Ellipsa

180px|right|thumb|Leis anèus de Saturne son circulars, mai en perspectiva, apareisson coma d'ellipsas. Fotografia de l'ESO.

En geometria, l’ellipsa (en grèc ancian: ἔλλειψις, significant «mancança») es una corba plan barrat apertenent a la familha de las còniques que pòt s'obténer es a dire coma seccion d'un con circular amb un plan; o la figura formada per l’ombra d'un disc sus una superfícia plana.

En matematicas, e pus particularament en geometria euclidiana de dimension tres, una ellipsa es una corba plana sarrada obtenguda coma projeccion d'un cercle sus un plan - pron que la direccion de la projeccion siá pas parallèla au plan dau cercle - , o coma interseccion d’un còn drech amb un plan; fau alora que lo plan siá pas trop , valent a dire que l'angle entre la normala au plan e l'axe dau còn siá inferior au complementari de l'angle dau cònAngle entre l'axe dau còn e una directritz.. Lo cercle es una ellipsa particulara.

En geometria euclidiana plana, l'ellipsa es lo luòc dei ponchs que la soma de sei distàncias en dos ponchs fixes, dichs fòcus, es constanta (sa construccion per lo metòde dau jardinier es fòrça simpla).

S'atròba tanben, en premiera aproximacionVejatz problèma dei dos còrs e problèma dei N còrs., d'ellipsas dins lei trajectòrias dei còrs celèsts (planetas, cometas o satellits artificiaus) en orbita a l'entorn d'una estela o d’una autra planeta. Ansin, l'orbita de la Tèrra es una ellipsa que lo Soleu n'es un fòcus.

 Definicions geometricas 
 Directritz e fòcus 
Lo quadre es un plan afin euclidian . Sián dins aqueu plan:   una drecha, e  un ponch qu'apartèn pas a ; estent un nombre reau  de l'interval , se sòna ellipsa de drecha directritz , de fòcus  e d'excentricitat  l'ensemble dei ponchs  dau plan  taus que:

onte
 es la distància dau ponch  au ponch  e  es aquela de  a la drecha .

Notem  la projeccion ortogonala de  sus . Es clar que la drecha  es un axe de simetria de l'ellipsa, dich axe focau o axe major.

 Definicion bifocala de l'ellipsa 
Sián  e  dos ponchs distints dau plan,  e a un reau tau que

Se sòna ellipsa de fòcus  e  l'ensemble dei ponchs  dau plan que verifican la proprietat seguenta:

D'elements de simetria de l'ellipsa (axes de simetria, centre de simetria) apareisson immediatament:
la drecha ; es l'axe focau o axe major ja mencionat
la mediatritz dau segment ; es l'axe dich menor de l'ellipsa
lo mitan dau segment ; es sonat centre de l'ellipsa

Lei ponchs d'interseccion (A, B) de l'ellipsa amb son axe major son dichs vertèx principaus; lei ponchs d'interseccion (C, D) de l'ellipsa amb son axe menor son dichs vertèx segondaris. Alora:
 : se ditzTerminologia usuala, mai abusiva, que l'axe major es la drecha (A, B) e non pas lo segment [A, B]. que 2a es la longor de l'axe major
Se definís:
 : se ditz que 2b es la longor de l'axe menor

Coma:

se'n dedutz:

e resulta dau teorèma de Pitagòras que

 Imatge d'un cercle per una afinitat 
Sián  un cercle de centre  e de rai ,  un cercle de centre  e de rai  () e  una drecha passant per . Se sòna ellipsa de centre , de semiaxe major  e de semiaxe menor  l'imatge dau cercle  per l'afinitat d'axe , de direccion perpendiculara a  e de repòrt  /. 

Per construire lo ponch  de l'ellipsa, imatge dau ponch  dau grand cercle, se construtz lo ponch  dau cercle  situat sus . Se traça per  la perpendiculara a  e per  la parallèla a . Lei drechas se copan en . D'efiech, se  es la projeccion ortogonala de  sus , alora, d'après lo teorèma de Talès, 

 Seccion conica 
180px|right|thumb|Una ellipsa obtenguda coma l'interseccion d'un còn amb un plan.
L’ellipsa es una corba plana de la familha dei conicas. S'obtèn coma l’interseccion d'un plan amb un còn de revolucion quand aqueu plan travèrsa lo còn de part en part. Lo cercle apareis coma una ellipsa particulara (plan de copa perpendicular). 

Entre lei conicas, leis ellipsas se caracterizan per una excentricitat estrictament compresa entre 0 e 1.

 Proprietats geometricas 
 Elements de simetria 
S'es ja mencionat
l'« axe focau », o « axe major », passant per lo fòcus e perpendicular a la directritz, axe de simetria de l'ellipsa
l', perpendicular a l'axe major, autre axe de simetria
lo , interseccion deis axes major e menor, centre de simetria de l'ellipsa

 Tangenta e bisectritz 
Siá una ellipsa que sei fòcus son  e . En un ponch  d'aquela ellipsa, se considèra la bisectritz dau sector angular . Alora, aquela bisectritz es perpendiculara a la tangenta en  (se ditz qu'es normala en M a l'ellipsa).

Aquela proprietat s'utiliza en optica geometrica dins lei miraus elliptics: un rai luminós que passa per un dei fòcus, quand es reflectit, passa per l'autre fòcus. Ansin, se se plaça una ampola a un fòcus d'un mirau elliptic, lo fais luminós se concentra sus l'autre fòcus.

