Metrisk rom

Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk, det vil si  et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden. 
Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på formelle egenskaper til avstandsmålet. 
Et matematisk resultat basert ene og alene på generelle egenskaper til en metrikk vil være gyldig i alle metriske rom.  

Mengden av reelle tall, sammen med en metrikk basert på absoluttverdi, er et eksempel på et metrisk rom. Generelt kan enhver mengde gjøres til et metrisk rom, ved en passende definisjon av metrikk. 
For en gitt mengde kan det eksistere flere alternative metrikker, og hver av disse vil definere et eget metrisk rom for mengden.    

I et metrisk rom kan en studere mange sentrale egenskaper i matematisk analyse, knyttet til at elementer er «nær» hverandre. Dette inkluderer egenskaper som konvergens og kontinuitet.

Ethvert metrisk rom er også et topologisk rom, og mange egenskaper i et metrisk rom er knyttet til topologien. Flere typer metriske rom kan ha samme topologi.  
Mengden av topologier inneholder altså alle metriske rom, og tilsvarende kan metriske rom inneholde andre matematiske strukturer.  

 Etymologi 

Ordet metrikk er avledet fra gresk metron, som betyr «mål, lengde».
Begrepet metrikk ble først brukt i verselære. Etter den franske revolusjon i 1789 tok Frankrike i bruk meter som lengdemål. 
Slik ordet er brukt i matematikk ble det først definert av den franske matematikeren Maurice Fréchet i 1906.
Felix Hausdorff (1969-1942) innførte begrepet «metrisk rom» (tysk: «metrischer Raum») i boka Grunzüge der Mengelehre (1914).

 Formell definisjon 
Et metrisk rom  er en mengde  der det er definert en metrikk, det vil si en funksjon  med følgende egenskaper:C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 57–58

 Eksempler 
Alle mengder kan gjøres til en metrisk rom, ved valg av en passende metrikk. For et gitt rom vil det være mulig å velge mellom mange alternativ for metrikken. For flere eksempler på metrikk-definisjoner, se metrikk.

Mengden av reelle tall, utstyrt med en metrikk basert på absoluttverdi, er et metrisk rom:

.

Mer generelt vil  være et metrisk rom for eksempel med en av de følgende metrikkene

Mengden av funksjoner kontinuerlig på intervallet [0,1] kan gjøres til et metrisk rom ved å bruke supremum-metrikken

 Underrom 

Et underrom av et metrisk rom  er en delmengde  utstyrt med samme metrikken som i , det vil si restriksjonen av  til . R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.112ff 

 Toplogi i metriske rom 
En omegn (kule) omkring et vilkårlig element  i et metrisk rom  er en mengde

Denne mengden er en åpen mengde. Tilsammen utgjør alle slike kuler en basis for en topologi i det metriske rommet.
Alle metriske rom er derfor også topologiske rom.G. Buskes, A. van Rooij: Topological Spaces, s. 159  Ofte er det lettere å uttrykke topologiske egenskaper i et metrisk rom enn i et topologisk rom. 

Et opphopningspunkt  kan i et metrisk rom defineres som et element som har uendelig mange andre element nær seg, det vil si at

.

Omvendt kan mange topologier utledes fra en metrikk, og slike topologier kalles metriserbare.  Den euklidske metrikken svarer til en euklidsk topologi.  

Flere ulike metrikker kan svare til samme topolog, og metrikkene sies da å være topologisk ekvivalente. I  er alle metrikker topolgisk ekvivalente: Alle metriske rom i  svarer
til den euklidske topologien.

Grunnleggende begrep  

Definisjonen av en metrikk bygger ikke på noen operasjon i det metriske rommet. Den eneste strukturen i det metriske rommet er metrikken, avstanden mellom to element. Det er ikke mulig fra metrikken å si noe om lengden
til enkelte mengde-element, til det trengs det en definisjon av en norm i mengden.

Egenskaper som kan knyttes til strukturen i et metrisk rom kalles metriske. Dette gjelder flere sentrale begreper i matematisk analyse, som grenseverdi, konvergens og kontinuitet.  

 Grenseverdi og konvergens 
En uendelig følge i et metrisk rom  er en mengde . For mange følge vil leddene nærme seg hverandre når indeksen  øker,
og egenskapen «nærmer seg hverandre» kan måles med metrikken. Selv om en grenseverdi ikke er kjent, kan en likevel undersøke om følgen er en Cauchy-følge, det vil si oppfyller

Cauchy-følger har bare mening i et metrisk rom, ikke i en topologi uten metrikk.  

Følgen er (metrisk) konvergent i  (konvergent i metrikken) dersom det eksisterer en  slik at

For følger av reelle tall er dette sammenfallende med vanlig definisjon av konvergens.C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 60 Alle konvergente følger er Cauchy-følger.  

