Virialteoremet

Virialteoremet i klassisk mekanikk gir en sammenheng mellom middelverdien til den kinetiske energien og middelverdien til den potensielle energien i et system. Det ble formulert på et mer generelt vis av den tyske fysiker Rudolf Clausius rundt 1870  som benyttet det for å få en bedre forståelse av egenskapene till en samling partikler med gjensidige vekselvirkninger når de er i termisk likevekt. Siden er teoremet benyttet i mange andre  sammenhenger og da spesielt innen astrofysikk og kosmologi. Navnet er en avledning av det latinske order vis for kraft.

Når systemet inneholder N  partikler, sier det generelle teoremet på matematisk form at middelverdien til deres kinetiske energi K  er gitt som



der middelverdien på høyre side involverer kraften  som virker på partikkelen med posisjon   Summen av indreproduktene til disse to vektorene definerer «virialet» for systemet. For et konservativt system kan den uttrykkes ved den potensielle energien til systemet.G.W. Collins, The Virial Theorem in Stellar Astrophysics, Pachart Publishing House (1978). PDF.

Utledning

For en ikke-relativistiske partikkel er dens impuls  og hastighet   forbundet med   når den har masse  Hvis man summerer skalarproduktene mellom disse to vektorene for alle N  partikler i systemet, gir det



som er den doble, kinetiske energien til systemet. Dermed er det naturlig å betrakte den relaterte størrelsen   hvis tidsderiverte er



da Newtons andre lov sier at  er den totale kraften som virker på partikkelen med posisjon   På denne formen er man bare kommet frem til en identitet i klassisk mekanikk. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).

Teoremet fremkommer hvis man nå midler denne identiteten over et langt tidsrom τ. Venstresiden er da



Anvendes dette resultatet på et periodisk eller bundet systemet hvor alle variable tar endelige verdier, blir dette null når tiidsmidlet tas over et veldig  langt tidsrom. Det gir



der de to middelverdiene beregnes på samme måte. Dette er virialteoremet på sin mest generelle form.

Konservative system

Teoremet får sin viktigste konsekvens for konservative system der kraften på en partikkel kan avledes fra den potensielle energien U  til hele systemet,



I tillegg må man anta at den kan splittes opp i påvirkningen fra alle andre partikler via et to-partikkelpotensial  der den skalare størrelsen  angir avstanden mellom dem.  Den totale, potensielle energien til systemet er da



Det betyr at den totale kraften som inngår i teoremet, kan skrives som  hvor 



er kraften fra partikkelen i posisjon  på den i  posisjon  Da er automatisk  slik at  Newtons tredje lov err oppfylt. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Preess, London (1960). 

På denne måten kommer man frem til



slik at virialteoremet for konservative system blir



Den midlere, kinetiske energien er dermed gitt ved middelverdien til den deriverte av to-partikkelpotensialet  over alle partiklene i systemet.

Homogent potensial

Virrialteoremet tar en spesielt enkel form når det konservative potensialet er homogent, det vil si at det oppfyller  Det betyr at det er en potensfunksjon av formen   Da blir  som innsatt i virialteoremet gir



Den midlere kinetiske energi kan derfor direkte finnes fra den midlere potensielle energien. Det er velkjent fra den harmoniske oscillatoren hvor  slik at  Likedan for et Coulomb-potensial med  gir teoremet at  Da venstresiden her må være positiv, gjelder dette bare for et attraktivt potensial. Det reflekterer nødvendigheten for at bevegelsen til systemet må være bunden for at virialteoremet skal kunne anvendes.

Da systemets totale energi  er konstant, vil man nå ha



For et gravitasjonspotensial eller Coulomb-potensial er derfor den midlere, kinetiske energien 

Anvendelser

En galakse kan bestå av mange millioner eller milliarder med stjerner som blir holdt sammen av gravitasjonskrefter, det vil si at de skyldes  et homogent vekselvirkningspotensial med  Den midlere, kinetiske energien til stjernene i galaksen kan nå skrives som



når hver av dem har massen  og hastigheten   relativt til tyngdepunktet til galaksen. På høyresiden er summen over bidragene fra alle stjernene forenklet ved å innføre den totale massen  og deres midlere, kvadratiske hastighet  Den kan måles av astronomene ved å observere stjernenes rødforskyvninger.

Hvis nå massen  av lysende stjerner er den totale massen i galaksen, vil den midlere, potensielle energien til alle stjernene ha en verdi 



Her inngår en numerisk faktor  fra Newtons gravitasjonslov samt galaksens radius  som kan observeres.  Sammenholdes dette med virialteoremet  viser det seg at  dette ikke er oppfylt. Den potensielle energien må være mye større enn hva den synes å være fra observasjonene. Det er blandt annet fra slike betraktninger man er kommet frem til at galakser må inneholde en stor mengde ekstra masse som ikke sender ut lys. Den omtales i dag som mørk materie og utgjør i et virkelig mysterium i moderne kosmologi. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, New York (1972). ISBN 0-471-92567-5.

