Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.

 Avledning 
Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

 .

Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd: 

 Oversikt 
Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen 

endres til et av formen

Legg merke til at koeffisientene a, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.

 Vanlig formel 
For 

har vi 

eller

 Eksempler 
 Eksempel 1 
Et meget enkelt eksempel er:

 Eksempel 2 
Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av: 

* kvadratkompletteringen

 Eksempel 3 
Si at man vil finne løsningen av ligningen . Man kan da anvende kvadratkomplettering: 

sett overforstående lik null og løs:

 Eksempel 4 
Betrakt problemer med å finne følgende integral:

.

Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er 

.

Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

.

Dermed er integralet

.

 Eksempel 5 
Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

finnes ved å omforme ligningen slik at x og x2 ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

* kvadratkomplettering

 Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen) 

Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

.

hvorav

 Komplekse versjoner av kvadratkomplettering 
Betrakt uttrykket

der  og  er komplekse tall,  og  er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis  og , og  er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

På samme måte kan uttrykket

der , , ,  og  er reelle tall og  samt , uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

slik

, noe som gir

 Bruk 
Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

Denne ulikheten viser at den minste verdien  antas ettersom tallet x er lik tallet .

Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

 Se også 
Kvadratsetningene

Kategori:Elementær algebra

ja:二次方程式#平方完成