un problema implicant dei relacions foncionalas entre dos paramètres.

 Polinòmis 


Un polinòmi es una expression unicament formada de produchs e de somas de constantas e d'indeterminadas dau tipe ax2 + bx + c = d. Una expression polinomiala es una expression que pòu èsser escricha sota forma de polinòmis gràcias ai proprietats de comutativitat, d'associativitat e de distributivitat de l'addicion e de la multiplicacion. Per exemple, (x + 3)(x — 1) es una expression polinomiala. Enfin, existís lei foncions polinomialas que son definidas per un polinòmi ò per una expression polinomiala.

Dins aqueu domeni, l'algèbra s'interèssa principalament a la factorizacion dei polinòmis e a la recèrca dau pus grand divisor comun de dos polinòmis. Necessitant d'estudiar lei racinas d'un polinòmi, aquelei problemas aguèron un ròtle major dins lo desvolopament de la conoissença deis estructuras algebricas. Uei, demòran centraus dins de sectors coma la seguretat informatica.

 Matriças 


Una matriça es un tablèu d'elements (nombres, caractèrs, etc.) que permèton de realizar d'addicions e de multiplicacions sus aqueleis elements. Son fòrça utilizadas per representar de sistèmas de vectors ò d'eqüacions. An ansin d'aplicacions multiplas dins de domenis scientifics (fisica, etc.) ò tecnologics (informatica, etc.). L'algèbra es necessària a son estudi car leis ensembles de matriças forman d'estructuras algebricas (cf. aicí dessota).

 Teorias deis ensembles 

La teoria deis ensembles es una teoria fondamentala dei matematicas que permet de construrre divèrseis objèctes usuaus coma lei foncions, lei relacions e lei nombres (entiers, relatius, racionaus, reaus, complèxs, etc.). Un ensemble es una colleccion d'elements liats entre elei per una relacion d'apartenéncia. Es possible d'i realizar d'operacions matematicas. Aquela teoria es fòrça liada a l'algèbra car son desvolopament permet d'estudiar leis estructuras algebricas de basa.

Una foncion (ò aplicacion) permet de definir un resultat (generalament numeric) per cada valor d'un ensemble dich domeni. Aqueu resultat pòu èsser obtengut a partir de calculs aritmetics, d'una lista de valors ò de procès de resolucions d'eqüacions. Dins la teoria deis ensembles, una foncion es una relacion entre dos ensembles.

 Lèi de composicion 

Una lèi de composicion es un element important que permet de definir una estructura algebrica. Se consideram dos ensembles E e F, una lèi de composicion sus E es una aplicacion de F × E dins un ensembe G. Es a dire qu'es una operacion qu'associa per un pareu d'elements (x ; y) de F × E un element de G generalament notat « x * y ». La lèi es dicha :
 de composicion intèrna se E = F = GDins lei fachs, una lèi de composicion intèrna es sovent dicha lèi de composicion..
 de composicion extèrna a senèstra se E ≠ F e F = G.
 de composicion extèrna a drecha se E ≠ F e E = G.
D'exemples famós de lèi de composicion son l'addicion, la multiplicacion ò la composicion de foncions.

 Estructuras algebricas 

 Generalitats 

Leis estructuras algebricas es una estructura formada d'un ensemble combinat amb una ò plusors lèis de composicion. Pòdon èsser completadas per un òrdre ò una topologia e respectar divèrseis axiòmas. Existís un nombre important d'estructuras algebricas :
 leis estructuras de basa que compòrtan unicament de lèis de composicion intèrna (grops, anèus, còrs comutatius, etc.).
 leis estructuras d'operators extèrnes que son caracterizadas per un ensemble munit d'una lèi de composicion extèrna sus una estructura de basa. L'exemple pus conegut es l'espaci vectoriau.
 leis estructuras algebricas ordonadas que son d'estructuras algebricas compatiblas amb una relacion d'òrdre (grop ordonat, còrs ordonat, etc.).
 leis estructuras algebricas topologicas que son d'estructuras algebricas amb de caracteristicas topologicas (anèu topologic, còrs topologic, etc.).

