Liste over trigonometriske identiteter

I matematikk er trigonometriske identiteter likheter som involverer trigonometriske funksjoner og er sanne for alle verdier av variablene. Geometrisk sett er disse identiteter som involverer bestemte funksjoner av en eller flere vinkler. Disse skiller seg fra trekantidentiteter, som er identiteter som involverer både vinkler og sidelengder i en trekant. Bare de førstnevnte dekkes av denne artikkelen.

Notasjon
Vinkler
Denne artikkelen bruker greske bokstaver slik som alfa, (α), beta (β), gamma (γ) og theta (θ) for å representere vinkler.  Flere forskjellige vinkelmåleenheter er utbredt, heriblant grader, radianer og gon:

 1 full sirkel  = 360 grader = 2 radianer  =  400 gon.
Den følgende tabellen viser omregningene for noen vanlige vinkler:
 Grader 30°  60°  120°  150° 210°  240°  300°  330° Radianer               Gon 33⅓ gon  66⅔ gon  133⅓ gon  166⅔ gon 233⅓ gon  266⅔ gon  333⅓ gon  366⅔ gon Grader 45°  90°  135°  180° 225°  270°  315°  360° Radianer               Gon 50 grad  100 gon  150 gon  200 gon 250 gon  300 gon  350 gon  400 gon
Med mindre annet er angitt, antas alle vinkler i denne artikkelen å være i radianer, men vinkler angitt med gradsymbol (°) er i grader.

Trigonometriske funksjoner
De primære trigonometriske funksjonene er sinus og cosinus til en vinkel. Disse er noen ganger forkortet henholdsvis sin(θ) og cos(θ),  der θ er vinkelen, men parentesene rundt vinkelen er ofte utelatt, f.eks. sin θ and cos θ.

Tangensfunksjonen (tan) til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus:

Til slutt er de resiproke funksjonene secans (sec), cosecans (csc) og cotangens (cot) de resiproke av cosinus, sinus og tangens:

Inverse funksjoner

De inverse trigonometriske funksjonene er delvise inverse funksjoner for de trigonometriske funksjonene. For eksempel er den inverse funksjonen for sinus kjent som invers sinus (sin−1) eller arcsinus (arcsin eller asin), og den tilfredsstiller

og

Denne artikkelen bruker følgende notasjon for inverse trigonometriske funksjoner:
 Funksjon sin cos tan sec csc cot Invers arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot

Enhetsformelen
Det grunnleggende forholdet mellom sinus og cosinus er enhetsformelen:

der sin2 θ betyr (sin(θ))2.

Dette kan betraktes som en versjon av Pythagoras' læresetning, og følger fra ligningen x2  + y2 = 1 for enhetssirkelen. Denne ligningen kan løses med hensyn på enten sinus eller cosinus:

Relaterte identiteter
Å dele enhetsformelen på enten cos2 θ eller sin2 θ gir to andre identiteter:

Dette kan også betraktes som versjoner av Pythagoras' læresetning, og følger fra ligningen 12 + x2 = y2 for enhetssirkelen. Disse ligningene kan løses med hensyn på tangens/secans, eller cotangens/cosecans.

Ved å bruke disse identitetene sammen med forholdsidentitetene, er det mulig å uttrykke en hvilken som helst trigonometrisk funksjon ved en hvilken som helst annen:

+ Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45 uttrykt ved                                                

Symmetri, forskyvninger og periodisitet
Ved å undersøke enhetssirkelen, kan følgende egenskaper ved de trigonometriske funksjoner etableres.

Symmetri
Når de trigonometriske funksjonene blir speilet om bestemte vinkler, er resultatet ofte en av de andre trigonometriske funksjonene. Dette fører til de følgende identiteter:

 Speilet om Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 Speilet om (kofunksjon-identiteter) Speilet om 

Forskyvninger og periodisitet

Ved å forskyve funksjonen med bestemte vinkler, er det ofte mulig å finne forskjellige trigonometriske funksjoner som uttrykker resultatet enklere. Noen eksempler på dette vises ved å forskyve funksjonene med π/2, π og 2π radianer. Fordi disse periodene er enten π eller 2π er det tilfeller der den nye funksjonen er eksakt den samme som den gamle funksjonen uten forskyvning.

Forskjøvet med π/2 Forskjøvet med π  Periode for tan og cotAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9Forskjøvet med 2π  Periode for sin, cos, csc og secAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8

Identiteter for vinkelsummer og differanser
Disse ble opprinnelig etablert av den persiske matematikeren Abū al-Wafā' Būzjānī i det 10. århundre.
En måte å bevise disse identitene på er å bruke Eulers formel. Bruken av symbolene  og  er beskrevet i artikkelen pluss/minus-tegn.

 Sinus Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 Cosinus Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 Tangens Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18 Cotangens  Arcsinus Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42 Arccosinus Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43 Arctangens Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36 Arccotangens 

Formler for multiple vinkler

Formler for dobbelte, triple og halve vinkler

Disse kan vises ved å bruke enten sum- eller differanseidentitetene eller formler for multiple vinkler.

 Formler for dobbelte vinklerAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26 Formler for triple vinklerAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28 Formler for halve vinklerAbramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22

Se også

Fotnoter

Referanser

Eksterne lenker
 Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, and for the same angles Csc and Sec and Tan.

Kategori:Trigonometri
Trigonometriske identiteter
Kategori:Matematiske identiteter