Aiçò explica tanben lo fach que lei sons se propagan fòrça ben d'un quai a l'autre dau mètro parisenc. D'efiech, la màger part deis estacions an una forma elliptica. Se la fònt d'un son s'atròba en un dei fòcus, totei lei sons reflectits convergiràn vèrs l'autre fòcus (sus l'autre quai).
Aquela proprietat de l'ellipsa s'explica en se servent de la tangenta en un ponch de l'ellipsa: d'aqueu biais, un son o un rai luminós emés d'un dei fòcus serà reflectit sus l'autre fòcus. Aquela proprietat s'utiliza dins la concepcion de cèrts instruments d'optica. Es de segur presenta dins una galariá amb ressòn, valent a dire dins una pèça que son plafon, per sa forma elliptica, fa qu'una persona que chuchoteja en un dei fòcus s'ause a l'autre fòcus. La rotonda dau Capital Building a Washington e lo Mormon Tabernacle a Salt Lake City son d'exemples d'aquela mena de galariás.

 Relacions entre lei grandors 
Lei grandors (geometricas o numericas) d'una ellipsa son 
 la longor dau grand rai (o semiaxe major), generalament notada a ;
 la longor dau pichon rai (o semiaxe menor), generalament notada b ;
 la distància separant lo centre de l'ellipsa e un dei fòcus, generalament notada c ;
 la distància separant un fòcus F de sa directritz (d) associada, generalament notada h ;
 l'excentricitat de l'ellipsa (estrictament compresa entre 0 e 1), generalament notada e ;
 lo paramètre de l'ellipsa, generalament noté p.

Existisson de relacions entre aquelei grandors:
 se se definís l'ellipsa per son excentricitat  e la distància  entre lo fòcus F e la directritz (d), alora 
  ;
  ;
  ;
  ;

 se se definís l'ellipsa per sei rais  e  
 onte  ;
 ;
 ;
 ;

 enfin, quand se conois lo grand rai  e l'excentricitat :
.

 Eqüacions caracteristicas 

 Eqüacion cartesiana 
 Eqüacion reducha 
Dins lo sistèma de coordenadas definit per l'axe major e l'axe menor de l'ellipsa, son eqüacion es (se l'axe focau es aqueu deis abscissas):

(se l'axe focau es aqueu deis ordenadas, se deu escambiar a e b).

 Eqüacion generala 
Dins un sistèma quin que siá de coordenadas cartesianas, tota conica, e en particular tota ellipsa, a una eqüacion de la forma:

(onte lei reaus A, B, C son pas totei nuls)
Una condicion necessària e sufisenta per qu'una tala eqüacion siá la d'una ellipsa es que:

(leis expressions entre lei barras verticalas son de determinants)
autrament dich:

Se B = 0, leis axes de l'ellipsa son parallèls ais axes de coordenadas, e reciprocament.

 Parametrizacion 

dins lo sistèma de coordenadas definit per l'axe major e l'axe menor; lo reau t es l'anomalia excentrica dau ponch M de l'ellipsa.

 Eqüacion polara 

dins lo sistèma de coordenadas definit per lo fòcus e l'axe focau.

o

dins lo sistèma de coordenadas definit per lo centre e l'axe focau.

 Circonferéncia 
La circonferéncia  d'una ellipsa es ,
onte  es una integrala elliptica complèta de segonda espècia.

Sota forma d'una seria, s'escriu:

Una bòna aproximacion es balhada per una formula de Ramanujan:

que se pòt tanben escriure:

onte  es la semilongor de l'axe major e  la semilongor de l'axe menor.

Pus generalament, la longor de l'arc en foncion de l'angle sostendut es balhada per una integrala elliptica incomplèta de segonda espècia. La foncion recipròca, l'angle sostendut en foncion de la longor de l'arc, es balhada per lei foncions ellipticas.

 Aira dau domeni interior an una ellipsa 
L'aira dau domeni interior an una ellipsa que sei semiaxes an per longors respectivas a e b es:

Se remarca que per , se retròba l'aira  dau domeni interior an un cercle de rai a (o disc de rai a).

 Dessenhar una ellipsa: lo metòde dau jardinier 
Segon la definicion bifocala, lei ponchs de l'ellipsa son lei ponchs  dau plan taus que la soma  de sei distàncias ai dos fòcus  e  es constanta. Ansin, per traçar l'ellipsa, se planta dos piquets dins lo sòu (lei dos fòcus), se pren una còrda non elastica (que sa longor es la soma constanta) e se n'estaca leis extremitats ai piquets; se mantèn la còrda tesada per mejan d'una cavilha (per plantar): la cavilha dessenha una ellipsa.

An aquela tecnica, se li ditz « l'ellipsa dau jardinier ».

 L'ellipsa en mecanica celèsta 

En mecanica celèsta, un còrs somés a l'atraccion gravitacionala d'un autre e que vira a son entorn, descriu una orbita elliptica. Un dei fòcus de l'ellipsa coïncidís amb lo còrs atractor. L'excentricitat de la trajectòria depend dei condicions inicialas. Cf. l'article subre lei lèis de Kepler.

 Vejatz tanben 

 Liames intèrnes 

 Conicas
 Iperbòla
 Parabòla
 Semiaxe major

 Nòtas e referéncias 

Categoria:Conica