Binær relasjon

En binær relasjon, eller en relasjon, er i matematikk en sammenheng mellom objekter i to mengder. For hvert par av objekter vil relasjonen enten være sann eller ikke.  Eksempler på relasjoner er «lik», «større enn», «kongruent» og «ortogonal til».

Binære relasjoner er brukt i alle deler av matematikk.  En funksjon er definert som en spesiell type binær relasjon.

 Formell definisjon 
Dersom  og  er vilkårlig mengder, og  er en delmengde av det kartesiske produktet  , så er  en binær relasjon fra  til . 

For ethvert ordnet par  i  kan en si at paret er med i  eller ikke.  Dette er ekvivalent til å si at relasjonen mellom  og  er oppfylt eller ikke.  En relasjon kan generelt skrives på formen  eller , men ofte erstattes  med et  mer standard symbol, som for eksempel et likhetstegn.

Domenet og rekkevidden (eller kodomenet) til relasjonen er definert ved henholdsvis

Relasjonen er heterogen dersom  og homogen dersom de to mengdene er like. En homogen relasjon kan sies å være en relasjon i mengden der den er definert.  

Formelt sett er også den tomme mengden en relasjon, siden denne er en delmengde i .

 Eksempler 

Gitt de to mengdene

I mengden  er Partall en forkortelse for Mengden av partall, og tilsvarende for de andre elementene.  Da vil  (er inneholdt i) være en heterogen relasjon fra  til .  Merk at ikke alle elementene i  er med i relasjonen. Relasjon ternger ikke være entydig, og her er både
 og .  

En funksjon kan defineres som en relasjon som er entydig, det vil si at  og  hvis og bare hvis .

 Generelle egenskaper 

Hvis  og  er to relasjoner i , så er både unionen , snittet  og mengdedifferansen  relasjoner.  For domenene gjelder

For rekkeviddene:

 Egenskaper til homogene relasjoner 
En homogen relasjon kan karakteriseres med følgende egenskaper:  

 Relasjonen er refleksiv dersom aSa for alle a i mengden M.
 Relasjonen er irrefleksiv dersom det ikke finnes noen a i M slik at aSa 
 Relasjonen er symmetrisk dersom aSb medfoører bSa.
 Relasjonen er asymmetrisk dersom aSb medfører ikke bSa.
 Relasjonen er antisymmetrisk dersom aSb og bSa medfører at a = b.
 Relasjonen er transitiv dersom aSb og bSc medfører aSc.

Relasjonen «større eller lik» er refleksiv, mens relasjonen «større enn» ikke er det.  Relasjonen «lik» er symmetrisk, mens relasjonen «større eller lik» er antisymmetrisk. En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kalles en ekvivalensrelasjon. En relasjon som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv kalles en partiell ordning.

Refleksivitet
En relasjon S er refleksiv dersom ethvert element i en gitt mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på refleksive relasjoner:
 Likhet (=) på tall
 Større eller lik (≤) på tall
 Delmengde-relasjonen ()

Irrefleksivitet
En relasjon S er irrefleksiv dersom ingen objekter i en mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på irrefleksive relasjoner:

 Ekte større (<) på tall
 Er ikke lik (≠) på tall

Symmetri
En relasjon S er symmetrisk dersom en relasjon er slik at dersom x er relatert til y, så er y også relatert til x. Merk at symmetri er ikke det motsatte av antisymmetri.

Eksempler på symmetriske relasjoner:

 Likhet (=) på tall 
 «Søsken-relasjonen»

Asymmetri
En relasjon er asymmetrisk den har egenskapen hvis x er relatert til y, så er det ikke slik at y er relatert til x.

Eksempler på asymmetriske relasjoner:

 Mindre enn (<) på tall: , men 
 Delmengde-relasjonen 

Antisymmetri
En relasjon er antisymmetrisk dersom den er slik at hvis to objekter er relatert med hverandre, så må de være samme objekt. Merk at antisymmetri ikke er det motsatte av symmetri.

Eksempler på antisymmetriske relasjoner:
 Mindre eller lik (≤) på tall, hvis x≤y og y≤x, så er x=y
 Likhet på tall, hvis x=y og y=x, så er x=y
 Ekte mindre (<) på tall, det finnes ingen tilfeller slik at x < y og y < x, så det blir en tom sannhet.

Transitivitet
En relasjon er transitiv dersom den er slik at hvis x er relatert til y og y er relatert til z, så er x relatert til z.

 Likhet (=) på tall
 Mindre eller lik (≤) på tall

 Generalisering 

En binær relasjon er definert mellom to mengder, men det er også mulig å definere relasjoner som involverer flere mengder. En ternær relasjon kan for eksempel defineres som en delmengde av et kartesisk produkt av tre mengder.
Gitt mengden {Adam, Eva, Kain, Abel, Ola, Per}, så kan en lage en ternær relasjon a og b er foreldre til c i denne mengden.  

Det vil alltid være mulig å omformulere slike høyre-ordens relasjoner til et sett av binære relasjoner, så i praksis er det binære relasjoner som studeres. Derfor utelates ofte ordet binær, og en relasjon er underforstått en binær relasjon.  

 Se også 
 Relasjonsalgebra

 Referanser 

Kategori:Mengdelære