Tillukning (matematikk)

En tillukning av en delmengde S under en operasjon er den minste mengden P som inneholder S og som er lukket under operasjonen.
Mengden P er lukket under operasjonen når operasjonen utført på elementer i P produserer et resultat som er inneholdt i P. 

Mengden av naturlige tall N er lukket under addisjon, siden summen av to naturlige tall også er et naturlig tall. Derimot er N ikke lukket under subtraksjon, siden for eksempel (5 - 8) = -3 ikke er et naturlig tal.
Tillukningen av N under subtraksjon er mengden av heltall.  

Tillukning brukes i mange matematiske strukturer og fagdisipliner, som i algebra, topologi og i metrisk rom. En finner ofte spesielle definisjoner av tillukning, tilpasset individuelle typer struktur. En definisjon som omfatter alle typer tillukning må nødvendigvis bli generell og abstrakt.  

 Definisjon 

Gitt en delmengde  i en mengde  der det er definert en operasjon  på elemnter i  i . Delmengden er lukket i  dersom
operasjonen  fra  alltid produserer et element i i :

.

Merk at en operasjon per definisjon er definert ved , og resultatet av operasjonen ligger i . Dette trenger generelt ikke være tilfelle i delmengden .

Vanligvis vil en operasjon ha et endelig antall elementer, en endelig aritet. For å inkludere alle typer tillukning må en tillate at operasjonen også har uendelig aritet.

Sittet av to eller flere mengder som er lukket under en operajon, og som inneholder , vil også ha de samme egenskapene.
Tillukningen av  i  er definert som snittet av alle slike mengder.* Også tillukningen er lukket og inneholder .

Potensmengden  til  sammen med inklusjonsoperatoren  er en partiell ordning, og tillukkingen er dermed
den minste delmengden i  som inneholder  og som er lukket under operasjonen.  

Notasjon for en tillukning av en mengde  varierer sterkt, og alle de følgende skrivemåtene er i bruk:

.

Operatoren  kan skrives med både liten og stor bokstav C. Operatornavnet er forkortelse for engelsk «closure», i norsk faglitteratur vanlig omsatt med «tillukning».

En delmengde sies å være lukket under en samling av operasjoner dersom mengden er lukket under hver av operasjonene individuelt.{tr}}

En mengde som er lukket under en operasjon eller samling av operasjoner sies å tilfredsstille en lukningsegenskap.
Ofte omtaler en tillukningen uten å presisere at mengden er en delmengde av en større helhet. I noen tilfeller kan lukningsegenskapen innføres som et aksiom , som da kan kalles et lukningsaksiom.

En lukket mengde er lik sin egen tillukning: .

 Tillukningsoperatorer 
Definisjonen over er gitt ved hjelp av snittet mellom alle lukkede mengder. Alternativt kan en bruke en ekvivalent definisjon ved hjelp av en tillukningsoperator. 
Dette er en funksjon  definert på potensmengden  med følgende egenskaper for alle argument :

 Eksempler 

Mengden som består bare av tallet 0 er lukket under addisjon, multiplikasjon og subtraksjon. 

Mengden av heltall er ikke lukket under divisjon, siden for eksempel 7/3 ikke er et naturlig tall.  

De reelle tallene er ikke lukket under kvadratrot, siden for eksempel  er et komplekst tall.

 Tillukning i algebraiske strukturer  

Flere algebraiske strukturer er definerte som lukket under binære operasjoner:

 En gruppe er lukket under en generell operasjon, for eksempel addisjon eller multiplikasjon.
 En ring er lukket under to operasjoner, addisjon og multiplikasjon.
 En tallkropp er en kommutativ ring, så denne er lukket under to operasjoner
 Et vektorrom er lukket under addisjon og under multiplikasjon med en skalar.

Siden disse strukturene også postulerer eksistens av invers-elementer, så vil mengdene også være lukket invers-operasjoner, som subtraksjon og divisjon.

I et vektorrom  et den lineære utspenningen av en delmengde  det minste delvektorrommet i  som inneholder .  Operatoren her er
lineærkombinasjoner av vektorer i .

I rommet  er den konvekse omhylningen tillukningen av mengden under alle konvekskombinasjoner. 

Den algebraiske tillukningen av en tallkropp  er lik unionen av mengden og en mengde av alle røtter i polynom som har elementer i  som koeffisienter. For mengden av heltall er den algebraiske tillukningen lik mengden av komplekse tall.

 Tillukning i topologiske rom     

I et topologisk rom  er en åpen mengde definert ved et sett av aksiomer. En lukket mengde er komplementet til en open mengde i . En lukket
mengde vil inneholde alle sine opphopningspunkt.

Tillukningen til en mengde  i et topologisk rom kan defineres på flere alternative måter:

 Unionen av mengden  og mengden av alle opphopningspunkt til .
 Snittet av alle lukkede mengder som inneholder 
 Unionen av  og randen til .

 Tillukning i metriske rom 

En mengde i et metrisk rom er lukket dersom alle Cauchy-følger i mengden konvergerer mot en grense i mengden.  Mengden er altså lukket under en grense-operator. Tillukningen av en vilkårlig mengde er tilsvarende en utviding av mengden til å inkludere alle grenser for Cauchy-følger i mengden.

 Tillukning av en binær relasjon 

En binær relasjon  på  er en delmengde av ordnede par i .  For en slik relasjon kan en definere flere typer tillukning:

Refleksiv tillukning''
Den minste refleksive relasjonen på  som inneholder , det vil si .  Den refleksive tillukningen av operatoren  («mindre enn») er  («mindre eller lik»).

Symmetrisk tillukning
Den minste symmetriske relasjonen på  som inneholder  og som er lukket under en avbilding mellom  og , det vil si .

Transitiv tillukning
Den minste relasjonen på  som inneholder  og som er transitiv.

 Referanser 

Kategori:Algebra
Kategori:Topologi