Mørk materie ble foreslått av den sveitsiske fysiker og astronom Fritz Zwicky i 1933. Han studerte på lignende vis Coma-hopen  som inneholder et stort antall lysende galakser. Deres rødforskyvninger var på den tiden nylig blitt målt. I tillegg kunne han anslå hvor mange galakser en hop inneholder og massen til hver dem. Igjen viste virialteoremet at de må inneholde mye ikke-lysende materie i tillegg til de observerte galaksene. G. Bertone and D. Hooper, A History of Dark Matter, Review of Modern Physics, 90, 45002 (2018). PDF. 

Statistisk mekanikk

Den aller første anvendelse av virialteoremet var i statistisk mekanikk da  Johannes van der Waals i 1873 utledet sin tilstandsligning for reelle gasser. I tillegg til interne vekselvirkninger mellom partiklene beskrevet ved potensialet  vil også kreftene fra veggene i volumet V  da bidra i virialteoremet.

Når systemet er i termisk likevekt med temperatur T, kan den midlere, kinetiske energien beregnes fra kinetisk teori og er  når den uttrykkes ved Boltzmanns konstant kB. Det fulle teoremet tar dermed formen



Det første leddet representerer bidraget fra kollisjonene som partiklene har med de omsluttende veggene. Hvis trykket i gassen er P, kan denne eksterne kraften skrives som  hvor diet lille flateelementet  har en retningsnormaal som er rettet inn i volumet. Dermed gir dette bidraget



i den kontinuerlige grensen der man kan gjøre bruk av divergensteoremet med  Det siste bidraget fra interne krefter kan beregnes ved hjelp av statistisk mekanikk. Da har man



hvor  er tettheten av partikler og  er en «korrelasjonsfunksjon». Den beskriver sannsynligheten for å finne andre partikler i avstand r  fra en gitt partikkel. Tilstandsligningen for en reell gass tar dermed formen



hvor korreksjonene til den ideelle gassloven finnes i det siste leddet. J.E. Lay, Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter, Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.

Dette resultatet for trykket skal også være gyldig i den kondenserte fasen, det vil si der gassen er godt over til å bli en væske. Det første leddet kan tilskrives bevegelsen til partiklene, mens det andre  skyldes deres vekselvirkninger. Da tettheten ρ  for en væske kan være typisk en faktor tusen ganger større enn for gassen, vil dens trykk være bestemt av begge leddene i motsetning til en gass hvor det første ledet dominerer. For at en væske skal ha et trykk rundt 1 atm, vil det derfor fremkomme ved en delikat balanse mellom disse to leddene som da hver for seg vil være mye større.

Gasser med lav tetthet

Den nøyaktige formen till vekselvirkningspotensialet  er ikke kjent. Det kan ikke være noen homogen funksjon, og må være frastøtende for små separasjoner mellom partiklene da molekyler ikke kan trenge inn i hverandre. Dessuten må det være tiltrekkende for llitt større avstander slik at gassen kan kondensere og gå over til en væske ved lavere temperaturer.

Hvis tettheten av partikler er tilstrekkelig liten, kan man benytte den statistiske Boltzmann-fordelingen til å vise at korrelasjonsfunksjonen har formen



når man i eksponenten definerer   For små avstander der potensialet er sterkt positivt, er denne funksjonen svært liten i overensstemmelse med forventingen om at sannsynligheten for å finne andre partikler så nærme skal være liten. Derimot for større avstander hvor potensialet går mot null, blir denne sannsynligheten   fordi der vil det alltid finnes en annen partikkel.

Med denne korrelasjonsfunksjonen blir tilstandsligningen nå



etter en partiell integrasjon. På dette viset kommer korreksjonen til ideell gass frem med et ledd som kalles den andre virialkoeffisienten B2. Ved en mer nøyaktig fremgangsmåte  gyldig ved større tettheter, vil korreksjonene opptre i en rekke med ledd av høyere orden i tettheten ρ . De tilsvarende koeffisientene kan systematisk beregnes, og man har en virial tilstandsligning.

Referanser

Eksterne lenker
 LibreTexts, Virial Theorem, med forenklet fremstilling
 MathPages, The Virial Theorem, med interessante kommentarer

Kategori:Statistisk fysikk
Kategori:Termodynamikk
Kategori:Astrofysikk
Kategori:Teorem i fysikk
Kategori:Artikler i astronomiprosjektet