 Grops 


Un grop es una estructura algebrica fondamentala. Es un ensemble munit d'una lèi de composicion intèrna associativa qu'admet un element neutre e, per cada element de l'ensemble, un element simetric. Es comuna a un nombre fòrça important d'ensembles de nombres coma lei nombres entiers relatius munits de la lèi d'addicion. Pasmens, es una nocion centrala de l'algèbra modèrna car se tròba dins mai d'un autre ensemble e que tèn d'aplicacions importantas en fisica (relativitat, mecanica quantica, etc.) e en quimia(fr) Edmond Bauer, « Introduction à la théorie des groupes et à ses applications en physique quantique », Annales de l'IHP, vol. 4, n°1,‎ 1933..

Un element neutre e (ò element identitat) d'un ensemble per una lèi de composicion intèrna es un element d'aquel ensemble que laissa incambiat totei leis autreis elements quand es compausat amb elei per aquela lèi. Per una lèi notada *, respecta lei relacions x * e = e * x = x. Es generalament notat 0 per l'addicion e 1 per la multiplicacion.

 Anèus e còrs 

Leis anèus e lei còrs son d'autreis estructuras algebricas fondamentalas. Leis anèus tènon doas lèis de composicion intèrna (addicion e multiplicacion) verificant de proprietats d'associativitat e de distributivitat e aguent d'elements neutres per l'addicion e la multiplicacion. Un element de l'anèu dèu tanben aver un opausat. 

Sus un ensemble, una lèi de composicion intèrna * es associativa se, per tres elements x, y e z d'aquel ensemble, respecta la relacion (x * y) * z = x * (y * z). L'addicion e la multiplicacion son dichas distributivas se la relacion x × (y + z) = (x × y) + (x × z) es vericada. Enfin, l'anèu es dich commutatiu se la mutiplicacion es commutativa (es a dire se x × y= y × x) e intègre s'es diferent de l'anèu nul e se tèn pas de divisor de zèro.

Lei còrs son d'anèus onte leis elements neutres de l'addicion e de la multiplicacion son diferents e onte cada element non nul a un invèrs multiplicatiu. Aquò permet d'i definir la sostraccion e la division. Lei còrs pòdon tanben èsser commutatiusExistís un conflicte ancian entre matematicians a prepaus d'aquela question. En França e en Occitània, un còrs es pas necessariament commutatiu. En revènge, es implicitament commutatiu dins lei país anglosaxons. Dins aquelei país, lo tèrne « còrs commutatiu » existís donc pas. Lei còrs non commutatius i son dichs anèus de division..

 Espacis vectoriaus 


Un espaci vectoriau es un ensemble d'objèctes, dichs vectors, que pòdon èsser addicionats entre elei ò multiplicats per un escalar (per demenir sa talha, realizar de rotacions, etc.). Es donc una estructura que permet la realizacion de combinasons linearas. Leis aplicacions son fòrça nombrosas en fisica amb d'escalars chausits au sen dei nombres reaus ò complèxs.

 Annèxas 

 Liames intèrnes 

 Albègra comuntativa.
 Algèbra generala.
 Algèbra lineara.
 Algèbra omologica.
 Eqüacion.
 Estructuras algebricas (grop, anèu, còrs).
 Geometria.
 Geometria algebrica.
 Matematicas.
 Nombre.
 Polinòmi.
 Teoria deis ensembles.

 Bibliografia 
 (en) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 2 edicion, 1991.
 (fr) Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, 1964.
 (en) S. Gandz, "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra", Osiris, 1936, 1 : 263–277.
 (en) I.N. Herstein, Topics in Algebra, Ginn and Company, 1964.
 (en) George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, 2000.
 (en) Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, Borin Van Loon, Introducing Mathematics, Totem Books, 1999.
 (fr) Jules Vuillemin, La philosophie de l'algèbre, PUF, 1962.
 (fr) Adolf P. Youschkevitch, Les Mathématiques Arabes, VIIIe-XVe siècles, Vrin, 1976.

 Nòtas e referéncias