Grop (matematicas)

En matematicas, e pus particularament en algèbra, l'estructura de grop es una abstraccion de la nocion d'operacion dins un ensemble quand existís una operacion invèrsa : per exemple l'addicion, pron que la sostraccion i siá definida. Aquesta estructura permet de modelizar de situacions fòrça divèrsas, que se rescòntran non solament en matematicas, mai tanben en fisica e en quimia.

 Estructura de grop 
 Definicions 
L'estructura algebrica de grop consistís en un monoïde que totei seis elements son simetrizables. Autrament dich, un grop notat  es un ensemble  provesit d'una lèi de composicion intèrna  satisfasent leis axiòmas seguents :
 associativitat : 
 existéncia d'un element neutre :  ; se saup que e es unic
 tot element de  es simetrizable :  ; se saup que per cada element  de  , l'element  es unic : es sonat simetric de .

Se ditz que  es l'ensemble sosjacent au grop . Lo grop es dich finit se l'ensemble sosjacent es finit e en aqueu cas, l'òrdre dau grop es lo nombre d'elements de l'ensemble sosjacent ; senon lo grop es dich infinit.

Terminologia : en luòga de dire que lo pareu  es un grop, se ditz sovent que  ; se i a pas d'ambigüitat, lo grop se poirà notar  en plaça de  (l'operacion intèrna es sosentenduda).

 Commutacion e commutativitat 
Siá un grop  .
 Commutacion d'elements 
Se ditz que dos elements a, b de G commutan se  .

Per exemple, tot element a commuta :
 amb eu meteis : 
 amb l'element neutre : 
 amb son simetric : 

 Grop commutatiu 
Lo grop es dich commutatiu (o abelian) se, de mai, la lèi dins G es commutativa, çò es :
  (commutativitat)

Un grop es commutatiu se e solament se totei seis elements commutan a cha dos.

 Notacions 
La notacion multiplicativa e la notacion additiva son particularament frequentas.

 Grop multiplicatiu 
Quand la lèi dins G es notada multiplicativament, lo grop es dich multiplicatiu :
 s'escriu : x · y o x y en plaça de : 

 l'element neutre se nòta "1" o "1G" (element unitat de G)

 per tot element x, lo simetric es sonat invèrs de x e se nòta  

 Grop additiu 
Quand la lèi dins G es notada additivament, lo grop es dich additiu :
 s'escriu : x + y en plaça de : 

 l'element neutre se nòta "0" o "0G" (element nul, o zèro de G)

 per tot element x, lo simetric es sonat opausat de x e se nòta  

Es convengut qu'un grop additiu es totjorn commutatiu (s'emplega jamai la notacion additiva per un grop non commutatiu).

 Premierei proprietats 
Estent un grop  onte lo simetric de cada element x se nòta x'  :

 e'  = e (lo simetric de l'element neutre e es e)

  (simetric dau compausat de dos elements)

  (simetric dau simetric d'un element)

 Exemples 
 L'ensemble  deis entiers, provesit de l'addicion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble  dei racionaus, de l'ensemble  dei reaus, e de l'ensemble  dei complèxes.

 L'ensemble  dei racionaus diferents de 0, provesit de la multiplicacion, es un grop commutatiu. Ansin es de l'ensemble  dei reaus diferents de 0, e de l'ensemble  dei complèxes diferents de 0.

 L'ensemble  dei permutacions d'un ensemble X, provesit de la composicion deis aplicacions, es un grop ; tre que X a aumens tres elements, aquest grop es pas commutatiu.

 L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de l'addicion, es un grop commutatiu.

 L'ensemble dei matritz carradas invertiblas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un grop ; tre que n es diferent de 1, aquest grop es pas commutatiu.

 Siá  l'ensemble dei partidas d'un ensemble  . Estent dos elements A, B de  , se definís sa diferéncia simetrica, notada  :
 .
 L'ensemble  , provesit de l'operacion de diferéncia simetrica, es un grop commutatiu. L'element neutre es la partida vueja , e cada element de  es son pròpri simetric : per tota partida A de ,
 e 

 Còntraexemples 
 L'ensemble  deis entiers naturaus, provesit de l'addicion, es un monoïde que son element neutre es 0 ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable dins  es 0.
 L'ensemble dei matritz carradas (d'òrdre n fixat), provesit de la multiplicacion, es un monoïde que son element neutre es la matritz unitat ; mai es pas un grop : existisson de matritz carradas non invertiblas.
 L'ensemble dei partidas d'un ensemble non vuege, provesit de l'operacion d'union ensemblista, es un monoïde que son element neutre es la partida vueja ; mai es pas un grop : lo solet element simetrizable es la partida vueja.

 Iterats d'un element per la lèi dau grop 
S'es ja vist la nocion d'iterats d'un element per la lèi d'un monoïde. Se limitam aicí au cas d'un grop multiplicatiu e d'un grop additiu (la soleta diferéncia entre lei dos cas es la notacion).

