Monoïde

En matematicas, e pus particularament en algèbra, un monoïde es una estructura algebrica que consistís en un ensemble provesit d'una lèi de composicion intèrna associativa e d'un element neutre. Autrament dich, es un magma associatiu e unitari.

Definicion
Pus explicitament, un monoïde es un pareu  , onte E es un ensemble, e "  " es una lèi (de composicion intèrna) dins E, associativa e admetent un element neutre :
  (lèi de composicion intèrna)

  (associativitat)

  (existéncia d'un element neutre e ; se saup qu'es necessariament unic)

Lo monoïde es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins E es commutativa, valent a dire se :
  (commutativitat)

Notacions
La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

Monoïde multiplicatiu 
Quand la lèi dins E se nòta multiplicativament, lo monoïde es dich multiplicatiu :
 s'escriu : x · y o x y en plaça de : 
L'element neutre se nòta "1E" o simplament "1" (element unitat de E).

Monoïde additiu
Quand la lèi dins E se nòta additivament, lo monoïde es dich additiu :
 s'escriu : x + y en plaça de : 
L'element neutre se nòta "0E" o simplament "0" (element nul, o zèro de E).

Se convèn qu'un monoïde additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un monoïde non commutatiu).

Exemples
 Lo magma  es un monoïde commutatiu que son element neutre es 0.

 Lo magma  es un monoïde commutatiu que son element neutre es 1.

 Siá A un ensemble finit (e qu'a aumens dos elements) : serà convencionalament sonat alfabet e seis elements letras de l'alfabet A. Per tot entier naturau non nul n, se sòna mot de longor n subre l'alfabet A un n-uplet d'elements de A, element de An (poténcia cartesiana) : es constituit de n letras ; de mai, se definís lo mot vuege, notat "1", que sa longor es 0, e l'ensemble A0 = {1} . Ansin, l'ensemble :
  es l'ensemble de totei lei mots subre l'alfabet A. La juxtaposicion (o concatenacion) es una lèi dins  : estent dos mots x, y, se s'escriu x seguit de y, se definís un tresen mot que se pòt notar x y. Ansin, provesit d'aquela lèi manifestament associativa,  es un monoïde, non commutatiu, qu'a 1 (lo mot vuege) per element neutre : se ditz qu'es lo monoïde libre engendrat per l'alfabet A.

 Siá  l'ensemble dei partidas d'un ensemble  .
 Lo magma  es un monoïde commutatiu qu'a per element neutre l'ensemble vuege  .
 Lo magma  es un monoïde commutatiu qu'a per element neutre l'ensemble  .

 Sián A un ensemble non vuege, e  l'ensemble deis aplicacions  . La composicion deis aplicacions es una lèi dins  . Lo magma  es un monoïde qu'a per element neutre l'aplicacion identica de A. Es pas commutatiu, levat lo cas que A a ren qu'un element (valent a dire qu'es un singleton).

Sosmonoïde
Sián  un monoïde d'element neutre e, e A una partida de E tala que :

  , valent a dire que A es establa per la lèi de E

Alora, la lèi "  " inducha sus A es associativa, e lo pareu  es un monoïde, qu'es sonat sosmonoïde de  .

Exemples
 L'ensemble  , provesit de la lèi inducha, es un sosmonoïde de  .

 L'ensemble A deis entiers naturaus pars, provesit de l'addicion, es un sosmonoïde dau monoïde  .

 L'ensemble  dei foncions afinas es un sosmonoïde dau monoïde  , onte  es l'ensemble dei foncions  : se saup que  es estable per composicion, e de mai l'element neutre, çò es la foncion identica de  , es una foncion afina.

Elements simetrizables d'un monoïde
Un element x de E es dich simetrizable s'existís un element x'  de E tau que :

Dins aqueu cas, l'element x'  (que son unicitat serà provada infra) es sonat element simetric de x, o simetric de x.

Notacions
 dins lo cas d'una lèi notada multiplicativament, se ditz generalament invertible per simetrizable ; lo simetric d'un element invertible x es sonat invèrs de x e es generalament notat  ; per tot element invertible x de E :
 x x'  =  , e x'   x = 

 dins lo cas d'una lèi notada additivament, lo simetric d'un element simetrizable x es sonat opausat de x e x'  es generalament notat −x ;
 per tot element simetrizable x de E :
 x + x'  =  , e x'  + x = 

Exemples
 dins lo monoïde , lo solet element simetrizable es 0, qu'es son pròpri opausat
 dins lo monoïde , lo solet element invertible es 1, qu'es son pròpri invèrs
 dins lo monoïde , leis elements simetrizables son leis aplicacions bijectivas  ; lo simetric d'una bijeccion f es la bijeccion recipròca  .

