Varignons teorem

Varignons teorem beskriver en enkel, geometrisk egenskap ved firkanter. Det ble bevist av den franske matematiker Pierre Varignon ved bruk av euklidsk geometri og ble publisert i 1731, ni år etter hans død. Teoremet sier at midtpunktene til firkanten danner et parallellogram. Omkretsen til parallellogrammet er lik summen av  diagonalene til firkanten. 

Når firkanten er  plan og konveks, det vil si at den ikke har noen sider som går 'innover', er arealet  av parallellogrammet halvparten av arealet til firkanten.  Varignons parallellogram er alltid plant, også når den gitte firkanten ikke er det.

Geometrisk bevis

Teoremet ble opprinnelig bevist ved bruk av euklidsk geometri. Men det er mer generelt gyldig også i et affint rom. Det tillater et meget enkelt bevis ved bruk av affin geometri og affine kombinasjoner av punkt. Betrakter man de tre midtpunktene  E, F  og G, så danner de et plan. I dette planet er nå  en vektor som man kan brukes til å finne et nytt punkt  i samme plan. Dette punktet er nå  da det er her tillatt å løse opp parentesene. Men dette er akkurat midtpunktet mellom A  og D. Det beviser at midtpunktene EFGH  danner et parallellogram som ligger i et plan.

Omkrets av parallellogrammet

Siden EF  i parallellogrammet er halvparten av diagonalen AC. Det gjelder også for siden HG. Summen av disse to sidene er derfor lik AC. På samme måte er summen av sidene FG  og HE  lik den andre diagonalen BD. Det viser at summen av sidene i Varignons parallellogram er lik summen av de to diagonalene i den gitte firkanten.

I affin geometri er ikke lengder av linjestykker definert. Derimot kan man snakke entydig om forhold mellom lengder i samme retning. På denne måten må dette beviset forstås her.

Areal til parallellogrammet
I euklidsk geometri er lengden til vilkårlige linjestykker veldefinert. På samme måte kan også areal entydig sammenlignes og beregnes. Det kan benyttes til å finne arealet til Varignons parallellogram. Betrakter man derfor en konveks firkant som i øverste figur, vil arealet av for eksempel trekanten EBF  være 1/4 av arealet til trekanten ABC  når man trekker diagonalen AC.  Det er en konsekvens av at sidene i EBF  er halvparten av de i ABC. Det samme gjelder for de tilsvarende trekantene ved de andre hjørnene. Da de to trekantene ABC  og ADC  utgjør arealet til hele den gitte firkanten, må parallellogrammet EFGH  ha halvparten av dens areal.

 Konveks firkant: Konkav firkant: Krysset firkant: 
240px 
240px 
240px

Referanser

 M. de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry , Dynamic Mathematics Learning (2009).  ISBN 978-0-557-10295-2.
 H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer,  Geometry Revisited, The Matematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.

Eksterne lenker
  P. N. Oliver,  Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem ,  Mathematics Teacher, 94(4), 316-319 (2001).
 Cut the Knot, Wittenbauers parallellogram, analogt til Varignons parallellogram.

Kategori:Teorem i geometri