Dersom leddene i følgen er elementer i et endelig-dimensjonalt rom , så kan en definere komponentvis konvergens ved at

Konvergens i en vilkårlig metrikk vil da være ekvivalent til komponentvis konvergens. I denne sammenhengen er alle metrikker i endelig-dimensjonale rom ekvivalente.  
For en følge i et uendelig-dimensjonalt rom vil konvergens med hensyn på en metrikk medføre komponentvis konvergens, men ikke nødvendigvis motsatt. I slike rom er altså metrisk konvergens et sterkere vilkår enn komponentvis konvergens.

For en følge av funksjoner  vil punktvis konvergens si at følgen konvergerer mot en  for hver  i definisjonsområdet.  
Dette kan ikke uttrykkes ved en metrikk i et funksjonsrom utstyrt med en topologi for punktvis konvergens.
Metriske rom er ikke tilstrekkelige for å kunne beskrive alle typer konvergens.

 Begrensete rom 

Et metrisk rom  er begrenset dersom det er inneholdt i en kule med endelig radius: R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.117 

Rommet er totalt begrenset dersom det for hver  inneholder en endelig undermengde  (kalt et -nett) slik at for hver  finnes det en 
 med . R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.127 

Komplette rom

Et metrisk rom  sies å være komplett dersom en hver Cauchy-følge konvergerer mot et element som også ligger i . Mange praktiske problem kan løses ved å konstruere en følge av tilnærminger
til den eksakte løsningen på problemet. Ved hjelp av metrikken kan en sikre at tilnærmingene ligger «nær» løsningen. Dersom rommet av tilnærminger er komplett, vet en også at tilnærmingene konvergerer mot en løsning i samme rommet.

Et hvert euklidsk rom  er komplett. Mengden av rasjonale tall  er derimot ikke komplett: Det eksisterer mange Cauchy-følger i   som konvergerer mot et grense som ikke er et rasjonalt tall.G. Buskes, A. van Rooij: Topological Spaces, s. 119

I et topologisk rom kan en definere en lukket mengde som en mengde som inneholder alle sine opphopningspunkt. Dette vil gjelde også for topologien i et metrisk rom.
Kompletthet har derimot bare mening i et metrisk rom, tilsvarende som for Cauchy-følger. De to begrepene er imidlertid tett knyttet sammen: 
Hvis  er et komplett metrisk rom og  er et underrom av dette, så er  komplett hvis og bare hvis  er lukket i . R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.123 

Kompakte rom

Kompakthet er en topologisk egenskap, og det finnes flere alternative definisjoner for et metrisk rom:

 Et kompakt metrisk rom er et metrisk rom som er komplett og total begrenset. R.D. Milne: Applied functional analysis, ... s.128 
 Et metrisk rom er kompakt dersom enhver følge i rommet har en konvergent delfølge.C. C. Pugh: Real Mathematical Analysis, s. 79 

 Funksjoner mellom metriske rom 

I det følgende er  en funksjon mellom to metriske rom: . 

 Isometri 

En isometri er en bijektiv funksjon mellom to metriske rom som bevarer metrikken.  
At funksjonen er bijektiv innebærer at til hvert element i  svarer ett og kun ett element i .  At funksjonen bevarer metrikken vil si at 



To metriske rom der det er gitt en isometri kalles isometriske rom og er metrisk sett ekvivalente eller identiske.

I geometri kalles en isometri også for en kongruent transformasjon og en stiv forflytning.
Translasjon, rotasjon og rekfleksjon er alle stive forflytninger. 

 Kontinuitet 
Kontinuitet for en funksjon defineres vanligvis som en punktvis og lokal egenskap. En funksjon mellom to metriske rom kan også defineres som kontinuerlig i metrikkene, uniformt kontinuerlig, ved å oppfylle

I motsetning til i definisjonen av punktvis konvergens, må her valg av størrelsen  være uavhengig av argumenter for funksjonen .
Ofte defineres uniform konvergens med metrikken .

Uniform kontinuitet er en metrisk egenskap som ikke kan knytes til topologi.  

 Lipschitz-kontinuitet 

En funksjon mellom to metriske rom er Lipschitz-kontinuerlig dersom det eksisterer en konstant  slik at 

.

 Metriske rom med tilleggsstruktur 

Flere matematiske strukturer er utstyrt med en metrikk. For et normert vektorrom er det definert en naturlig metrikk ved

.

Alle normerte vektorrom er derfor også metriske rom. 

For et indreproduktrom med en norm definert fra indreproduktet  kan en ha samsvarende definisjoner:

.

Et indreproduktrom vil derfor også være et normert vektorrom og et metrisk rom. Et euklidsk rom er et indreproduktrom med en euklidsk metrikk.

Referanser

Litteratur

Kategori:Matematisk analyse
Kategori:Matematiske strukturer
Kategori:Topologi
Kategori:Topologiske rom