Unicitat de l'element simetric 
Per tot element simetrizable d'un monoïde, l'element simetric es unic.

D'efècte, sián x un element simetrizable de E, e  x' , x"  de simetrics de x :

Se considèra alora l'element  de E ; per associativitat : 

 coma  , 

 coma  , 

 en conclusion, y = x'  e y = x" . Se'n dedutz l'egalitat x' = x ", valent a dire l'unicitat de l'element simetric de x.

Ensemble deis elements simetrizables d'un monoïde 
Siá G l'ensemble deis elements simetrizables d'un monoïde  .
 l'element neutre e apartèn a G e coïncidís amb son simetric : e'  = e ; ansin G es non vuege

 se x, y apartènon a G, alora  apartèn a G e son simetric es : 

 se x apartèn a G, x'  apartèn tanben a G e cadun d'elei es lo simetric de l'autre.
Aquelei proprietats fan de G, provesit de la lèi inducha, un grop qu'es un sosmonoïde de  .

Iteracion de la lèi de composicion intèrna d'un monoïde
Siá un monoïde  d'element neutre e. Còmpte tengut de l'associativitat de la lèi de E, se pòt definir sens ambigüitat un element de E notat  , onte  ,  , ... ,  son d'elements de E, quin que siá lo nombre n :
 se n = 1 o n = 2, la definicion pausa ges de problèma

 se generaliza per recurréncia subre n :
 estent n + 1 elements  , ... ,  de E, se definís ansin l'element  :


L'associativitat permete de plaçar lei parentèsis coma se vòu. Per exemple, se n = 4,
 per definicion : 
 mai tanben :  , etc.

Iterats d'un element per la lèi dau monoïde
Siá x un element de E. Per tot entier naturau n diferent de 0, se definís :
  , onte 
Autrament dich :
  (onte lo nombre d'operands, toteis egaus, es n )
Se completa la definicion en pausant :
  (l'element neutre)
Per exemple :
  ,  ,  .

L'aplicacion  es un exemple de lèi de composicion extèrna dins E.

Per tot pareu (n, p ) d'entiers naturaus :


Cas deis elements simetrizables
Coma supra, se nòta G l'ensemble deis elements simetrizables dau monoïde, e x'  lo simetric d'un element x de G.

Se x apartèn a G, alora per tot entier naturau m :
  apartèn tanben a G e :

Se definís alora  en pausant :

En particular,  .

L'aplicacion  es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G.

Se x es simetrizable, alora per tot pareu (n, p ) d'entiers :

Per exemple :


Notacions
Monoïde multiplicatiu
Dins lo cas d'un monoïde multiplicatiu :
 l'element  es sonat produch de  e se nòta :
  o ben 

 per tot pareu (x, n), ont x es dins E e n es un entier naturau, s'escriu  en luòga de  ; se ditz qu'es la poténcia d'exponent n de x.
  (l'element neutre),  ;  =    es lo carrat de x ...
   =  per tot pareu (n, p ) d'entiers naturaus

 per tot pareu (x, n), ont x es un element invertible de E e n es un entier, s'escriu tanben  en luòga de 
 per exemple, l'invèrs de x es  , çò que justifica aquesta notacion usuala de l'invèrs
 se m es un entier naturau : 
   =  per tot pareu (n, p ) d'entiers

Monoïde additiu 
Dins lo cas d'un monoïde additiu :
 l'element  es sonat soma de  e se nòta :
  o ben 

 per tot pareu (x, n), ont x es dins E e n es un entier naturau, s'escriu n x en luòga de  ; se ditz qu'es lo multiple de coefficient n de x.
 0 x =  (l'element neutre), 1 x = x ; 2 x = x + x es lo doble de x ...
 n x + p x = (n + p) x  per tot pareu (n, p ) d'entiers naturaus

 per tot pareu (x, n), ont x es un element simetrizable de E e n es un entier, s'escriu tanben n x en luòga de 
 per exemple, l'opausat de x es x'  = (−1) x, notat : −x
 se m es un entier naturau : (−m) x = m (−x) = − (m x)
 n x + p x = (n + p) x  per tot pareu (n, p ) d'entiers

 Morfisme de monoïdes 
Un morfisme de monoïdes es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

Definicions
 Sián dos monoïdes  (d'element neutre e) e  (d'element neutre f) . Un morfisme de  vèrs  es per definicion una aplicacion  tala que

  (leis elements neutres se correspòndon per  )

 Lo nuclèu dau morfisme  , notat  , es lo sosensemble de E ansin definit :


 Un isomorfisme de monoïdes es un morfisme bijectiu.

