Injeccion (matematicas)

En matematicas, una injeccion o aplicacion injectiva es una aplicacion que pren de valors diferentas en d'elements diferents de son domeni. 

 Definicion 
Estent dos ensembles X e Y, una aplicacion f : X → Y es dicha injectiva se e solament se, per tot pareu (x, x' )  d'elements de son domeni X :
 f(x) = f(x' ) implica x = x'  (o x ≠ x'  implica f(x) ≠ f(x' )).
Autrament dich, l'aplicacion f es injectiva se e solament se, per tot element y dau codomeni Y, existís au mai un element x dau domeni X tau que f(x) = y.

 Exemples e còntraexemples 
 Per tot ensemble X, l'aplicacion identica de X es injectiva.

 L'aplicacion u : N → N definida per u(n) = 2 n + 1 es injectiva.

 La foncion f : [0,+∞[ → R definida per f(x) = x2 es injectiva, car dos reaus positius qu'an lo meteis carrat son egaus.

 La foncion g : R → R definida per g(x) = x2 es pas injectiva, car (per exemple) g(1) = g(−1).

 La foncion h : R → R definida per  es pas injectiva, car (per exemple) h(0) = h(1).

 La foncion exponenciala  es injectiva.

 La foncion logaritme neperian  es injectiva.

 Pus generalament, dins lo cas que X e Y son totei dos de sosembles de la drecha reala R, una foncion f : X → Y es injectiva se e solament se son graf a jamai mai d'un ponch d'interseccion amb una drecha orizontala.

 Injeccion canonica 
Estent un sosemble (non vuege) X'  d'un ensemble X, l'aplicacion i : X'  → X definida per i(x) = x es injectiva.

Es sonada injeccion canonica de X'  dins X.

 Proprietats 
 Se f : X → Y e g : Y → Z son d'aplicacions injectivas, alora l'aplicacion compausada g o f : X → Z es injectiva.

 Se g o f es injectiva, alora f es injectiva (mai se pòt que g o siá pas).

 f : X → Y es injectiva se e solament se, quinei que sián leis aplicacions g, h : Z → X, la relacion f o g = f o h implica g = h.

 Se f : X → Y es injectiva e A es un sosemble de X, alora f −1(f(A)) = A. Ansin, en aquest cas, se pòt retrobar A a partir de l'imatge f(A).

 Se f : X → Y es injectiva e A e B son dos sosensembles de X, alora :
 f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

 Tota aplicacion f : X → Y pòt èsser descompausada sota la forma f = i o s, onte :
 s : X → f(X) definida per s(x) = f(x) es subrejectiva
 i : f(X) → Y definida per i(y) = y es injectiva (es l'injeccion canonica de l'imatge f(X) de f dins lo codomeni Y de f ).

 S'existís una aplicacion injectiva f : X → Y, alora Y a aumens tant d'elements coma X, au sens dei nombres cardinaus.

 Se X e Y son d'ensembles finits qu'an lo meteis nombre d'elements, alora per tota aplicacion f : X → Y, lei proposicions seguentas son equivalentas :
 f es injectiva
 f es subrejectiva
 f es bijectiva

 Vejatz tanben 
 ensemble
 aplicacion
 subrejeccion
 bijeccion

Categoria:Teoria deis ensembles