 Poténcias d'un element d'un grop multiplicatiu 
Estent un grop multiplicatiu  , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :
  (produch de m factors egaus a x)

  (produch de m factors egaus a l'invèrs x' ) ; en particular, , çò que justifica la notacion usuala de l'invèrs



Se definís ansin una aplicacion  sonada exponenciacion, qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element  es la poténcia d'exponent n de x.

 Proprietats de l'exponenciacion 
 :




Avís : estent dos elements x, y de G e un entier n, en generau . Pasmens, se leis elements x, y commutan, e en particular se lo grop es commutatiu : 

 Multiples d'un element d'un grop additiu 
Estent un grop additiu  , un element x de G e un entier naturau m diferent de 0, se pausa :
  (soma de m tèrmes egaus a x)

  (soma de m tèrmes egaus a l'opausat x' ) ; en particular, , çò que justifica la notacion usuala de l'opausat



Se definís ansin una aplicacion  qu'es un exemple de lèi de composicion extèrna dins G. Se ditz que l'element  es lo multiple de coefficient n de x.

 Proprietats 
 :






 Sosgrop 
 Definicion 
Un sosgrop d'un grop G es un sosensemble non vuege H de G qu'es estable per la lèi de G, e qu'es un grop per la lèi inducha, autrament dich :



Se pòt caracterizar ansin un sosgrop H de G : es un sosensemble non vuege tau que :


 Exemples 
Dins un grop G :
 l'ensemble  que l'element neutre es son solet element es un sosgrop
 l'ensemble  deis elements que commutan amb totei leis elements de G es un sosgrop sonat centre de G:

 Morfisme de grops 
Un morfisme de grops es una aplicacion compatibla amb l'estructura algebrica.

 Definicions 
 Sián dos grops  (d'element neutre ) e  (d'element neutre ) . Un morfisme de  vèrs  es per definicion una aplicacion  tala que


 En particular, un endomorfisme dau grop  es un morfisme de  vèrs eu meteis.

 Estent un morfisme  de  vèrs  , se definís ansin son nuclèu (sosensemble de  ), notat  , e son imatge (sosensemble de  ), notat  :




 Un isomorfisme de grops es un morfisme bijectiu. En particular, un endomorfisme bijectiu d'un grop es sonat automorfisme dau grop (es un isomorfisme dau grop vèrs eu meteis).

 Se ditz que dos grops son isomòrfs s'existís un isomorfisme d'un vèrs l'autre (aiçò significa qu'an exactament lei meteissei proprietats algebricas : per exemple, s'un dei dos es commutatiu, ansin es de l'autre) ; dau ponch de vista de l'algèbra, dos grops isomòrfs son indestriables.

 Proprietats 
 Siá un morfisme  de  vèrs  (lei dos grops son notats multiplicativament). Alora :
  : l'imatge per  de l'element neutre dau premier grop es l'element neutre dau segond grop.
 Per tot element x de ,  : l'imatge per  de l'invèrs d'un element es l'invèrs de l'imatge d'aquest element.
 Pus generalament, per tot pareu (x, n) onte x es dins  e n es un entier : .

 L'aplicacion identica de  es un automorfisme de  .

 La compausada de dos morfismes de grops es un morfisme de grops : sián tres grops multiplicatius  ,  ,  e dos morfismes  de  vèrs  ,  de  vèrs  .  Alora, l'aplicacion compausada  es un morfisme de  vèrs .  En particular, la compausada de dos isomorfismes de grops es un isomorfisme de grops.

 L'imatge d'un morfisme de grops es un sosgrop. Pus generalament, l'imatge d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop.

 L'imatge invèrs d'un sosgrop per un morfisme de grops es un sosgrop. En particular, lo nuclèu es un sosgrop.

 La bijeccion recipròca d'un isomorfisme de  vèrs  es un isomorfisme de  vèrs  dich isomorfisme recipròc.

 Exemples 
 Estent un reau a, l'aplicacion  es un endomorfisme dau grop additiu  ; se  ,  es un automorfisme e l'automorfisme recipròc es l'aplicacion 

 L'aplicacion  es un isomorfisme dau grop additiu  vèrs lo grop multiplicatiu  (çò que pròva qu'aquestei grops son isomòrfs):
 es bijectiva

 L'isomorfisme recipròc es l'aplicacion 

 Annèxas 

 Liames intèrnes 

 Algèbra.
 Matematicas.

 Bibliografia 

 (fr) Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001.
 (fr) Roger Godement, Introduction à la théorie des groupes de Lie, Springer, 2004.
 (fr) Felix Ulmer, Théorie des groupes - Cours et exercices, Ellipses, 2012.

 Nòtas e referéncias 

Categoria:Estructura algebrica