 Se ditz que dos monoïdes son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos monoïdes isomòrfs son indestriables.

Proprietats
 Siá un morfisme  de  vèrs . Alora :
 Per tot pareu (x, n) onte x es dins E e n es un entier naturau : 
 Se x es un element simetrizable de E,  es un element simetrizable de F, e 
 La relacion () supra se generaliza au cas que x es un element simetrizable de E e n es un entier.

 L'aplicacion identica de E es un morfisme de  vèrs .

 La compausada de dos morfismes de monoïdes es un morfisme de monoïdes : estent tres monoïdes  ,  ,  e dos morfismes  de  vèrs  ,  de  vèrs , l'aplicacion compausada  es un morfisme de  vèrs .  En particular, la compausada de dos isomorfismes de monoïdes es un isomorfisme de monoïdes.

 L'imatge d'un morfisme de monoïdes es un sosmonoïde. Pus generalament, l'imatge d'un sosmonoïde per un morfisme de monoïdes es un sosmonoïde.

 L'imatge invèrs d'un sosmonoïde per un morfisme de monoïdes es un sosmonoïde. En particular, lo nuclèu es un sosmonoïde.

 La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de  vèrs  es un isomorfisme de  vèrs .

Exemples e còntraexemple
 L'aplicacion  es un isomorfisme dau monoïde (N, +) vèrs lo monoïde (A, +) deis entiers naturaus pars.
 Siá  (cf. supra). Lei monoïdes  ,  son isomòrfs. D'efècte, per tot sosensemble A de  , notem  lo complementari de A (dins  ) :  . L'aplicacion  es un isomorfisme de monoïdes :
 Es bijectiva.
 Per tot pareu (A, B) d'elements de  ,  (formula de De Morgan), çò es : .
  , autrament dich :  (lei dos elements neutres se correspòndon).

 Lei dos monoïdes  e  (onte  ) son pas isomòrfs. Se demòstra per reduccion a l'absurde, en supausant l'existéncia d'un isomorfisme  :
 Es una bijeccion .
 Per tot pareu (n, p) d'entiers naturaus, .
  (leis elements neutres se correspòndon)
 Pausem  ; e (per injectivitat de  ),  , donc  .
 Per tot entier naturau n,  (demostracion dirècta per recurréncia subre n, o utilizacion de proprietats enonciadas supra). Coma  es bijectiva, per tot element m de  existís un entier naturau (unic) n tau que
.
 En particular (en chausissent l'element m = g +1), existís un entier naturau n tau que  ;
 necessariament, n  ≠ 0, donc g es un divisor de  , a fortiori de  ; es absurde, car g es estrictament superior a 1.

 Monoïde quocient per una congruéncia 
Una congruéncia dins un monoïde  (d'element neutre e) es una relacion d'equivaléncia "" compatibla amb l'estructura algebrica.

Aiçò significa que :
 La relacion binària "" es una relacion d'equivaléncia dins E ; la classa (d'equivaléncia) de tot element x de E se notarà : [x].
 Per tot triplet (x, x' , y) d'elements de E :  implica  e 
Se'n dedutz que per tota lista (x, x' , y, y' ) d'elements de E :
  e  implican :  ;
Autrament dich, la classa de l'element  depende unicament de la classa de x e de la classa de y : ansin, se pòt definir sens ambigüitat una lèi de composicion intèrna dins l'ensemble dei classas, çò es l'ensemble quocient  , en pausant :

Es de bòn verificar que lo magma  es un monoïde qu'a per element neutre la classa [e] de l'element neutre de E. Se sòna monoïde quocient de  per la congruéncia "" .

L'aplicacion canonica :

es un morfisme subrejectiu de monoïdes ; son nuclèu es la classa de l'element neutre de E, considerada aicí coma un sosensemble de E (e en fach n'es un sosmonoïde).

Vejatz tanben
 Lèi de composicion intèrna
 Relacion d'equivaléncia

Categoria:Estructura algebrica