Relacion binària

En matematicas, una relacion binària dins un ensemble E (que supausarem non vuege) es una proprietat relativa ai pareus d'elements de E, tala que per cada pareu, se pòt respòndre (de òc, o de non) a la question : "la proprietat es verificada per lo pareu considerat ?"

Per exemple, la relacion binària "èsser inferior o egau a" dins l'ensemble  dei nombres reaus es la proprietat verificada per lei pareus (x, y) de reaus taus que  , coma  , mai pas  .

En teoria deis ensembles, s'identifica una relacion binària dins un ensemble E amb l'ensemble dei pareus d'elements de E que verifican la relacion (valent a dire la proprietat) : es un sosensemble dau carrat cartesian  . Per exemple, s'identifica la relacion binària precedenta dins  amb lo sosensemble  de  ansin definit :


Definicions e notacions
Formalament, una relacion binària dins un ensemble E es un sosensemble  dau carrat cartesian  . Se ditz qu'un pareu (x, y) d'elements de E verifica la relacion  se  .

Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada e s'escriu :  en plaça de :  .

Exemples
 Dins un ensemble E, l'egalitat es la relacion binària definida per l'ensemble  (la diagonala de  ).

 Dins l'ensemble  , aver la meteissa paritat es una relacion binària ; per exemple −2 a la meteissa paritat que 6 (son pars totei dos), e 7 a la meteissa paritat que 23 (son impars totei dos) ; en convenent d'escriure aicí :  quand l'entier a a la meteissa paritat que l'entier b, se pòt afiermar que  e que  .

 Dins l'ensemble  dei partidas d'un ensemble  , l'inclusion es una relacion binària : estent un pareu (A, B) de partidas (o sosensembles) de  , se A es inclusa dins B, s'escriu :  .

 Dins l'ensemble  dei reaus, se definís :
 doas relacions binàrias dichas inegalitats largas ( ) e
 doas relacions binàrias dichas inegalitats estrictas  (<, >).

 Dins l'ensemble  deis entiers naturaus, la divisibilitat es una relacion binària. Estent un pareu (a, b) d'entiers naturaus, se ditz que a dividís b, o que a es un divisor de b (o encara que b es un multiple de a) s'existís un entier naturau q tau que b = a q (lo produch de a e q) ; en aqueu cas, s'escriu :  ; ansin :  .

Classificacion
Citam aicí quauquei proprietats frequentas, e importantas, dei relacions binàrias : la reflexivitat, la simetria, l'antisimetria e la transitivitat.

Siá   una relacion binària dins un ensemble E;
Reflexivitat
Se ditz que  es reflexiva se per tot element x de E :

Simetria 
Se ditz que  es simetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :


Antisimetria 
Se ditz que  es antisimetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :


Transitivitat
 Se ditz que  es transitiva se per tot triplet (x, y, z) d'elements de E :


Exemples
 Dins un ensemble E, l'egalitat es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
 se x es un element de E, alora x = x (reflexivitat)
 se x, y son d'elements de E taus que x = y, alora y = x (simetria)
 se x, y, z son d'elements de E taus que x = y e y = z, alora x = z (transitivitat)
 Dins l'ensemble  deis entiers, "aver la meteissa paritat" es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
 se x es un entier, alora  (reflexivitat)
 se x, y son d'entiers taus que , alora  (simetria)
 se x, y, z son d'entiers taus que  e , alora  (transitivitat)
 Dins l'ensemble  , l'inclusion es una relacion binària reflexiva, antisimetrica e transitiva :
 se A es una partida de , alora  (reflexivitat)
 se A, B son de partidas de  talei que  e , alora A = B (antisimetria)
 se A, B, C son de partidas de  talei que  e , alora  (transitivitat)
 Dins l'ensemble  dei reaus :
 caduna dei doas relacions d'inegalitat larga es reflexiva, antisimetrica e transitiva
 caduna dei doas relacions d'inegalitat estricta es transitiva
 Dins l'ensemble  deis entiers naturaus, la relacion de divisibilitat es reflexiva, antisimetrica e transitiva

Vejatz tanben
Pareu
Produch cartesian
Relacion d'equivaléncia
Relacion d'òrdre

Categoria:Teoria deis ensembles