Abels konvergensteorem

Abels konvergensteorem i matematikk relaterer grenseverdien for en potensrekke til summen av koeffisientene.  Teoremet er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Teorem
La a = {ai: i ≥ 0} være en vilkårlig følge av reelle eller komplekse tall, 
og la

være potensrekken med koeffisientene a.  Anta at rekken 
 konvergerer.  Da

I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene ai
er reelle og ai ≥ 0 for alle i, vil uttrykket overfor
 gjelde også når rekken  ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av
uttrykket lik +∞.

Bemerkning
I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis r er et tilfeldig reelt tall ulik null
og rekken  konvergerer for dette tallet, da følger det at 

forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, 
fra venstre hvis r er positiv og fra høyre hvis r er negativ.

Eksempler
La  Da  konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger


La  Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at  konvergerer, og at


Anvendelsesområder
Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensrekke mens dets argument (dvs. z) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius R, for potensrekke er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomialrekkene.

Ga(z) kalles den genererende funksjon for sekvensen a.  Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner.  Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.

Beslektede konsepter
Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende rekker og deres summasjonsmetoder inneholder mange teoremer av abelsk type og av tauberisk type.

Eksterne lenker
 Abel summeringsevne på PlanetMath (en mer generell redegjørelse for Abelske teoremer av denne typen)
 A.A. Zakharov (2001), Abel summeringsmetode, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

Kategori:Teorem i reell analyse
Kategori:Niels Henrik Abel
Kategori:Teorem i kompleks analyse
Kategori:Følger og rekker