Landens transformasjon

Landens transformasjon er en omskrivning av et elliptisk integral til et annet integral av samme form, men med nye variable. En av disse er den «elliptiske modulus» og forandringen av denne gir det enkleste eksempel på en «modulær transformasjon» som spiller en viktig rolle i moderne matematikk.H. McKean and V. Moll, Elliptic Curves: Function Theory, Geometry, Arithmetic; Cambridge University Press, Cambridge (1997). ISBN 0-521-65817-9.

En lignende transformasjon ble først benyttet av den engelske matematiker John Landen på midten av 1700-tallet. Han klarte å vise at lengden av en hyperbelbue kunne uttrykkes ved lengdene av buene til to forskjellige ellipser. Hver av disse har en eksentrisitet som kan identifiseres med den elliptiske modulus. Den spesielle sammenhengen mellom eksentrisitetene i de to ellipsene som Landen fant, bar senere navnet hans. Den nåværende form av Landens transformasjon ble utviklet av Lagrange, Legendre og Gauss.G.M. Scarpello, D. Ritelli and A. Scimone, The hyperbola rectification from Maclaurin to Landen and the Lagrange-Legendre transformation for the elliptic integrals, arXiv:1209.4909. Spesielt arbeidene til Legendre spilte en stor rolle for Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacobi i deres utvikling av elliptiske funksjoner.

Matematiske egenskaper

Et elliptisk integral av første type kan skrives somH. Hancock, Elliptic Integrals, John Wiley & Sons, New York (1917).



hvor parameteren  0 < k < 1 er den elliptiske modulus og den øvre grense φ  kalles for «amplituden». Integralet er derfor en funksjon av disse to variable. Strengt tatt skulle integrasjonsvariable være en annen enn den øvre grensen, men det vil ikke skape noen problemer i det følgende.

Landens transformasjon erstatter integrasjonsvariabel φ  med en ny variabel φ1  definert ved ligningen

 .

Den følger fra en enkel, geometrisk betraktning. A.L. Baker, Elliptic Functions - An Elementary Textbook for Students of Mathematics, John Wiley & Sons, New York (1890). Da k ≤ 1, vil derfor 2φ1 - φ ≤ φ  slik at den transformerte vinkelen φ1 ≤ φ  dermed blir mindre enn den opprinnelige vinkelen.

Ved å bruke en  trigonometrisk identitet for sinus til en differanse av to vinkler, kan man skrive transformasjonen på formen



hvor den transformerte vinkelen er isolert på den ene siden av ligningen.

Nå gjelder også identiteten



slik at transformasjonen kan skrives på den alternative måten som



Men nå er



slik at

 .

hvor



er den transformerte modulusen. Da k < 1, vil derfor k1 > √k  som betyr at k1 ≥ k. Dermed blir modulus større og dette kalles en økende Landen-transformasjon. Den komplimentære verdien er



slik at

 .

Fra sinφ  kan man videre finne cosφ. Den sentrale faktoren i integranden til det elliptiske integralet kan dermed omformes til



I det elliptiske integralet inngår differensialet dφ. Det kan enklest beregnes fra



som gir at



Dermed er



som betyr at de tilsvarende integralene er relatert ved

 .

Transformasjon av de to andre typene elliptiske integral kan beregnes på samme måte, men resultatet kan ikke skrives så kompakt som for dette integralet av første type.

Iterasjon

Siden denne Landen-transformasjonen gir en stadig økende verdi for modulus, kan man gjenta den flere ganger etter hverandre til man til slutt kommer til den maksimale verdien . For denne verdien av modulus kan det elliptiske integralet regnes ut analytisk,

 .

Hvis man starter ut med en vilkårlig modulus k  og amplitude φ , kan et generelt elliptisk integral av første type finnes numerisk fra



Her er k2  relatert til k1  på samme måte som denne er relatert til k. Kun etter en håndfull iterasjoner konvergerer dette produktet til en forholdsvis nøyaktig verdi med    og hvor det siste integralet da er gitt ved F(φn,1).M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York (1964). ISBN 0-486-61272-4.

Avtagende transformasjon

Denne samme matematikken kan benyttes til å finne den motsatte transformasjon hvor man går fra en modulus til en med mindre verdi. Dette omtales derfor som en avtagende Landen-transformasjon. Den kan finnes ved å bytte om  k1  og k  samtidig som φ1  og φ  byttes om. Det resulterer i



eller



hvor nå

 .

Det betyr at



som viser tydelig at nå er k1 ≤ k. Det betyr også at man har den viktige sammenhengen

 .

For praktiske beregninger er det hensiktsmessig at man skriver transformasjonsformelen mellom vinklene  som  etterfulgt av sinus til en sum og differans mellom to vinkler. Det gjør det mulig å isolere forskjellen mellom den nye og den gamle vinkelen:



Ved å bruke tangens til en differanse av to vinkler er dette ekvivalent med det alternative uttrykket



for den transformerte vinkelen.

Det endelige resultatet for det transformerte integralet kan også la seg finne ved den samme ombyttingen av varible og er derfor

 .

Herav følger også hvordan det fullstendige, elliptiske integralet K(k ) transformerer. Dette tilsvarer φ = π/2 som blir transformert til den dobbelte vinkelen . Da  = 2K(k1), vil det fullstendige integralet derfor transformere som



under en avtagende Landen-transformasjon. De to andre typene av elliptiske integral forandrer seg på tilsvarende måter under denne transformasjonen, men noe mer omstendelig enn for dette integralet av første type.

Iterasjon

Blir denne Landen-transformasjonen gjentatt, vil den gi en stadig mindre verdi for modulus. Etter et stort antall n  ganger ender man dermed opp med en verdi  og det elliptiske integralet gir ganske enkelt F(φn,0) = φn. På den måten får man



slik at



hvor φ∞  er den asympotiske verdien av den transformerte vinkelen. For det fullstendig integralet finner man tilsvarende

 .

Etter ganske få iterasjoner gir dette uttrykket meget nøyaktige resultat for integralet.G.N. Watson,  The Marquis and the Land-Agent; A Tale of the Eighteenth Century, Mathematical Gazette 17, 5-17 (1934). Foredrag for the British Mathematical Association, 1933. Gjengitt i J.J. Berggren, J. Borwein and P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, New York (2004). ISBN 978-1-4419-1915-1.

Referanser

Eksterne lenker

 Paramanand's Math Notes, Landen's Transformation. Matematisk blogg.

Kategori:Lineære operatorer
Kategori:Elliptiske funksjoner