Equipoténcia

En teoria deis ensembles, se ditz que dos ensembles E e F son equipotents (o eqüipotents) e se nòta E ≈ F, s'existís una bijeccion . Per definicion, dos ensembles (finits o non) an la meteissa cardinalitat, valent a dire lo meteis nombre d'elements, se son equipotents.

Proprietats de l'equipoténcia
L'equipoténcia a lei proprietats seguentas :
 es reflexiva : per tot ensemble E, E ≈ E (existís aumens una bijeccion de E vèrs E : l'aplicacion identica de E)

 es simetrica : estent dos ensembles E e F, se E ≈ F, alora F ≈ E (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion  ; alora la recipròca  es una bijeccion )

 es transitiva : estent tres ensembles E, F e G, se E ≈ F e F ≈ G, alora E ≈ G (per ipotèsi, existís aumens una bijeccion  e una bijeccion  ; alora la compausada  es una bijeccion)

Aiçò pròva que dins tot ensemble  d'ensembles, la relacion binària d'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia, e que l'ensemble quocient  pòt èsser identificat a l'ensemble dei cardinaus deis elements de . Per exemple, se  es l'ensemble dei partidas d'un ensemble , l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins .

Mai es pas possible de dire que l'equipoténcia es una relacion d'equivaléncia dins l'ensemble de totei leis ensembles : dins la teoria classica deis ensembles, l'ensemble de totei leis ensembles existís pas.

Teorèma de Cantor-Bernstein
Lo teorèma de Cantor-Bernstein (o teorèma de Cantor-Bernstein-Schröder) es una caracterizacion de l'equipoténcia. S'enóncia ansin :

Estent dos ensembles E e F, s'existisson doas injeccions  e , alora E ≈ F.

Exemples e còntraexemples
 L'ensemble  deis entiers naturaus e l'ensemble deis entiers naturaus pars, notat aicí , son equipotents : l'aplicacion  es bijectiva

 Cas deis intervals de l'ensemble  dei nombres reaus.
 Sián dos reaus a, b taus que , e leis intervals   ,   , 
 Leis intervals  e  son equipotents : l'aplicacion  es bijectiva.
 Parierament, leis intervals  e  (o encara  e  ...) son equipotents.
 Leis intervals  e  son equipotents :
 l'aplicacion  es injectiva (en fach, es l'injeccion canonica)
 l'aplicacion  es injectiva
 l'equipoténcia de  e  es alora consequéncia dau teorèma de Cantor-Bernstein
 Leis intervals  e  son equipotents : l'aplicacion  es bijectiva.
 En fach, se pòt generalizar aquò : dos intervals de  quins que sián (pron que cadun contengue aumens dos ponchs) son equipotents.

 Estent un ensemble  , l'ensemble  de sei partidas es equipotent a l'ensemble  dei foncions .  Per o provar, s'associa en tota partida A de  sa foncion caracteristica . Se definís ansin: per tot element x de  ,  se  e  se .  L'aplicacion  es bijectiva : se f es una foncion  e se se definís , es clar que A es la soleta partida de  tala que  .

 Segon un teorèma classic de Cantor (cf. argument diagonau de Cantor), l'ensemble  deis entiers naturaus es pas equipotent a l'ensemble  dei reaus.  Pus generalament, existís ges d'ensemble  que siá equipotent a l'ensemble  de sei partidas (en fach, segon l'argument de Cantor, una aplicacion  es jamai subrejectiva).

Cas deis ensembles finits e deis ensembles infinits
Ensembles equipotents a un ensemble finit
Se E es un ensemble finit, leis ensembles equipotents a E son aquelei que son finits e qu'an lo meteis nombre d'elements que E.

Ensembles equipotents a un ensemble infinit
Tot ensemble equipotent a un ensemble infinit es tanben infinit. Mai se saup dempuei lo sègle XIX e leis òbras de Georg Cantor qu'existisson d'ensembles infinits que son pas equipotents, valent a dire qu'an pas la meteissa cardinalitat (cf. çai subre).

 Vejatz tanben 
 bijeccion
 nombre cardinau
 teoria deis ensembles

Equipoténcia

de:Mächtigkeit (Mathematik)#Gleichmächtigkeit, Mächtigkeit