Ekvivalensrelasjon

En ekvivalensrelasjon er i matematikk en binær relasjon som uttrykker at to objekter i en mengde er ekvivalente, det vil si at objektene deler en eller flere definerte egenskaper, uten nødvendigvis å være identiske.  

En ekvivalensrelasjon vil dele objekter i en mengde inn i en samling av disjunkte mengder, kalt ekvivalensklasser.

 Formell definisjon 

En binær relasjon S på en mengde M definerer en sammenheng mellom to og to elementer i M, slik at for elementene a og b, så er relasjonen enten sann eller usann.  For eksempel kan en for mengden av punkt i planet (x,y) definere relasjonen «har første koordinat lik».  For to punkt vilkårlige punkt kan denne relasjonen være sann eller usann: (x1,y1) har første koordinat lik (x2,y2).  Når relasjonen S er sann for to element a og b, så kan dette skrives aSb.  

To objekter i en mengde kan defineres som ekvivalente  dersom de deler en grunnleggende egenskap. 

En  ekvivalensrelasjon er en binær relasjon som er refleksiv, symmetrisk og transitiv:

 Relasjonen er refleksiv,  slik at aSa for alle a i mengden M.
 Relasjonen er symmetrisk, slik at aSb medfører bSa.
 Relasjonen er transitiv, slik at aSb og bSc medfører aSc.

En ekvivalensrelasjon skrives ofte med symbolet  istedenfor S, som i uttrykket . Symbolet representerer en horisontal S, den første bokstaven i ordet similie. Denne notasjonen var
først brukt av Gottfried Leibniz i et manuskript fra 1679.

 Ekvivalensklasser 

Til en ekvivalensrelasjon hører det en partisjon av mengden M, det vil si en oppdeling av M i ikke-tomme, disjunkte mengder. Disse delmengdene kalles ekvivalensklasser, og 
hver klasse kan defineres som

Et element i M er medlem av én og kun én ekvivalensklasse.  To elementer av mengden M er ekvivalente (med hensyn til ekvivalensrelasjonen) hvis og bare hvis de er elementer av samme ekvivalensklasse i partisjonen.

 Eksempler 

Eksempler på ekvivalens 

 To trekanter er ekvivalente dersom de har parvis like store vinkler, det vil si er formlike.
 To ligninger er ekvivalente dersom de har samme løsningsmengde.
 To matriser A og B med samme dimensjon er ekvivalente dersom det eksisterer to ikke-singluære matriser C og D slik at A = CBD.
 To mengder er ekvivalente dersom de har samme kardinalitet.
 To brøker er ekvivalente dersom de begge kan reduseres til en og samme ekte brøk. 
 I et vektorrom er to normfunksjoner  og   ekvivalente dersom det eksisterer positive konstanter  og  slik at
.

 Eksempler på ekvivalensrelasjoner 

 Relasjonen «har første koordinat lik» er en ekvivalensrelasjon i R2.  
 For mengden av elever på en skole, er «går i samme klasse» en ekvivalensrelasjon.
 For lineære transformasjoner er «har samme rang» en ekvivalensrelasjon.

 Referanser 

Kategori:Mengdelære