Subrejeccion

En matematicas, una subrejeccion o aplicacion subrejectiva (var. sobrejeccion, suberjeccion, o...) es una aplicacion que sei valors emplisson tot lo codomeni.

 Definicion 
Estent dos ensembles X e Y, una aplicacion f : X → Y es dicha subrejectiva se e solament se :
 per tot element y dau codomeni Y, existís aumens un element x dau domeni X tau que f(x) = y.
Autrament dich, f es subrejectiva se e solament se son imatge f(X) es egau au codomeni Y.

 Exemples e còntraexemple 
 Per tot ensemble X, l'aplicacion identica de X es subrejectiva.

 L'aplicacion u : N → N definida per u(n) = Ent(n / 2) (onte per tot reau x, "Ent(x)" es la partida entiera de x) es subrejectiva : per tot element p dau codomeni N, existís aumens un element n dau domeni N tau que u(n) = p : per exemple 2 p ; mai l'element 2 p + 1 convèn tanben e se pòt verificar que per tot entier naturau p, l'eqüacion u(n) = p d'inconeguda n a pas d'autra solucion que :
 n'  = 2 p e n"  = 2 p + 1.

 L'aplicacion v : N → N definida per v(n) = 2 n + 1 es pas subrejectiva, car (per exemple) existís ges d'entier naturau n tau que v(n) = 6. Pus explicitament, l'imatge de l'aplicacion v es l'ensemble deis entiers naturaus impars : es diferent dau codomeni N.

 La foncion f : R → [0,+∞[ definida per f(x) = x2 es subrejectiva, car per tot element dau codomeni, valent a dire per tot reau positiu y, se pòt definir lo reau  , e f(x) = y.

 La foncion g : R → R definida per g(x) = x2 es pas subrejectiva, car se se chausís dins lo codomeni un reau y tau que y < 0, existís ges de reau x tau que x2 = y. Pus explicitament, l'imatge de la foncion g es l'ensemble [0,+∞[ dei reaus positius : es diferent dau codomeni R.

 La foncion logaritme neperian  es subrejectiva.

 Proprietats 
 Una aplicacion f : X → Y es subrejectiva se e solament s'existís una aplicacion g : Y → X tala que f o g siá egala a l'aplicacion identica de Y (aquesta proposicion es equivalenta a l'axiòma de la chausida).

 Se f : X → Y e g : Y → Z son d'aplicacions subrejectivas, alora l'aplicacion compausada g o f : X → Z es subrejectiva.

 Se g o f es subrejectiva, alora g es subrejectiva (mai se pòt que f o siá pas)

 f : X → Y es subrejectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions g, h : Z → X, la relacion g o f = h o f implica g = h.

 Se f : X → Y es subrejectiva e B es un sosensemble de Y, alora f(f −1(B)) = B.  Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar B a partir de l'imatge invèrs f −1(B).

 Tota aplicacion f : X → Y pòt èsser descompausada sota la forma f = i o s, onte :
 s : X → f(X) definida per s(x) = f(x) es subrejectiva
 i : f(X) → Y definida per i(y) = y es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge f(X) de f dins lo codomeni Y de f ).

 Tota subrejeccion indutz una bijeccion d'un ensemble quocient de son domeni vèrs son codomeni. Pus precisament, estent una aplicacion subrejectiva f : X → Y, se pòt definir ansin una relacion binària dins X : per tot pareu (x, x' ) d'elements de X :
 x ~ x'  se e solament se f(x) = f(x' ).
 Es de bòn veire qu'es una relacion d'equivaléncia ; per tot element x de X, se notarà [x] sa classa d'equivaléncia. Coma f es constanta sus cada classa d'equivaléncia (per definicion de la relacion binària), existís una aplicacion unica f~: X /~ → Y tala que per tot element [x] de l'ensemble quocient X /~ : f~([x]) = f(x) (es la proprietat universala de l'ensemble quocient).
 a) La subrejectivitat de f~ resulta d'aquela de f : per tot element y de Y, existís x element de X tau que f(x) = y, donc f~([x]) = y.
 b) De mai, se [x] e [x' ] son doas classas d'equivaléncia talei que f~([x]) = f~([x' ]), alora f(x) = f(x' ), donc x ~ x' : se'n dedutz l'egalitat dei doas classas d'equivaléncia, donc l'injectivitat de f~.
 c) Ansin, l'aplicacion f~: X /~ → Y es bijectiva, çò qu'èra de demostrar.

 S'existís una aplicacion subrejectiva f : X → Y, alora X a aumens tant d'elements coma Y, au sens dei nombres cardinaus.

 Se X e Y son d'ensembles finits qu'an lo meteis nombre d'elements, alora per tota aplicacion f : X → Y, lei proposicions seguentas son equivalentas :
 f es subrejectiva
 f es injectiva
 f es bijectiva

 Vejatz tanben 
 ensemble
 aplicacion
 injeccion
 bijeccion

Categoria:Teoria deis ensembles